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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(85)


加试模拟训练题(85)
1.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足, 证明点A1、B1、C1共线;
A

C1
B

A1

C

B1

2.三元数组(xn,yn,zn) ,n=1,2,?由下列关系式确定: x1=2,y1=4,z1=6/7

1.证明:上述作三元组的过程可以无限继续下去. 2.能否在某一步,得到的三元数组(xn,yn,zn)满足等式 xn+yn+zn=0?

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3. 正三角形的每一条边都被分成 k 个等分,过每个分点作平行于边的直线.结果把三角形分成 k2 个全等 的小正三角形.我们把下面一组小三角形叫做一个“链” :在其中没有一个三角形出现两次,而且前一个 三角形与后一个三角形有一条公共边.求“链”中所含三角形个数的最大值.

4.假设 a1 , a2 ,? , an 是 1, 2,?, n 的某种排列,证明:如果 n 是奇数,则乘积

? a1 ? 1?? a2 ? 2 ??? an ? n ?
是偶数.

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加试模拟训练题(85)
1.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足, 证明点A1、B1、C1共线;

BA BP ? cos ?PBC 证:易得 : 1 ? ? , CA1 CP ? cos ?PCB CB1 CP ? cos ?PCA ?? AB1 AP ? cos ?PAC AC1 AP ? cos ?PAB ?? BC1 PB ? cos ?PBA 将上 面三 条式 子相乘 ,
C1
B

A

A1

C

B1

且 ? ?PAC ? ?PBC , ?PAB ? ?PCB , ?PCA ? ?PBA ? 180? 可得 BA1 CB1 AC1 ? ? =1 , CA1 AB1 BC1

依梅 涅劳 斯定 理可知1、B1、C 1 三点 共线 ; A
2.三元数组(xn,yn,zn) ,n=1,2,?由下列关系式确定: x1=2,y1=4,z1=6/7

1.证明:上述作三元组的过程可以无限继续下去. 2.能否在某一步,得到的三元数组(xn,yn,zn)满足等式 xn+yn+zn=0? 【题说】第十六届(1990 年)全俄数学奥林匹克十年级题 4. 【证】1.只须证明:在任何一步所得到的三个数中都不可能出现 1 或-1.

所以 xn+1≠±1.同理,yn+1,zn+1 都不等于±1. 2.由 x1、y1、z1≠0 及递推关系知道,对于任意的 n∈N,xn、yn、zn≠0,xnynzn≠ 0 我们用归纳法来证明: xn+yn+zn=xnynzn (1) 显然 x1y1z1=48/7=x1+y1+z1 假设 xnynzn=xn+yn+zn 令 xn=tanα ,yn=tanβ ,zn=tanγ

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由假设

tanα +tanβ +tanγ =tanα ·tanβ ·tanγ

所以 从而

α +β +γ =0 或α +β +γ =±π tan2α +tan2β +tan2γ =tan2α ·tan2β ·tan2γ

所以 xn+1·yn+1·zn+1=xn+1+yn+1+zn+1 从而(1)式对一切自然数 n 成立. 由于 xnynzn≠0,所以 xn+yn+zn 永远不为 0. 3. 正三角形的每一条边都被分成 k 个等分,过每个分点作平行于边的直线.结果把三角形分成 k2 个全等 的小正三角形.我们把下面一组小三角形叫做一个“链” :在其中没有一个三角形出现两次,而且前一个 三角形与后一个三角形有一条公共边.求“链”中所含三角形个数的最大值. 【题说】 第四届(1970 年)全苏数学奥林匹克九年级题 3.

链”中两个前后相邻的小三角形颜色不同,而且每个白色小三角形只能经过一次,故每条“链”中小三角 形的个数最多为 k2-k+1. 图 b 表明链中小三角形的个数可以恰为 k2-k+1 个. 4.假设 a1 , a2 ,? , an 是 1, 2,?, n 的某种排列,证明:如果 n 是奇数,则乘积

? a1 ? 1?? a2 ? 2 ??? an ? n ?
是偶数. 解法 1 还是奇数 奇数= ? a1 ? 1? ? ? a2 ? 2 ? ? ? ? ? an ? n ? (反证法)假设 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 为奇数,则 ai ? i 均为奇数,奇数个奇数的和

? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ? 0 ,
这与“奇数 ? 偶数”矛盾. 所以 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 是偶数.
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评析 这个解法说明 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 不为偶数是不行的,体现了整体处理的优点,但掩盖 了“乘积”为偶数的原因. 解法 2 (反证法)假设 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 为奇数,则 ai ? i 均为奇数, ai 与 i 的奇偶性相

反 , ?1, 2,? , n? 中 奇 数 与 偶 数 一 样 多 , n 为 偶 数 但 已 知 条 件 n 为 奇 数 , 矛 盾 . 所 以

? a1 ? 1?? a2 ? 2 ??? an ? n ? 是偶数.
评析 这个解法揭示了 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 为偶数的原因是“ n 为奇数”.那么为什么“ n 为

奇数”时“乘积”就为偶数呢? 解法 3

1, 2,?, n, a1 , a2 ,?, an 中有 n ? 1个奇数,放到 n 个括号,必有两个奇数在同一个括号,这两

个奇数的差为偶数,得 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ?? ? an ? n ? 为偶数.

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