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2006年全国高中数学联赛山东赛区预赛


2007 年第 6 期

43

2006 年全国高中数学联赛山东赛区预赛
   一、 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 60 分)
1. 若 a > b > c > 0 , 则 b > a - c 是 a 、 b、 ). c 成为三角形三边的长度的 (    (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 ( C) 充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件 2. 设复数 z 满足 ( z - i ) ( z + i ) ≤ 1. 那么 ,
z 在复平面内对应的点的集合构成的图形为

( C) - 2 < a < 0  (D) 以上选项都不对 6. 正三棱柱的两个侧面的异面对角线互

相垂直的充要条件是 : 它的底面边长与侧棱 ). 长的比为 (   
(A) 3 ∶ 1 (B) 1∶3 ( C)
2

2∶ 1 (D) 1∶2

7. 已知函数 f ( x ) = ax + 2 ( a - 2 ) x + a - 4 ,当 x ∈( - 1 ,1 ) 时 , 恒有 f ( x ) < 0. 则 a ). 的取值范围是 (    (A) a ≤ 2 ( C) 0 < a < 2 (B) a < 2 (D) a < 2 且 a ≠ 0

(    ). (A) 圆心为 (1 ,0) 、 半径为 1 的圆及其内部 (B) 圆心为 (0 ,1) 、 半径为 1 的圆及其内部 ( C) 圆心为 ( - 1 ,0) 、 半径为 1 的圆及其

8. 已知定义在 R 上的函数 y = f ( x ) 满

足 : f ( x ) + f ( - x ) = 0 ,且当 x ≤ 0 时 ,有
y= x
2n+1

内部
(D) 圆心为 ( 0 , - 1 ) 、 半径为 1 的圆及其

+x

2n

+ …+ x .

内部
3. 设集合 A = { x | | x | - 3| x | + 2 = 0} ,
B = { x | ( a - 2) x = 2}.
2

). 则 f ( x ) 在 R 上的表达式为 (    2n 2n - 1 (A) x ( | x | + | x | + …+ 1) (B) | x | ( x2 n + x2 n - 1 + …+ 1) ( C) x [ | x |
i

2n

- | x|
2n- i

2n- 1

+ …+

) 个. 则满足 B A 的 a 的值共有 (    (A) 2 (B) 3 ( C) 4 (D) 5 4. 已 知幂函数 y = x
2 m - m- 6

( - 1) | x | (D) | x | [ x
2n

+ …+ 1 ] + …+

- x

2n- 1

( - 1) x

i

2n - i

+ …+ 1 ]
2

( m ∈Z) 的

9. 经过抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点 F

图像与 x 轴无公共点 . 则 m 的取值范围是 (    ).
(A) { m | - 2 < m < 3 , m ∈Z} (B) { m | - 2 ≤m ≤ 3 , m ∈Z} ( C) { m | - 3 < m < 2 , m ∈Z} (D) { m | - 3 ≤m ≤ 2 , m ∈Z} 5. 已 知 方 程 3 tan 2 x = 0,
a +1 - 1 在 cos 2 x

的直线 l 与抛物线交于点 A 、 B , 则 | FA | ? ). | FB | 的最小值为 (   
(A)
p
2

4

2 2  (B) p  ( C) 4 p  (D) 不存在

10. 5 个人参加 4 个组 , 每组两人 , 每人

至少 参 加 一 个 组 . 那 么 , 不 同 的 分 组 共 有 (    ) 种.
(A) 135 (B) 130 ( C) 125
n

(D) 120

π 上仅有一个实数解 . 则参数 a 的取值 2 ). 范围是 (   
(A) - 2 ≤a ≤ 0  (B) - 2 ≤a < 0

二、 填空题 ( 每小题 6 分 ,共 24 分)
11. 设 a n 是 ( 3 ) 的二 x ) ( n = 2 ,3 , … 3
2

项展开式中 x 的系数 . 则

a2

+

3

3

a3

+ …+

3

18

a18

44

中 等 数 学

的值是 . 2 12. 若 a > a > b > 0 ,则
log b
b a 、 log a 、 log b a 、 log a b a b

中间通过若干场比赛获得 n 分的概率 ( 设该 队这一赛季的全部比赛场次数为 S , 这里 0
< n ≤S ) . 18. ( 15 分) 以椭圆
x 2 2 + y = 1 ( a > 1) 的 a
2

从小到大的排列顺序是 13. 如 图 1 , ( 2 ,1) 、 ( 6 ,3 ) 、 A′ B′ ( 3 ,5) 是 坐 标 平 C′ 面 xOy 上 的 三 个 点 ,点 A、 B、 C 分 别 是 线 段 CC′ 、
AA′ 、 BB′ 的 中 点.

.

短轴端点 B ( 0 ,1) 为直角顶点作椭圆的内接 等腰 Rt △ABC . 若这样的三角形有且只有一 个 ,求 a 的取值范围 . 19. ( 15 分) 已知数列{ a n } 满足 :
an + 1 an + 3 an + 1 + a n + 4 = 0.
图1

若 a2 006 是数列{ an }的最小项 ,求首项 a1 的取值范围 .

则 △ABC 的重心坐标为 . 14. 过双曲线的左焦点 F1 且与双曲线的 实轴垂直的直线交双曲线于点 A 、 B . 若在双 曲线的虚轴所在的直线上存在一点 C , 使 ∠ACB = 90° ,则双曲线的离心率 e 的取值范 围是 . 三、 解答题 ( 共 66 分) 15. (12 分) 求直角坐标平面 bOa 上的点 集
S = { ( b , a) | f ( x ) = ax + bx - 3 x
3 2

参考答案
一、 1. C. 条件的必要性是显然的 . 由 b > a - c ,得 b + c > a . 由于 a 最大 ,所以 ,保 证了任何两个长度之和大于第三个长度 . 从而知条 件是充分的 . 2. B. 设 z = a + b i ,则有 ( z - i) ( z + i) = ( a + b i - i) [ a - ( b i - i) ] 2 2 = a + ( b - 1) ≤ 1. 所以 ,其图形为以 (0 ,1) 为圆心 、 1 为半径的圆及 其内部 . 3. D. A = { x| | x | = 1 ,| x | = 2} = { - 2 , - 1 ,1 ,2}. 易知 , 当 a 分 别 取 值 0 , 1 , 3 , 4 时 , B 分 别 为
{ - 1} ,{ - 2} ,{2} ,{1}. 又 a = 2 时 , B 为空集 , B A ,所以 , a 的值共有 5 个 . 4. B.

   为 R 上单调函数 ,且 a ≥- 1} 所成图形的面积 . 16. ( 12 分 ) 如 图 2 ,已知二面角 M - CD - N 为 θ (0° ) ,A ∈ < θ< 90° M , B ∈ N , AB ⊥ CD , AB 与 平 面 N

图2

成 30° 角 . 若 △ACD 的面积为 S ,那么 ,θ为何 值时 , △BCD 的面积有最大值 ? 最大值是多 少?
17. (12 分) 中国男子篮球甲级联赛的规

则规定 : 每场比赛胜者得 2 分 , 负者得 1 分 (每场比赛 , 即使通过加时赛也必须分出胜 负) . 某男篮甲级队实力强劲 , 每场比赛获胜 的概率为
3 1 、 失利的概率为 . 求该队在赛程 4 4

幂函数 y = xm - m - 6 ( m ∈Z) 的图像与 x 轴无公 共点 Ζ y 恒不为零 Ζ 函数 y 在 x = 0 处无定义 . 所以 , m2 - m - 6 ≤ 0. 解得 - 2 ≤m ≤ 3. 5. D. π π a+1 方程可化为 sin 2 x + = . x≠ 6 2 4 π π π ≤7 π 当 0 ≤x ≤ 时 ,有 ≤ 2x + . 2 6 6 6 π 1 ≤ a+1 1 显然 , 当 sin 2 x + = < 时, 2 6 2 2 方程仅有一实数解 ,从而 , - 2 ≤a < 0. π 3 ≥1 = 时, 6 2 2 π π π 2 π 2x + = 或 2x + = . 6 3 6 3 当 sin 2 x +

2

2007 年第 6 期

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k x - p ( k + 2) x +
2 2 2

解得 x =

π π 或 x= . 4 12

k p

2

2

4

= 0.

π π 因 x ≠ ,所以 , 方程也仅有一实数解 x = , 4 12 此时 ,
a+1

2

=

3 , 2

它的两个实数根 x1 、 x2 即为点 A 、 B 的横坐标 . 由根与系数的关系得 2 p ( k + 2) 2p x1 + x 2 = = p+ 2 , 2
k k x1 x 2 = p
2

即 a = 3 - 1. 故 参数 a 的取值范 围为 - 2 ≤ a < 0 及 a = 3 - 1. 上述解答过 程可参阅图 3. 图3 6. C. 如图 4 , 不 妨 假 定 底 面 边长为 a > 0 ,侧棱长为 1. 根 据题意 ,有 B 1 A? BC1 = 0. 因 B 1 A = B 1 A1 + B 1 B , BC1 = BB 1 + B 1 C1 则  B 1 A? BC1 图4 = B 1 A1 ? BB 1 +  B 1 B ? BB 1 + B 1 A1 ? B 1 C1 + B 1 B ? B 1 C1
= - 1 + a cos 60° = - 1+
2

4

.
p

又| FA | = x1 +
| FA | ? | FB | = = x1 x2 + =
p
2

2

,| FB | = x2 +
p

p

2
p

,则

x1 +

2
p
2 2

x2 +

2

p

2

( x 1 + x2 ) +
p+

4 = p +
2

4

+

p

2p
k
2

2

+

p

4

p 2 2 > p . k p

2

当 l 与 x 轴垂直时 , 点 A 、 B 的横坐标均为 所以 ,
p p p p

2

,

a

2

= p . + + 2 2 2 2 2 综上所述 ,| FA | ? | FB | 的最小值为 p . 10. A. 2 5 个人一共可组成 C5 = 10 个两人组 . 每 4 个组

| FA | ? | FB | =

2

2

= 0.

从而 , B 1 A ⊥BC1 Ζ a = 2. 7. A. 2 f ( x ) = ( x + 1) a - 4 ( x + 1) . 欲使 x ∈( - 1 ,1) 时 ,恒有 f ( x ) < 0 ,即 a < 恒成立 . 由 - 1 < x < 1 ,得
4
x +1

4
x +1

> 2. 故只需 a ≤ 2 即可 .

8. C. 因 f ( x ) = - f ( - x ) , 即 y = f ( x ) 是奇函数 , 于 是 ,若当 x ≤ 0 时 ,有 y = φ( x ) ,则 - φ( - x ) , x > 0 ; y = f ( x) = φ( x ) , x≤ 0. 当 x≠ 0 时 ,此分段表达式可统一地表示为
y = f ( x) = x φ( - | x | ) . | x|

称为一种分组方式 . 符合题意的分组方式应包含 5 个人 . 因为少于 4 个人不能组成 4 个两人组 , 所以 , 所有不符合题意 , 即仅含 4 个人的分组方式共有 4 4 2 C5 C6 = 75 种 ( 每 4 个人可组成 C4 = 6 个两人组 ) . 故 4 4 符合题意的分组方式共有 C4 10 - C5 C6 = 135 种 . 二、 11. 17. n- 2 因为 an = C2n ? 3 ,所以 , n n 3 3 2 18 2 = = . n- 2 = 3 × an C2n ? n ( n - 1) n ( n - 1) 3 从而 ,
3
2

a2

+

3

3

a3

+ …+

3

18

a18

1 1 1 = 18 + + …+ 2× 1 3× 2 18 × 17 1 1 1 1 1 = 18 1 + + …+ 2 2 3 17 18 12. log a
a b < log b a < log b < log a b. b a

= 17.

x 2n +1 2n [ ( - | x| ) + ( - | x| ) + | x| …+ ( - | x | ) ] 2n 2n - 1 i 2n - i = x [| x| - | x| + …+ ( - 1) | x| + …+ 1]. 当 x = 0 时 ,该式仍然成立 .

故 y= -

由 a > a2 > 0 ,得 0 < a < 1. 因此 ,0 < b < a < 1. 所以 ,log a b > log a a = 1. 由 0 < b < a2 < 1 ,得
0 < log b a < log b
b < a < 1 ,所以 ,

1 . b= 2

9. B.

焦点 F

p

因为 log b
,0 . 当 l 不与 x 轴垂直时 , 可设直
p

b 1 = 1 - log b a ,0 < log b a < ,所以 , a 2

2

线 l 的方程为 y = k x -

. 2 代入抛物线方程 ,消去 y ,整理得

1 b < log b < 1. 2 a

又 log a

a = 1 - log a b < 0 ,故 b

46 log a 13.
a b < log b a < log b < log a b. b a

中 等 数 学
6- 2

∫9 x d x = 4.
2 0

3

1

11 ,3 . 3 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y2 ) 、 C ( x3 , y3 ) . 由中点坐 标公式得 2 x1 = x3 + 3 ,2 x2 = x1 + 2 ,2 x3 = x2 + 6 , 2 y1 = y3 + 5 ,2 y2 = y1 + 1 ,2 y3 = y2 + 3. 26 20 31 解得 x1 = , x2 = ,x = , 7 7 3 7 27 17 19 y1 = , y2 = , y3 = . 7 7 7 设 △ABC 的重心坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x1 + x2 + x3 11 y1 + y 2 + y3 x0 = = , y0 = = 3. 3 3 3 11 所以 , △ABC 的重心坐标为 ,3 . 3 14. e ≥ 5 +1 . 2
2 2

16. 如图 5 ,作 A E ⊥ 平面 N , E 为垂足 . 联结 B E 并延长交 CD 于点 F ,联结 A F. 因为 A E ⊥平 面 N ,所以 , B E 是 AB 在 平面 N 内的射影 , 且 图5 A E ⊥CD . 又 AB ⊥CD ,则 CD ⊥ 平面 AB F. 故 CD ⊥A F , CD ⊥B F. 所以 , ∠A FB 是二面角 M - CD - N 的平面角 , ∠AB F 是 AB 与平面 N 所成的角 ,即 ∠A FB = θ, ∠AB F = 30° . 1 由已知 S △ACD = CD? AF = S , 2 1 S △BCD = CD? BF , 2

x y 2 2 = 1 ( a > 0 , b > 0) . 它的 a b 实轴在 x 轴上 ,虚轴在 y 轴上 ,左焦点 F1 ( - c ,0) ( c

设双曲线方程为

可得

B 所在直线为 x = - c . a + b ) ,点 A 、 x= - c, 2 2 b b 由 x2 y2 解得 y1 = , y2 = . a a 2 2 =1 , a b 2 2 b b 则 A - c, 、 B - c,. a a 设点 C (0 , t ) 在 y 轴上 ,使 ∠ACB = 90° .则 2 2 b b tt+ a a ? = - 1. c c 4 b 化简得 t2 = 2 - c2 . a 4 b 2 若点 C 存在 ,则 t 为实数 , 2 - c2 ≥ 0 ,即 b ≥ a 2 2 2 ac . 因为 b = c - a ,所以 ,

=

2

2

S △BCD B F = . S AF 在 △A FB 中 ,由正弦定理得 B F sin ∠BA F = AF sin 30°

)] = 2sin [180° - (θ+ 30° ) , = 2sin (θ+ 30°

即 

S △BCD ). = 2sin (θ+ 30° S

又 0°< θ < 90° , 所 以 , 当 且 仅 当 θ = 60° 时,
) 有最大值 1 ,即 sin (θ+ 30°
S △BCD 有最大值 2. S 故当 θ= 60° 时 , S △BCD 有最大值 2 S .

17. 设经过若干场比赛 , 该队获 n 分的概率为
pn ,则有

2 2 c - a ≥ac .

等式两边同除以 a2 ,得 e2 - 1 ≥e ,即 2 e - e- 1≥ 0.
5 +1 . 2 三、 15. 当 a = 0 时 ,由 f ( x) 在 R 上单调 ,知 b = 0. ( x ) 在 R 上不变号 . f ( x ) 在 R 上单调 Ζ f ′ ( x ) = 3 ax2 + 2 bx - 3 ,所以 ,由 因为 f ′ Δ = 4 b2 + 36 a ≤ 0,

1 3 13 2 , p = p1 + = . 4 2 4 16 当 n > 2 时 ,有 1 3 pn = p + p (2 < n ≤S ) , 4 n- 1 4 n- 2 3 ( pn - 1 - pn - 2 ) . pn - pn - 1 = 4
p1 =

因为 e > 0 ,所以 , e ≥

因此 ,数列{ pn - pn - 1 } 是首项为 p2 - p1 = 公比为 3 的等比数列 ,有 4 n- 2 n 9 3 3 pn - pn - 1 = = . 16 4 4 故 pn = ( pn - pn - 1 ) + ( pn - 1 - pn - 2 ) + …+ ( p2 - p1 ) + p1 = 3 4 3 4 n

9 、 16

1 2 b . 9 从而 ,知满足这一条件的点 ( b , a ) 在直角坐标 1 2 平面 bOa 上所成图形是由曲线 y = x 及直线 9 y = - 1所围成的封闭图形 ,其面积为

得  a ≤-

+ +1

-

3 4

n- 1

+ …+

-

3 4

2

+

2007 年第 6 期 3 n +1 4 4 4 3 = = 3 7 7 4 1+ 4 n 4 3 3 = + . 7 7 4 注 :因该队这一赛季的全部比赛场次数为 S ,则 关系式 1 3 pn = p + p 4 n- 1 4 n- 2 只有在 n ≤S 的情况下才成立 . 因为这一关系式所 反映的获得 n 分的概率是通过所有各种情况获得 n 分的概率的总和 ,即通过 1 场比赛获得 n 分 , 通过 2 场比赛获得 n 分 , …… 的概率之和 , 其中 ,也包括通 过 n 场比赛获得 n 分的概率 . 若 n > S ,则因只限于 S 场比赛 ,应该从中排除 多于 S 场比赛获得 n 分的各种情况 . 所以 ,上述关系 式已不再反映真实的获得 n 分的概率 . 因此 , 只有 在条件 n ≤S 的情况下 , 由上述关系式计算的获 n 分的概率才是正确的 . 18. 设直线 AB 的方程为 y = kx + 1 ( k > 0) ,则直 1 线 BC 的方程为 y = x + 1. 1k 2 x 2 2 - 2a k 2 + y =1 , 由 a 解得 xA = 2 2 . a k +1 y = kx + 1 , 2 x 2 2 + y =1 , 2 a 2a k 由 解得 x C = 2 2. a + k 1 y= x +1, k 2 | - 2 a k| 则| AB | = 1 + k2 ? 2 2 a k +1 2 2a k 2 = 1 + k ?2 2 , a k +1
2 2
n +1

47 (α+ λ ) an - α λ+ 3λ . an + 3 对比系数得 α+ λ= - 1 , λ+ 3λ= - 4. -α 解得 α= 1 ,λ= - 2. an + 2 故 an + 1 + 2 = . an + 3 1 1 从而 , = +1 an + 1 + 2 a n + 2 1 1 = + 2 = …= + n. an - 1 + 2 a1 + 2 1 所以 , an = - 2 + . 1 1 n2 + a1 1 ( n ∈N+ ) 在 n - a < 0 , 易知函数 f ( n) = n- a n + 1 - a > 0 时达到最小值 . 所以 , 由 a2 006 是 { a n } 的 最小项 ,知 1 2 006 < 1 < 2 007. 2 + a1 4 011 4 013 解得 < a1 < . 2 005 2 006 解法 2 :由已知 an + 1 a n + 2 an + 1 + 2 a n + 4 = an - a n + 1 , ( an + 1 + 2) ( an + 2) = ( an + 2) - ( an + 1 + 2) , 1 1 = 1. an + 1 + 2 an + 2 1 所以 ,数列 是公差为 1 的等差数列 ,有 an + 2 1 1 = + n - 1. a n + 2 a1 + 2 1 1 当 > 0 时 ,数列 是正项递增数 an + 2 a1 + 2 列 ,在此数列中没有最大项 , 从而 , 在数列 { an } 中没 有最小 项 , 与 a2 006 是 数 列 { an } 的 最 小 项 矛 盾 . 故 1 < 0. a1 + 2 1 因为数列 是递增数列 , 且 a2 006 是数列 an + 2 1 1 { an } 的最小项 , 所以 , 是数列 中的 an + 2 a2 006 + 2 最大负项 . 1 从而 ,应有 > 0. a2 007 + 2 1 1 所以 , = - 1 > - 1. a2 006 + 2 a2 007 + 2 1 故- 1< < 0 ,即 a2 006 + 2 1 - 1< + 2 005 < 0. a1 + 2 4 011 4 013 解得 < a1 < . 2 005 2 006 ( 梁本江   提供)
an + 1 =

1 | 2 a k| 1 + k 2a k ?2 2 ?2 2 = 2. k k a + k a + k 1 1 由| AB | = | BC| ,得 2 2 = 2 2 . a k +1 k( a + k ) 3 2 2 2 化简得 k - a k + a k - 1 = 0. 则 ( k - 1) [ k2 + (1 - a2 ) k + 1 ] = 0. 因为符合条件的等腰直角三角形有且只有一 个 ,所以 , 上述方程只有一个实数根 k = 1. 故方程 2 2 k + (1 - a ) k + 1 = 0 没有实数根或有两个相等的 实数根 k = 1. 于是 , Δ = (1 - a2 ) 2 - 4 = a4 - 2 a2 - 3. 当 Δ < 0 时 ,有 - 1 < a2 < 3. | BC| = 1+

2

因为 a > 1 ,所以 ,1 < a < 3 . 当Δ = 0 时 ,有 a = 3 ,并且此时方程 k2 - 2 k + 1 = 0 有两个相等的实数根 k = 1. 综上所述 ,所求的 a 的取值范围为 1 < a ≤ 3. - an - 4 19. 解法 1 :由题目条件即得 an + 1 = . an + 3 α( an - λ ) 令 an + 1 - λ= ,即 an + 3


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