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《等差数列的前n项和公式》


等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式

教材分析:
等差数列是中职教育课程改革国家规划新教材基础模块下册第六章第二节内容, 是学生 学习了等差数列的定义 、通项公式后,对数列知识的进一步学习。数列在生产实际中的应 用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材,同时也是学生进 一步学习高等数学的必备的基础知识。

r />学情分析:
职高一年级学生有一定的观察分析能力和归纳推理能力,但是职高学生基础 薄弱,他们对知识的理解还是处于模糊阶段,虽然对 等 差 数 列 有 了 一 定 的 了 解 。但 是 由 于 学 生 是 第 一 次 接 触 到 数 列 的 求 和 , 缺 乏 相 关 经 验 , 因此,借 助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理 解,才是真正的理解。

教学目标



1、知识目标 (1)掌握等差数列前 n 项和公式;理解公式的推导方法; (2)能用公式解决简单的问题。 2、能力目标 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究 方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力;渗透方程思想。 3、情感目标 通过生动具体的现实问题和有趣的数学史故事,激发学生探究的兴趣和欲 望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数 学的情感,体验在学习中获得成功。

教学重点、难点

: 1、等差数列前 n 项和公式是重点。 2、获得等差数列前 n 项和公式推导的思路是难点。 关键点:由首尾配对法引出倒序相加法。

设计理念

: 在教学中通过生动具体的现实问题, 激发学生探究的兴趣和欲望, 由浅入深, 层层深入,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中 获得成功。

教学策略:
用游戏的方法调动学生的积极性

教学方法:诱导启发,课堂讨论,合作探究。 学法指导:观察法,归纳类比法,合作交流法。

教学步骤:
创设情境引入课题, 由易到难探究新知, 设置典例应用公式, 前呼后应解决问题, 反馈调控归纳总结,作业布置拓展延伸。 公式应用阶段

教学过程:
(一 ) 创 设 情 境 引 入 新 课 :

1. 生 活 中 的 数 学 问 题 . (1)巍巍宝塔十三层,底层装铃三十整, 每上一层少两个,问塔共有几多铃? (2)首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石 砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰 而成,共有 100 层,奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石 吗?

德国伟大的数学家高斯在上小学四年级时, 老师出了这样一道题“1+2+3?? +99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。 高斯到底用了什么巧妙的方法呢?下面 给同学们一点时间来挑战高斯。 高斯的方法: 首 项 与 末 项 的 和 : 1+100=101 第 2 项 与 倒 数 第 2 项 的 和 : 2+99=101 第 3 项 与 倒 数 第 3 项 的 和 : 3+98=101 ……

第 50 项 与 倒 数 第 50 项 的 和 : 50+51=101 ∴ 前 100 个 正 整 数 的 和 为 : 101 × 50=5050 (二 ) 问 题 探 究 : 问题一:图案中,第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石? 同学们模仿高斯用“首尾配对”的方法去解决这个问题,会发现数列有奇数项和 偶数项时略有不同,教师引导学生探究有没有更简单的方法解决。 教师启发引导,展示实验。 学生通过实验得出:

<设计说明>:通过实验摆出几何图形,将两个三角形拼成平行四边形. 让学 生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助 图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 因此在教学中,要鼓励学生 借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗透了数形结合的数 学思想。 上述故事归结为 1.这是求等差数列 1,2,3,?,100 前 100 项和 2. 求等差数列 1,2,3,?,21 前 21 项和 问 题 二 :求图案中从第 1 层到第 n 层 (1<n <100, n∈N*) 共有多少颗宝石? 即求和:Sn =1+2+3+4+?+n=? [学情预设] 学生通过激烈的讨论后,发现 n 为奇数时不能配对,可能会分 n 为奇数、偶数的情况分别求解,教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键. [设计意图] 从求确定的前 n 个正整数之和到求一般项 数的前 n 个正整数之和,让学生领会从特殊到一般的研究 方法,旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进.

启发: (多媒体演示)如右图,在三角形图案右侧倒放 一个全等的三角形与原图补成平行四边形. [设计意图] 借助几何图形的直观性,能启迪思路,唤醒学生记忆深处的东

西,并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型. 通过以上启发学生再自主探究,相信容易得出解法: ∵1 + 2 + 3 +?(n-1) + n n +(n-1)+ (n-2)+? + 2 + 1
____________________________________________________________________

+ (n+1) +? +(n+1) + n ( n +1) ∴1+2+3+?+n= 2

(n+1) +

(n+1)

(n+1)

问题 3: 在公差为 d 的等差数列中, {an } 定义前 n 项和 Sn= a1 ? a2 ?an ,如何求 Sn? 由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程: ∵Sn= a1 ? a2 ?an Sn= an ? an?1 ?a1
a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n ?1 ? ? ? ?a n ? a n ? ∴2 Sn= ? ? ????? ? ??????? ?
n个

而 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) (公式 1) 2 组织学生讨论: 在公式 1 中若将 an=a1+(n-1)d 代入又可得出哪个表达式? n(n ? 1) d (公式 2) 即: Sn ? na1 ? 2 师生共同总结: 等差数列求和公式 ? Sn ?

一般地,称 a1 ? a2 ?an 为等差数列 {an } 的前 n 项的和,用 Sn 表示,即 Sn= a1 ? a2 ?an .
? Sn ? n(a1 ? an ) (公式 1) 2 n(n ? 1) d 2 (公式 2)

Sn ? na1 ?

教师引导学生一起记忆公式,理解公式 . (三)公 式 应 用

例题分析 例 5: 已知等差数列 {an } 中,a1=-8,a20=106,求 S20 . 学生观察分析:知三求一,首先找出已知那三个量,求那个量,然后再判断使 用哪一个求和公式,最后让学生共同计算结果。 例 6:等差数列-13,-9,-5,-1,3,...的前多少项的和等于 50? 本题实质是反用公式,解一个关于 n 的一元二次函数,注意得到的项数 n 必 须是正整数. <设计说明>:让学生观察分析, 灵活应用公式, 培养学生转化能力、 计算能力, 同时渗透方程思想。 (四)变式训练 (1)a1=5,an=95,n=10; (2)a1=100,d=-2,n=50; (五)解决问题 巍巍宝塔十三层,底层装铃三十整, 每上一层少两个,问塔共有几多铃?

(六)尝试小结
1.知识方面 2.收获 (七)课外作业 必做题:课本 10 页 6.2.3 练习第 1、2、3 题。

拓展题:课后思考: “今有女子善织布,逐日所织的布以同数递增,初日织 五尺,计织三十日,共织九匹三丈,问日增几何?” 。 (一匹为四丈,一丈为十尺) ——《张丘建算经》

(八):板书设计

(九)教学反思
1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理,挖掘了教材中可探究的 因素,促使学生探究、推导。例如:等差数列前 n 项和的公式一,是通过具体的 例子,引到一般的情况,激励学生进行猜想,再进行论证得出;而第二个公式并 不象书本上那样直接给出,而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理 教材,使学生的思维得到了很大的锻炼。 2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,同时采用设计变式题的教 学手段进行教学,通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活,创设情境, 重在启发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生 在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推 理的能力。 3、 在教学中, 鼓励学生借助几何直观进行思考, 揭示研究对象的性质和关系, 渗透了数形结合的数学思想。 总之,教师要树立正确的教材观,尊重教材但不惟教材,基于教材又能再生 教材以促进学生主动学习和谐发展。


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