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正弦定理的其他证明


正弦定理的另类证明 正弦定理的另类证明
课本利用向量法证明正弦定理,本文来介绍的另外两种证法. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即 正弦定理 (等积法)在任意斜三角形 ABC 中,S△ABC= 证法 1: 两边同除以
a b c = = . sin A sin B sin C

1 1 1 ab sin C = ac sin B = bc sin A , 2 2 2
C

1 a b c abc 即得: = = . 2 sin A sin B sin C

点评: 点评:证法 1 主要利用了任意斜三角形面积可分别转化为三角形不同 边与其对应高的乘积的 1 .此证法体现了转化与化归的思想方法.
2

a b
A O B D

c

(外接圆法)如图 1 所示,设 O 为△ABC 的外接圆的圆心, 证法 2: 连接 CO 并延长交圆 O 于 D,连接 BD,则 A=D, 所以 sin A = sin D = BC =
CD a 2R

,即

a = 2R sin A

.同理

b c =2R, =2R. sin B sin C



a b c = = =2R(R 为三角形外接圆半径). sin A sin B sin C

点评: 外接圆半径三者之间的联系, 这三者知二可求一, 点评 证法 2 建立了三角形中的边与对角、 为正弦定理增添了新内容,体现了数形结合的思想. 小结: 小结:由以上证明过程,我们可以得到正弦定理的几种变形形式: 1. a: b: c = sinA : sinB :sinC ; 2. a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC; 3. sinA=
a 2R

;sinB=

b 2R

;sinC=

c 2R

. (其中 R 为△ABC 外接圆的半径)

在解决三角形问题时,一定要根据问题的具体情况,恰当地选用公式.公式选择得当、 方法运用对路是简化问题的必要手段.


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