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大学电路独家分析第十二章第一节


第12章
§12-1 §12-2 §12-3 §12-4

非正弦周期电流电路和信号的频谱

非正弦周期信号 周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算

§12-1

非正弦周期信号

1、概念 线性电路中,当有一个

正弦电源作用或多个同频电源同时 作用时,电路各部分的稳态电压、电流都是同频的正弦量。 但在生产实践和科学实验中,通常还会遇到按非正弦规律 变动的电源和信号。此时电路中将产生非正弦的电压和电流。 几个例子: 实际的交流发电机发出 同频 非正弦 同频 的电压波形; 线性 正弦 电压或 正弦 收音机、电视机收到的 电路 稳态 电流 电源 信号电压或电流; 响应 应用于自动控制、计算 非正弦信号 机等技术领域的脉冲信号。

另外,如果电路中存在非线 非正弦 非线性 电压或 性元件,即使在正弦电源的作用 激励 电路 电流 下,电路中也将产生非正弦的电 压和电流。 非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本章主要讨论 在非正弦周期电压、电流或信号的作用下,线性电路的稳态分 析和计算方法。 2、非正弦周期电流、电压波形

i
T
O
脉冲波形

u t O
T
方波电压

u t
O T
锯齿波

2

t

T

3、谐波分析法 线性电路在非正弦周期量作用下的稳态分析方法:首先应 用傅里叶级数(Fourier)展开方法,将非正弦周期激励电压、电 流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和,再根据线性电 路的叠加定理,分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产 生的同频率正弦电流分量和电压分量;最后,把所得分量按时 域形式叠加,就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流 和电压。 Fourier 谐波分析法示意图: 非正弦 不同频率 周期量 谐波分析法的 正弦量的和 (激励) 实质是把非正弦周 正弦稳态分析 ? 期电流电路的计算 化为一系列正弦电 非正弦 各个正弦量 叠加定理 稳态量 单独作用下 流电路的计算。 (响应) 的响应分量

§12-2

周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数

周期电流、电压信号等都可用一个周期函数f(t)=f(t+kT)来表 示,式中T为周期函数f(t)的周期,k=0,1,2,…。若f(t)满足狄 里赫利条件,则可展开为收敛的傅里叶级数:
f ( t ) ? a 0 ? [ a 1 cos( ? 1 t ) ? b1 sin( ? 1 t )] ? [ a 2 cos( 2? 1 t ) ? b 2 sin( 2? 1 t )] ? ?
? a0 ?

? [a
k ?1

?

? [ a k cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t )] ? ?
k

cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t )]

k ? 1,2 ,3 , ?

其中各个系数按下式求解:
a0 ? ak ? ? 1 T 2 T 1

?

T 0 T 0 2? 0

f ( t ) dt ?

1 T

?

T 2

?T 2

f ( t ) dt 2 T

?

f ( t ) cos( k ? 1 t ) dt ?

?

T 2

?T 2

f ( t ) cos( k ? 1 t ) dt 1

?

?

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

?

??
?

?

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

f (t ) ? a0 ?
bk ? ? 2 T 1

? [a
k ?1

?

k

cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t )]
2 T

k ? 1,2 ,3 , ?

?

T 0 2? 0

f ( t ) sin( k ? 1 t ) dt ?

?

T 2

?T 2

f ( t ) sin( k ? 1 t ) dt 1

?

?

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

?

??
?

?

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

工程上傅里叶级数常用另一种形式:
f ( t ) ? A 0 ? A 1 m cos( ? 1 t ? ? 1 ) ? A 2 m cos( 2? 1 t ? ? 2 ) ? ?
? A0 ?

?

?

? A km cos( k ? 1 t ? ? k ) ? ?
A km cos( k ? 1 t ? ? k )

k ? 1,2 ,3 , ?

k ?1

?

a k cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t ) ak 2 2 a k ? bk [ cos( k ? 1 t ) ? 2 2 a k ? bk

bk a ?b
2 k 2 k

sin( k ? 1 t )]

? A km cos( k ? 1 t ? ? k )

f (t ) ? a0 ?

? [a
k ?1 ?

?

k

cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t )]
)

f (t ) ? A0 ?

?

A km cos( k ? 1 t ? ?

k

k ?1

?

a k cos( k ? 1 t ) ? b k sin( k ? 1 t ) ak 2 2 a k ? bk [ cos( k ? 1 t ) ? 2 2 a k ? bk

bk a ?b
2 k 2 k

sin( k ? 1 t )]

? A km cos( k ? 1 t ? ? k )

比较可知
A0 ? a 0
A km ? a k ? bk
2 2

A0 A1 m cos( ? 1 t ? ? 1 )
k k

a k ? A m cos ? b k ? A m sin ?

?

k

? arctan( ? b k / a k )

? 1 ? 2? / T

其他各项

周期函数f(t)的恒定分量 (或直流分量) 称为1次谐波(或基波分 量),它的周期(或频率) 与原函数f(t)相同。 统称为高次谐波,即2 次、3次、…谐波。

为了直观地表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪 些频率分量以及各分量所占的“比重”,用长度与各次谐波振 幅大小相对应的线段,按频率的高低顺序把它们依次排列起来, 这样得到的图形称为该周期函数的幅度频谱(图)。 由于各谐波的角频率是基波频率的整数倍,所以这种频 谱是离散的,又称为有线频谱。
A km

O

? 1 2? 1 3? 1 4? 1 5? 1 k ? 1

如果把各次谐波的初相用相应的线段依次排列,那么得到 的频谱称为相位频谱。 本书中频谱专指幅度频谱。

例12.1 求图示周期性矩形信号f(t) 的傅里叶级数展开式及其频谱。

f (t) Em T/2 O - Em
?

T

t
? 1t

2?

解: f(t)在第一个周期内的表达式为
f (t)=Em f (t)=-Em 0≤t ≤(T/2) (T/2)≤t ≤T


a0 ? ak ? ? ? 1 T 1

?

T 0 2? 0

f ( t ) dt ? 0 f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) E m cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ? 1

?
1

? ?
?

?
0

?

?

??

2?

E m cos( k ? 1 t ) d (? 1 t )

2Em

?

?
0

cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ? 0

bk ? ? ? ?

1

?
1

? ?
?

2? 0

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) 1

?
0

?

E m sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

?
?

??

2?

E m sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) 1 k cos( k ? 1 t )] 0
?

2Em 2Em k?

?

?
0

sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

2Em

[?

[ 1 ? cos( k ? )]

? 0 ???? k 为偶数 ? ? ?4Em ??? k 为奇数 ? k? ?

因此可得
f (t ) ? 4Em

?

[sin( ? 1 t ) ?

1 3

sin( 3 ? 1 t ) ?

1 5

sin( 5 ? 1 t ) ? ? ]

f (t ) ?

4Em

?

[sin( ? 1 t ) ?

1 3

sin( 3 ? 1 t ) ?

1 5

sin( 5 ? 1 t ) ? ? ]

f (t) Em
? 1t

Akm
4Em

?
4Em 3? 4Em 5? 4Em 7?

-Em
谐波合成

O ? 1 3? 1 5? 1 7 ? 1 k ? 1 频谱

利用函数的对称性计算傅里叶级数展开式中的系数

1. f (t)= f (-t)
偶函数,关于纵轴对称
bk ? 1
?

f (t)

?

??
?

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) 1

-T/2O

T/2

t

? ? ?

1

?
1

??
?

0

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

?

?

?
0

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

?
1

?? ??

0

f ( ? t ) sin( ? k ? 1 t ) d ( ? ? 1 t ) ? f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?
1

1

?
?
0

?

?
0

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

0

?

?

?

f ( t ) sin( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

? 0

2. f (t)=-f (-t)
奇函数,关于原点对称
-T/2

f (t)
T/2

ak ?

1

?

??
?

?

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) 1

O

t

? ? ?

1

?
1

??
?

0

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?

?

?

?
0

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

?
1

??

0

f ( ? t ) cos( ? k ? 1 t ) d ( ? ? 1 t )? f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t ) ?
1

1

?
?
0

?

?
0

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

?

??

0

?

?

f ( t ) cos( k ? 1 t ) d ( ? 1 t )

? 0

3. f ( t ) ? ? f ( t ? )
T 2

f (t)

奇谐波函数,镜对称
a 2 k ? b2 k ? 0

O

-T/2

T

t

4.

任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和:

f (t ) ? f (t ) ? f (t )
e o

偶函数 其中

f (t ) ?
e

1 2 1 2

[ f ( t ) ? f ( ? t )]

奇函数
[ f ( t ) ? f ( ? t )]

f (t ) ?
o

三角函数系及其正交性 1、三角函数系
1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ? , cos nx , sin nx , ?

2、三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ? ? , ? ] 上的积分等于零。
?

? ? cos
?

nxdx ? 0 ? 0 nxdx ? 0

( n ? 1,2 ,3 , ? ) ( n ? 1,2 ,3 , ? ) ( k , n ? 1,2 ,3 , ? ) ( k , n ? 1,2 ,3 , ? , k ? n ) ( k , n ? 1,2 ,3 , ? , k ? n )

? ? sin nxdx
?

?

? ? sin kx cos
?

?

? ? cos
?

?

kx cos nxdx ? 0 ? 0

? ? sin kx sin nxdx
?

?

§12-3
1、有效值

有效值、平均值和平均功率

对任何一个周期电流 i 的有效值 I 定义为
I ? 1 T

?

T

i ( t ) dt

2

均方根

0

设非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i(t ) ? I 0 ?

?

?

I km cos( k ? 1 t ? ? k )

k ?1

将 i 代入有效值公式,则得此电流有效值为
I ? 1 T

?

T

0

[I0 ?

?

?

I km cos( k ? 1 t ? ? k ) ] dt
2

k ?1

I ?

1 T

?

T

0

[I0 ?

?

?

I km cos( k ? 1 t ? ? k ) ] dt
2

k ?1

上式中的平方项展开后将含有下列各项:
1 T 1 T 1
T

? ?
?
0

T

0

I 0 dt ? I 0
2 2 2

2

T

I km cos ( k ? 1 t ? ? k ) dt ? I km / 2 ? I k
2

2

T

0

2 I 0 cos( k ? 1 t ? ? k ) dt ? 0
T

1 T

?

0

2 I km cos( k ? 1 t ? ? k ) I qm cos( q ? 1 t ? ? q ) dt ? 0

(k ? q )

则 i 的有效值为
I ? I ? I ? I ? I ?? ?
2 0 2 1 2 2 2 3

I ?
2 0

?

?

Ik

2

k ?1

i 的有效值为
I ? I0 ? I1 ? I 2 ? I 3 ? ? ?
2 2 2 2

I0 ?
2

?

?

Ik

2

k ?1

即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐 波有效值的平方之和的平方根。 此结论可以推广用于其他非正弦周期量。如果非正弦 周期电压的表达式为
u(t ) ? U 0 ?

?U
k ?1

?

km

cos( k ? 1 t ? ? k )

则其有效值为
U ? U0 ? U1 ? U2 ? U3 ?? ?
2 2 2 2

U0 ?
2

?U
k ?1

?

2 k

2、平均值 以电流 i 为例,其定义如下:
I av ? 1 T
T

?

| i |dt

0

即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。 正弦电流的平均值为
I av ?
?

1 T

?

T

0

| I m cos( ? t ) |dt ?
T /4

4Im T

?

T /4

cos( ? t )dt

0

4Im

?T

[sin( ? t )] 0

? 0 . 637 I m ? 0 . 898 I

它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值,这是因为 取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。

3、测量仪表的使用 对非正弦周期电流电路的测量,使用不同的测量仪表 将得出不同的结果。
磁电系仪表 (直流仪表)
1 T 1 T 1 T
T

恒定分量

? ?

? ? ?

idt

0

电磁系仪表

有效值

? ?

T

i dt

2

0

全波整流仪表

平均值

? ?

T

| i | dt

0

4、非正弦周期电流电路的平均功率
若? u ( t ) ? U 0 ?
i(t ) ? I 0 ?

?U
?
?

?

km

cos( k ? 1 t ? ? k )
)

+

i N

k ?1 ?

u
_

I qm cos( q ? 1 t ? ?

iq

q ?1

则任意一端口吸收的瞬时功率为
p ? ui ? [ U 0 ?

?U
k ?1 ? q ?1

km

cos( k ? 1 t ? ?

uk

) ][ I 0 ?
?

?

?

I qm cos( q ? 1 t ? ?

iq

)]

q ?1

? U 0 I 0 ? U 0 ? I qm cos( q ? 1 t ? ? ?

iq

) ] ? I 0 ? U km cos( k ? 1 t ? ?
k ?1 ?

uk

)

?U
k ?1

?

km

cos( k ? 1 t ? ?

uk

) ? I qm cos( q ? 1 t ? ?
q ?1

iq

)

p ? U 0 I 0 ? U 0 ? I qm cos( q ? 1 t ? ?
q?1

?

iq

) ] ? I 0 ? U km cos( k ? 1 t ? ?
k ?1 ?

?

uk

)

?

?U
k ?1

?

km

cos( k ? 1 t ? ?

uk

) ? I qm cos( q ? 1 t ? ?
q ?1

iq

)

该一端口吸收的平均功率定义为
P ? 1 T

?
T 0

T

p ( t ) dt
0

经分析可知
P ? U 0I0 ?

?

?

1 T

k ?1

?

[U km cos( k ? 1 t ? ?

uk

) I km cos( k ? 1 t ? ?

ik

)]dt

? U 0 I 0 ? U 1 I 1 cos ? 1 ? U 2 I 2 cos ? 2 ? ?

其中
U k ? U km / 2
ik

I k ? I km /

2

?k ??

uk

??

k ? 1,2 ,3 , ?

结论: 非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量构成的功率 和各次谐波平均功率的代数和。 注意: 1)不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。 2)对一个电路来说,不同频率的电源产生的功率满足可加性。 同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。 5、其他问题 1) 非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂,不予讨论。 2) 非正弦周期电流电路视在功率的定义
S ? UI

例12.2
i1
i2

已知:
i

i 1 ? 3 cos( 3? t ? 60 ) A
o
o

i 2 ? 5 ? 4 2 cos( ? t ? 30 ) A

i3

N

A

i 3 ? 3 cos( 3? t ? 45 ) A
o

求:电磁系电流表的读数。

解:
i ? i1 ? i 2 ? i 3
? 5 ? 4 2 cos( ? t ? 30 ) ? 3 cos( 3? t ? 60 ) ? 3 cos( 3? t ? 45 ) A
o o o

对三次谐波,有
?

o ? I 1 m ? 3? 60

o ? I 3 m ? 3? 45

o o o ? ? I 1 m ? I 3 m ? 3 ? 60 ? 3 ? 45 ? 5 . 95 ? 52 . 5

?

i ? 5 ? 4 2 cos( ? t ? 30 ) ? 5 . 95 cos( 3? t ? 52 . 5 ) A
o o

?

I ?

5 ?4 ?(
2 2

5 . 95 2

) ? 7 . 66 A
2

读数

§12-4

非正弦周期电流电路的计算

谐波分析法的具体步骤: 1) 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级 数,高次谐波取到哪一项为止,要根据所需准确度的高低 而定。 2) 分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波 分量单独作用时的响应。对恒定分量,求解时把电容看成 开路,把电感看成短路。对各次谐波分量可以用相量法求 解,但要注意感抗、容抗与频率的关系。把各计算结果及 时转换为时域形式。 3) 应用叠加定理,把步骤 2) 计算出的结果在时域 内进行叠加,从而求得所需的响应。 注意:不同频率的正弦电流相量或电压相量不能直接相加。 4) 其他分析。

谐波分析法的步骤图示:(分析用相量法,叠加在时域内)
+
us (t ) U0 _
u ( 1 )+ _ u ( k )_
+ +

_

R L C

R L C

R

R

+ _U

0

R L短 C开

?

+ ? _U ( 1 )

j? 1 L

???

+ ? _U ( k )

jk ? 1 L

??

1 j? 1C

1 jk ? 1 C

例12.3 已知
i0

u ( t ) ? 10 ? 141 . 4 cos( ? 1 t ) ? 70 . 7 cos( 3? 1 t ? 30 )V
o

X

L (1 )

? ? 1 L ? 2?

+
u(t )

R1

i1

R2

i2

X C (1 ) ? ?
R1 ? 5 ?

1

? 1C

? ? 15 ?
R 2 ? 10 ?



L

C

求各支路电流。 解:电压u(t)的直流分量单独作用时的电路如下图所示, 此时电感相当于短路,电容相当于开路。
I 0(0)
I 1( 0 )

+
U (0)

R1

R2

I 2(0)

I 1( 0 ) ?

U (0) R1

?

10 5

? 2A



C

+ –

I 2(0) ? 0 A I 0 ( 0 ) ? I 1( 0 ) ? I 2 ( 0 ) ? 2 A

电压u(t)的基波分量单独作用时的电路如下图所示, 此时应使用相量法进行计算,基波的角频率就是ω1。
? I 0 (1 )
u ( 1 ) ? 141 . 4 cos( ? 1 t )V

+
? U (1 )

R1

? I 1(1 )

R2

? I 2 (1 )

o ? ? U ( 1 ) ? 100 ? 0 V



X

L (1 )

X C (1 )

? ? I 1(1 ) ?

? U (1 ) R 1 ? jX
L (1 )

?

100 ? 0 5 ? j2
o

o

? 18 . 55 ? ? 21 . 8 A

? I 2 (1 ) ?

? U (1 ) R 2 ? jX
C (1 )

?

100 ? 0

o

10 ? j 15

? 5 . 55 ? 56 . 31 A
o

o o ? ? ? I 0 ( 1 ) ? I 1 ( 1 ) ? I 2 ( 1 ) ? 18 . 55 ? ? 21 . 8 ? 5 . 55 ? 56 . 31

? 20 . 43 ? ? 6 . 38 A
o

电压u(t)的三次谐波分量单独作用时的电路如下图所 示,使用相量法进行计算,注意此时的角频率是 3ω1。
? I 0(3)
u ( 3 ) ? 70 . 7 cos( 3? 1 t ? 30 )V
o

+
? U (3)

R1

? I 1( 3 )

R2

? I 2(3)

o ? ? U ( 3 ) ? 50 ? 30 V

X



L(3)

? j 3? 1 L ? 3 X

L (1 )

? 6?

X

L(3)

X C (3)
X C (3) ? ? j

1 3? 1 C
o

?

1 3

X C (1 ) ? 5 ?

? ? I 1( 3 ) ? ? I 2(3) ?

? U (3) R 1 ? jX ? U (3) R 2 ? jX
C (3) L(3)

?

50 ? 30 5 ? j6 50 ? 0

o

? 6 . 4 ? ? 20 . 19 A

o

?

10 ? j 5

? 4 . 47 ? 56 . 57 A
o

o ? ? ? I 0 ( 3 ) ? I 1 ( 3 ) ? I 2 ( 3 ) ? 8 . 61 ? 10 . 17 A

把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值, 属于同一支路的进行相加,可得最终的结果
i 1 ? 2 ? 18 . 55 i 2 ? 5 . 55 2 cos( ? 1 t ? 21 . 8 ) ? 6 . 4 2 cos( 3? 1 t ? 20 . 19 ) A
o o o

2 cos( ? 1 t ? 56 . 31 ) ? 4 . 47
o

2 cos( 3? 1 t ? 56 . 57 ) A
o

i 0 ? 2 ? 20 . 43

2 cos( ? 1 t ? 6 . 38 ) ? 8 . 61

2 cos( 3? 1 t ? 10 . 17 ) A
o

R1支路吸收的平均功率为
P1 ? U ( 0 ) I 1 ( 0 ) ? U ( 1 ) I 1 ( 1 ) cos ? 1 ? U ( 3 ) I 1 ( 3 ) cos ? 3

? 10 ? 2 ? 100 ? 18 . 55 cos 21 . 8 ? 50 ? 6 . 4 cos[ 30 ? ( ? 20 . 19 )]
o o o

? 20 ? 1722 ? 204 . 88 ? 1947 W

或者 P1 ? I 1 R 1 ? ( 2 ? 18 . 55 ? 6 . 4 ) ? 5 ? 1945 . 3W 这是因为电路中只有电阻在吸收平均功率,电感和电容吸 收的平均功率都为零。
2 2 2 2


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