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简单的线性规划教案一


简单的线性规划教案一
【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能 应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集

合、化归、数形结合的数学 思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】

1.课题导入
[复习提问] 1、二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课
在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗 时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配 件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ? x?0 ? ? ? y?0

……………………………………………………………….(1)

(2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利 润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转 化为: 当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少?

把 z=2x+3y 变形为 y ? ?

2 z 2 z x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 3 3 3 3

变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给

2 8 z x ? ),这说明,截距 可 3 3 3 2 z 以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线 y ? ? x ? 与不等式组(1)的区 3 3 z 域的交点满足不等式组(1),而且当截距 最大时,z 取得最大值。因此,问题可以转 3 2 z 化为当直线 y ? ? x ? 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个 3 3 z 点 P,使直线经过点 P 时截距 最大。 3
定一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线( y ? ? (5)获得结果: 由上图可以看出,当实现 y ? ? 时,截距

2 z x ? 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M(4,2) 3 3

z 14 的值最大,最大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 3 3

2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 1、 变换条件,加深理解 探究:课本第 88 页的探究活动 (1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元, 有应当如何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?

3.随堂练习
1.请同学们结合课本 P91 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
y

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 (2,-1) A C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

? y ? x, ? (1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 l 0 :2x+y=0 上. 作一组与直线 l 0 平行的直线

l :2x+y=t,t∈R.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线 中,以经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件
y

?5 x ? 3 y ? 15, ? ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
解:不等式组所表示的平面区域如图所示: 从图示可知,直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的 点时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的 t 最小,以经过点( 最大. 所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

9 17 , )的直线所对应的 t 8 8

zmax=3×

9 17 +5× =14 8 8

4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

5. 作业
课本第 93 页习题[A]组的第 2 题.


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