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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(86)


加试模拟训练题(86)
1.若直角?ABC中,CK是斜边上的高,CE是?ACK的平分线,E点 在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,证明:BF // CE。

2. 设 a1=1,a2=3,对一切自然数 n 有 an+2=(n+3)an+1-(n+2)an 求所有被 11 整除的 an 的值.

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3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形.证明:这些三角形中至少有一个是锐角三角形.

4.设多项式 f ?x ? ? a0 x ? a1 x
n

n ?1

? ? ? a n?1 x ? a n 的系数都是整数,并且有一个奇数 ? 及一个偶数 ? 使

得 f ?? ? 及 f ?? ? 都是奇数,求证方程 f ?x ? ? 0 没有整数根.

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加试模拟训练题(86)
1.若直角?ABC中,CK是斜边上的高,CE是?ACK的平分线,E点 在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,证明:BF // CE。

证 : 在?EBC中 , 作?B的平 分线 ? BH 则 :?EBC ? ?ACK ?HBC ? ?ACE ?HBC ? ?HCB ? ?ACE ? ?HCB ? 90? 即 : BH ? CE ? ?EBC为等 腰三角 形 作BC上的 高EP, 则 :CK ? EP 对 于?ACK和三 点D、E、F依梅 涅劳斯 定理有: CD AE KF ? ? ?1 DA EK FC KF EK CK EP BP BK 于是 = ? ? ? ? FC AE AC AC BC BE KF BK 即: = FC BE KF BK 依分 比定理 有: = KC KE ? ?FKB ? ?CKE ? BF // CE
2. 设 a1=1,a2=3,对一切自然数 n 有 an+2=(n+3)an+1-(n+2)an 求所有被 11 整除的 an 的值. 【题说】1990 年巴尔干地区数学奥林匹克题 1. 【解】设 bn+1=an+1-an(n≥1) ,则由条件有 bn+1=(n+1) n-an-1)=(n+1)bn(n≥2) (a bn=nbn-1=n(n-1)bn-2 =…=n(n-1)…3b2 =n! (n≥2) 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+1

由此可算出:

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整除. 故本题答案为 n=4,n=8 以及 n≥10. 3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形.证明:这些三角形中至少有一个是锐角三角形. 【题说】 第四届(1970 年)全苏数学奥林匹克九年级题 1. 【证】设五条线段的长度为 a≤b≤c≤d≤e 假设由这些线段组成的任何三角形都不是锐角三角形,那么,在由 a、b、c;b、c、d;c、d、e 组成的三 个三角形中,有 c2≥a2+b2,d2≥b2+c2,e2≥c2+d2 将它们相加,得到 e2≥a2+2b2+c2 ≥a2+2ab+b2=(a+b)2 从而 e≥a+b.这样,用 e、a、b 三条线段便不能组成三角形,矛盾.因此,命题得证. 4.设多项式 f ?x ? ? a0 x ? a1 x
n n ?1

? ? ? a n?1 x ? a n 的系数都是整数,并且有一个奇数 ? 及一个偶数 ? 使

得 f ?? ? 及 f ?? ? 都是奇数,求证方程 f ?x ? ? 0 没有整数根. 证明 由已知有

f ?? ? ? 1? mod 2 ? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1? mod 2 ? , ① f ? ? ? ? 1? mod 2 ? ? an ? 1? mod 2 ? ,
若方程 f ?x ? ? 0 存在整数根 x0 ,即 f ? x0 ? ? 0 . 当 x0 为奇数时,有 f ? x0 ? ? 0 ? mod 2 ? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ? mod 2 ? , 与①矛盾. 有 x0 为偶数时,有 f ? x0 ? ? 0 ? mod 2 ? ? an ? 0 ? mod 2 ? , 与②矛盾. 所以方程 f ?x ? ? 0 没有整数根. ②

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