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数列的历史


数列的求和公式

我们已知下面几个公式:

等差数列的和:

等比数列求和公式: 在中学的教学课堂上, 我们可以利用课堂的粉笔, 来探讨一个很实际的问题: 一个堆放粉笔的 V 形架的最下面一层放一支粉笔, 往上每一层都比它下面一层多 放一支,最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共放着多少支粉笔? 由这个问题很容易联想到高斯的一种算法:“ ”

这是小学时就知道的一个故事, 高斯的算法非常高明.因为他发现这 100 个数 可以分为 50 组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组, 第三个数与倒数第三个数一组,由此类推,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5050 了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算, 迅速准确得到了结 果. 如果我们计算一般的等差数列的和,高斯算法对我们的求和过程有何启发? 我们首先来看看数列发展的历史: 等差数列和等比数列是数学史上最早出现、并引起人们兴趣的两种数列。在 苏格兰埃及学家莱因得于1858年购自埃及、时间属于约公元前1650年的纸草上, 记载有这样两个等差数列问题: 1.五人按等差数列分100片面包,最少的两份之和是另外3份的七分之一。

这是一个已知等差数列的项数 ,和

以及

,求每

项的问题。纸草上所给答案是











2.10人分10斗玉米(corn) ,从第二人开始,各人所得依次比前一人少 。

纸草上给出的解法是: “取10人所得的平均值,即1;从10中减去1,得9。取

差数的一半,得

,再乘以9,得

。加平均值1,然后依次从各份中减去

差数 ,直到最后一份。 ”10份依次是:



















这里,我们须注意,除了

外,古代埃及人总是使用单分数(分子为1的分

数)的。上述问题相当于已知等差数列的项数

,和

,公差



求各项。纸草上的解法显然具有一般性,用我们的记号表示,即

因此可以看出,古代埃及人已经总结出递增或递减的等差数列求和公式

在中国古代文物或文献中, 有关等差和等比数列的内容十分丰富。 《周髀算经》 将日行轨道按季节不同分成七个同心圆,称为“七衡图” 。已知内衡直径 =

238000里,两衡间距为 ; ; ?? 。

=19833 万里,则其余各衡的直径依次为

从中可归纳出一般等差数列的通项公式

数学史上,等比数列或许比等差数列出现得更早。约在公元前3000年,巴比 伦人就已经总结出等比数列1, , 。 等比数列源于古代的一些实际问题. 古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿 默斯.他用象形文字写了一部《算书》 ,记录了公元前 2000 年——前 1700 年间 数学研究的一些成果.其中有这样一题,题中画了一个阶梯,其各级注数为 7, 49,343,2401,16807.并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器.原书上并 无任何说明,遂成为数学史上的一个难解之谜.2000 多年中无人能解释. ,? 的求和公式

到中世纪,意大利斐波那契在 1202 年发表了《算盘全书》 ,书中这样一题: 有七老妇人同往罗马,每人有七骡,每骡负七袋,每袋盛有七个面包,每个面 包有七小刀随之,每小刀配有七鞘,问列举之物全数共有几何? 显然这是一个等比数列的求和问题. 同理,我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题. 《孙子算经》中有一 个有趣的题目“出门望九堤” : 今有出门重九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,维有 九毛,毛有九色,问各几何? 用梯形面积公式记忆等差数列前 处理,对应着等差数列前 项和公式, 这里对图形进行了割、 补两种

项和的两个公式.

利用图形计算数列的前 n 项和非常的简便形象。这些数列的历史都可以很方 便的应用到数列的学习例题中,对增进数学兴趣和计算能力都有很好的用处。


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