当前位置:首页 >> 高一数学 >>

指数与指数函数复习学案


指数与指数函数复习学案(解析篇)
【高考要求】指数函数(B) 【学习目标】理解有理数指数幂的含义;了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 (课前基础知识回顾,事先发给学生填写,课上用投影打出一起回顾) 一、根式 1.根式的概念 根式的概念 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这 两个数互为相反数 n a 符号表示 备注 n>1 且 n∈N* 零的 n 次方根是零

n ± a(a>0)

负数没有偶次方根

2.两个重要公式 n

(1)

?a, ?a?a≥0?, a =? ? |a|=? ? ? ?-a?a<0?,
n

n为奇数, n为偶数;

n n (2)( a)n=a(注意 a 必须使 a有意义). 二、有理数指数幂 1.幂的有关概念 m n (1)正分数指数幂:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m 1 1 (2)负分数指数幂:a- = = (a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m n a am n (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 (1)aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

三、指数函数的图象和性质

函数 0<a<1 图象

y=ax(a>0,且 a≠1) a>1

图象特征 定义域 值域 性 质 函数值变化 规律 单调性 减函数

在 x 轴上方,过定点(0,1) R (0,+∞) 增函数 当 x>0 时,y>1 当 x<0 时, y>1; 当 x>0 时, 0<y<1 当 x<0 时,0<y<1; 当 x=0 时,y=1

【经典题回顾】
1 1.(教材习题改编)化简[(-2)6] -(-1)0 的结果为( 2 A.-9 C.-10 B.7 D.9 )

1 解析:选 B 原式=(26) -1=7. 2 2.(教材习题改编)函数 f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(-∞,+∞) )

解析:选 A ∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0. 3.已知函数 f(x)=4+ax A.(1,5) C.(0,4) 解析:选 A 当 x=1 时,f(x)=5. 4.若函数 y=(a2-3a+3)· ax 是指数函数,则实数 a 的值为________. 解析:∵a2-3a+3=1,∴a=2 或 a=1(舍). 答案:2 5.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2,
-1

的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( B.(1,4) D.(4,0)

)

得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2)

1.分数指数幂与根式的关系: 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算,从而简化计算过程. 2. 指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的, 因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论.

【经典题回顾】
[例 1] 化简下列各式(其中各字母均为正数). 2 -1 1 1 1 ?a · b ?- · a- · b 3 2 2 3 (1) ; 6 5 a· b 7?0.5 37 -2 0 ? 10? 2 (2)? ?29? +0.1 +?227?-3-3π +48. 1 1 1 1 a- b · a- b 3 2 2 3 [自主解答] (1)原式= 1 5 a b 6 6 1 1 1 1 1 5 1 =a- - - · b + - = . 3 2 6 2 3 6 a 25?1 1 37 5 9 37 ?64? 2 (2)原式=? ? 9 ?2+0.12+?27?-3-3+48=3+100+16-3+48=100. 总结提炼:

指数式的化简求值问题, 要注意与其他代数式的化简规则相结合, 遇到同底数幂相乘或 相除,可依据同底数幂的运算规则进行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数 指数幂.对于化简结果,形式力求统一.

变式训练: 1.计算: 1 7 1 1 - ?-2+?2 ? -( 2-1)0; (1)(0.027)- -? ? 9?2 3 ? 7? 1? 1 ? 4ab 1?3 (2)? ?4?-2· -2 3 -3 1. 0.1 ?a b ? 2


27 ? 1 -2?1?-2 ?25?1 解:(1)原式=? ?1 000?-3-(-1) ?7? +? 9 ?2-1 = 10 5 -49+ -1=-45. 3 3

1 3 4 · 4 2 2 3 3 3 3 (2)原式= · a · a- · b · b- 100 2 2 2 2 = 4 0 0 4 a· b= . 25 25

【重点知识强化】

[例 2]

(2012· 四川高考)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是(

)

[自主解答] 法一:令 y=ax-a=0,得 x=1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的 只有选项 C. 法二:当 a>1 时,y=ax-a 是由 y=ax 向下平移 a 个单位,且过(1,0),排除选项 A、B; 当 0<a<1 时,y=ax-a 是由 y=ax 向下平移 a 个单位,因为 0<a<1,故排除选项 D. [答案] C 总结提炼:

1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、 对称变换得到其图象. 2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 变式训练: 1?x 2. (1)(2012· 北京模拟)在同一坐标系中, 函数 y=2x 与 y=? ?2? 的图象之间的关系是( A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 )

(2)方程 2x=2-x 的解的个数是________. 1?x -x x 解析:(1)∵y=? ?2? =2 ,∴它与函数 y=2 的图象关于 y 轴对称. (2)方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图象交点的横坐标,分 别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:(1)A (2)1 2?|x|-a [例 3] 已知函数 f(x)=? ?3? .则函数 f(x)的单调递增区间为________,单调递减区间为 ________. 2?t [自主解答] 令 t=|x|-a,则 f(x)=? ?3? , 不论 a 取何值,t 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 2?t 又 y=? ?3? 是单调递减的, 因此 f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). [答案] (-∞,0] [0,+∞) 变式训练: 9 在本例条件下,若 f(x)的最大值等于 ,则 a=______. 4 9 9 2?-2 解析:由于 f(x)的最大值是 ,且 =? , 4 4 ?3? 所以 g(x)=|x|-a 应该有最小值-2, 从而 a=2. 答案:2 总结提炼: 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等 相关性质, 其次要明确复合函数的构成, 涉及值域、 单调区间、 最值等问题时, 都要借助“同 增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决. 变式训练: 3.(1)(2012· 福州质检)已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.b>c>a


)

(2)(2012· 上海高考)已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, 则 a 的取值范围是________. 解析:(1)由 0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即 b>c;因为 a=

20.2>1,b=0.40.2<1,所以 a>b.综上,a>b>c. (2)结合函数图象求解.因为 y=eu 是 R 上的增函数,所以 f(x)在[1,+∞)上单调递增, 只需 u=|x-a|在[1,+∞)上单调递增,由函数图象可知 a≤1. 答案:(1)A (2)(-∞,1]

【课堂练习 A 组—巩固】
1.下列函数中值域为正实数集的是( A.y=-5x C.y= ) 1?1-x B.y=? ?3?

?1?x-1 ?2?

D.y= 1-2x

1?x 解析:选 B ∵1-x∈R,y=? ?3? 的值域是正实数集, 1?1-x ∴y=? ?3? 的值域是正实数集. 2.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于(


)

A.5 C.9


B.7 D.11

解析:选 B 由 f(a)=3 得 2a+2 a=3, 两边平方得 22a+2 即 22a+2
-2a -2a

+2=9,

=7,故 f(2a)=7.


3.函数 f(x)=2|x 1|的图象是(

)

2 ,x≥1, ? ? 解析:选 B ∵f(x)=??1?x-1 ? ??2? ,x<1, ∴根据分段函数即可画出函数图象. 4.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域(


x-1

)

A.[9,81] C.[1,9]

B.[3,9] D.[1,+∞)
-2

解析:选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2,因 f(x)=3x 确. 5.(2012· 深圳诊断)设函数 f(x)=a A.f(-2)>f(-1)
-|x|

在[2,4]上是增函数,可知 C 正

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则( B.f(-1)>f(-2)

)

C.f(1)>f(2) 解析:选 A ∵f(2)=4,∴a
-|2|

D.f(-2)>f(2) 1 =4,∴a= , 2

1?-|x| |x| x ∴f(x)=? ?2? =2 ,∴f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 是增函数,∴x<0 时,f(x)是 减函数,∴f(-2)>f(-1). 1 1 6.若(2m+1) >(m2+m-1) ,则实数 m 的取值范围是( 2 2 A.?-∞, C.(-1,2) )

? ?

5-1? ? 2 ?

B.?

? 5- 1 ? ? ? 2 ,+∞? ? 5- 1 ? ,2? ? 2 ?

D.?

1 解析:选 D 因为函数 y=x 的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等 2 2m+1≥0, ? ? 2 式等价于?m +m-1≥0, ? ?2m+1>m2+m-1, 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 解 m2+m-1≥0, - 5-1 5-1 得 m≤ 或 m≥ ; 2 2 解 2m+1>m2+m-1,即 m2-m-2<0,得-1<m<2. 综上所述,m 的取值范围是 5-1 ≤m<2. 2

3? 1 ? 7?0 1 4 7.? ?2?-3×?-6? +84× 2-

?-2?2=________. ? 3?3

2?1 3 1 ?2?1 解析:原式=? ?3?3×1+24×24-?3?3=2. 答案:2 8.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、 n 的大小关系为________. 解析:∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=ax 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n. 答案:m>n 9.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1)且 f(1)=9.则 f(x)的单调递减区间是________.


解析:由 f(1)=9 得 a2=9,∴a=3.因此 f(x)=3|2x

-4|



又∵g(x)=|2x-4|的递减区间为(-∞,2],∴f(x)的单调递减区间是(-∞,2].

答案:(-∞,2] 10.求下列函数的定义域和值域. 1? 2 (1)y=? ?2?2x-x ;(2)y= 解:(1)显然定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1?x 且 y=? ?2? 为减函数. 1? 1 2 ?1? 1 ∴? ?2?2x-x ≥?2? =2. 1? 2 ?1 ? 故函数 y=? ?2?2x-x 的值域为?2,+∞?. 1 1 - - - (2)由 32x 1- ≥0,得 32x 1≥ =3 2, 9 9 ∵y=3x 为增函数,∴2x-1≥-2, 1 即 x≥- , 2 1 ? 此函数的定义域为? ?-2,+∞?, 1 - 由上可知 32x 1- ≥0,∴y≥0. 9 即函数的值域为[0,+∞). a 11.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 解:当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数,在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(2)=a2,f(x)最小=f(1)=a. a ∴a2-a= .即 a(2a-3)=0. 2 3 3 ∴a=0(舍)或 a= >1.∴a= . 2 2 当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数, 在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(1)=a,f(x)最小=f(2)=a2. a ∴a-a2= .∴a(2a-1)=0, 2 1 1 ∴a=0(舍)或 a= .∴a= . 2 2 1 3 综上可知,a= 或 a= . 2 2 12.函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,当 x∈M 时,求 f(x)=2x+2-3×4x 的最值. 解:由 3-4x+x2>0,得 x>3 或 x<1, ∴M={x|x>3,或 x<1}, 1 - 32x 1- . 9

1?2 25 x f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3? ?2 -6? +12. ∵x>3 或 x<1,∴2x>8 或 0<2x<2, 1 1 ∴当 2x= ,即 x=log2 时,f(x)最大, 6 6 25 最大值为 ,f(x)没有最小值. 12

【课堂练习 B 组选做】
1.(2013· 绍兴一中模拟)函数 f(x)=a|x 1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)


的关系是(

) B.f(-4)=f(1) D.不能确定

A.f(-4)>f(1) C.f(-4)<f(1)

解析:选 A 由题意知 a>1,又 f(-4)=a3,f(1)=a2,由单调性知 a3>a2,∴f(-4)>f(1). 2.(2012· 衡水模拟)已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是________. ①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0; ③2 a<2c;④2a+2c<2.


解析:画出函数 f(x)=|2x-1|的图象(如图), 由图象可知,a<0,b 的符号不确定,c>0. 故①②错; ∵f(a)=|2a-1|,f(c)=|2c-1|, ∴|2a-1|>|2c-1|,即 1-2a>2c-1, 故 2a+2c<2,④成立; 又 2a+2c>2 2a c,∴2a c<1,
+ +

∴a+c<0,∴-a>c,∴2 a>2c,③不成立.


答案:④ 1? 2 3.已知函数 f(x)=? ?3?ax -4x+3. (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 1? 2 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=? ?3?-x -4x+3, 令 t=-x2-4x+3, 1?t 由于 t(x)在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调 递减,

所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). 1?h(x) (2)令 h(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? ,由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1, 因此必有 a>0, ? ? 解得 a=1. ?12a-16 =-1, ? ? 4a 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.


相关文章:
...文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:2.5 指数与指数函数...
【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:2.5 指数与指数函数_数学_高中教育_教育专区。§ 2.5 指数与指数函数 1.分数指数幂 m n (1)...
指数函数及其性质(导学案)
指数函数及其性质(导学案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。花开堪折直须折,...1 (2) 0.8?0.1 , 0.8?0.2 练习:A2(口答) ?4? (3)已知 ? ?7...
...2016级数学一轮复习基础讲解指数与指数函数(含解析)...
《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解指数与指数函数(含解析) - 《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 第七节 指数与指数函数 [知识能否忆起...
...届高考数学一轮复习 第二章函数2.5指数与指数函数教...
2014届高考数学一轮复习 第二章函数2.5指数与指数函数教学案 理 新人教A版 - 2.5 指数与指数函数 考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂...
高三一轮复习导学案09 第02章 第06节——指数与指数函数
高三一轮复习导学案09 第02章 第06节——指数与指数函数 - § 2.6 指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N ...
2.1.2《指数函数及其性质》(导学案)
2.1.2《指数函数及其性质》(导学案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。江门...1 练习:求下列函数中自变量 x 的取值范围: (1) y ? 2 x ;(2) y ? ...
指数函数与对数函数导学案1
指数函数与对数函数导学案1_数学_高中教育_教育专区。班级 课题 指数函数(1) ...互动追疑 1 x 练习 1.已知函数 f(x)=2 - x(x∈R). (1)讨论 f(x)...
...人教版a版必修一学案:第二单元 2.1.1 指数与指数幂...
2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 2.1...§ 2.1 2.1.1 学习目标 指数函数 指数与指数幂...知识点 2 指数幂及其运算性质 an=-a. 1.分数指数...
【新导学案】高中数学人教版必修一:2.1.2《指数函数及...
【新导学案】高中数学人教版必修一:2.1.2《指数函数及其性质(一)》_数学_高中教育_教育专区。数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课...
【新导学案】高中数学人教版必修一:2.1.2《指数函数及...
2.1.2《指数函数及其性质(二) 》导学案【学习目标】 : 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其单调性. 【重点难点】 重点:...
更多相关标签: