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正弦.余弦函数图象


温故知新

任意角三角函数的定义
定 义


单 位 圆 中
y P(x,y) 。 α

一 般 地
P(x,y) y 。

O

O A(1,0) x

x



sin ?
cos?

y

x
y x

tan ?

| OP |? r(r ? 0) y r x r y x

想一想,记一记
角度a 弧度a sina 0°
? 6

2. 填写下表:
45° 60° 90°

cosa tana

问题与思考

1.我们是如何研究一个函数的?

函数的定义:y=sinx , y=cosx
三角函数
sin ?

定义域 R R
{? | ? ?

值域

cos?
tan ?
?
2

? k? , k ? Z }

正余弦函数图像的画法
y P O T

注意: 三角函数线是有 M A x 向线段!
三角函数 正弦函数
sin?=MP cos?=OM tan?=AT

三角函数线 正弦线MP 余弦线OM

余弦函数
正切函数

正切线AT

一、三角函数图像的作法
1.几何法
y

y
T 1 P

正弦线MP 余弦线OM
正切线AT
A 1

o

M

x

1P 1
?
/ p1

o1

6

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?

?
2

x

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

? 22 ?

x

-

-

-

? 相位 ? 相位 0相位 2

-

2?相位 3? 相位 2
返回录

y

正弦函数 y

? sin x, x ? R 的图像
1 -

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?
-

6?
-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4…… ? ?, 与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

-

x

余弦函数y=cosx =sin(x+ ? ) 由y=sinx 2 y=cosx

左移 ?
2

y=cosx y=sinx

回忆描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?
(1)列表 y ? sin x, x ? ? 0, 2 π ?

x0
y
0

π π 6 3 1 3 2 2

π 2
1
y 1-

2π 5π 3 6
3 2

π
0

1 2

?

7 π 4 π 3 π 5 π 11π 3 6 2 3 6 1 3 1 3 2 2 ? 2 ?1 ? 2


0

?

(2) 描点

π 2

0

π

-

3π 2

-



-

x

?1 -

(3) 连线

画 y ? si nx,x ? [0,2? ]的简图
x
sinx

0

? 2

?

3? 2

2?

0

1

0

-1

0

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点)

(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
y 1
? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y

1-

-

1

o
-1-

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

22 ? ?

x

图象的最高点 ( π 2 ,1) 与x轴的交点 (0,0) ( π, 0) (2π,0) 图象的最低点 ( 3π ? 1)
2,

探究:类比于正弦函数图象的五个关键点,你能找出余 弦函数的五个关键点吗?请将它们的坐标填入下表,然 后作出 y ? cos x,x ? [0,2? ] 的简图。 x cosx
y 1
? 2

0
1

?
2

?
0 0

3 ? 2

2?
0
图象的最高点

-1

(0,1) (2? ,1)
x
3? (? , 0 ) ( 2 2 ,0) (? ,?1)

?

o

? 2

?

3? 2

2?

-1

方法总结: 在精确度要求不高时,先作出函数y =sinx和y=cosx的五个关键点,再用 光滑的曲线将它们顺次连结起来,就得 到函数的简图。这种作图法叫做 “五点(画图)法”。

学以致用
例1 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx

0 0 1
y
2 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线

1 2

-1 0

1+sinx

y=1+sinx,x?[0, 2?]

? ? 2

o -1

? 2

?

x 3? 2? 2 y=sinx,x?[0, 2?]

学以致用
例2 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx - cosx
y
1
? ? 2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

思考:

课堂小结 1.正弦曲线、余弦曲线的作法
(1).代数描点法(误差大) (2).几何描点法(精确但步骤繁) (3).五点法(重点掌握) (4).平移法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系

其中五点法最常用,要牢记五个关键 点的坐标。

再见!


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