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高二文科数学下册4月月考模块检测试题6


贵州省普安二中 2011-2012 学年高二下学期 4 月月考文科数学试题 I 卷 一、选择题 1.对于直角坐标系内任意两点 P1(x1,y1) 、 P2(x2,y2) ,定义运算 若 p1 ? p2 ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 , x1 y ? x2 y1 ) , M 是与原点相异的点, 且 M ? (1,1) ? N ,则∠MON(
3 A. ? 4 【答案】B

) C.

B.

? 4

? 2

D.

? 3
)

1 2.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a·b=- ,则|a+2b|=( 2

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? b,| a |? 2,| b |? 3, 且3a ? 2b与? a ? b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ? 【答案】B 4.如图,非零向量 OA ? a, OB ? b且BC ? OA, C为垂足, 若OC ? ? a, 则? ?
3 2



B.

3 2

C. ?

3 2

D.1

(



A.

a ?b | a |2 a ?b | b |2

B.

a ?b | a || b |

C.

D.

| a || b | a ?b

【答案】A 5.已知 A、B、C 是不在同一直线上的三点,O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面

ABC 内的一动点,若 OP ? OA ? ?( AB ? 1 BC) (λ ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定
2

过△ABC 的( A.外心 【答案】C

) B.内心 C.重心 D.垂心

6. P 在平面上作匀速直线运动, 点 速度向量 v ? (4, ?3)(即点 P 的运动方向与 v 相 同, 且每秒移动的距离为 v 个单位) 设开始时点 P 的坐标为 . (-10, 10) , 则5秒后点 P 的坐标为( ) A. (-2,4) B. (-30,25) C. 【答案】C (10,-5) D. (5,-10)

7.已知点 C 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与 x 轴的交点,点 F 为焦点,点 A、 B 是抛物线上的两个点。若 FA ? FB ? 2FC ? 0 ,则向量 FA 与 FB 的夹角为 ( )

2 A. ? 3 5 C. ? 6 【答案】A

3 B. ? 4
D.

? 2

8.已知向量 a ? ?1,2?, a ? b ? 5, a ? b ? 2 5 ,则 b 等于( A. 5 B. 2 5 C.25

) D.5

【答案】D ??? ??? ??? ? ? ? ? 9.已知 ?ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足: PA ? PB ? PC ? 0 ,若实 ??? ??? ? ? ??? ? 数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( ) A.3 【答案】A 10.已知 a ? (1,2),b ? (?3,2), k a ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为 A.17 【答案】C B.18 C.19 D.20 ( ) B. 2
3

C.2

D.8

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 11.O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则
?ABC 的形状一定为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 【答案】C 12.下列关于零向量的说法不正确的是( ) A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的 C.零向量与任一向量共线 D.零向量只能与零向量相等 【答案】A

( D.斜三角形



II 卷 二、填空题 13.已知向量 a = (1, 2), b = (1, ? ), c = (3, 4) .若 a + b 与共线,则实数 ? ? 【答案】
2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.若 a , b 是一组基底,向量 g = x ?a

.

? ? y 孜( x, y b

? ? R) ,则称 ( x, y ) 为向量 g 在基

? ? ? ? ? ? ? ? 底 a , b 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p = (1, - 1), q = (2,1) 下的坐标为 ? ?? ? (- 2, 2) ,则 a 在另一组基底 m = (- 1,1), n = (1, 2) 下的坐标
为 【答案】 (0, 2) 15.如图所示, OC ? 2OP , AB ? 2 AC , OM ? mOB , ON ? nOA ,若 m ?
3 ,那么 8



n?

【答案】 3

4

16. 如下图,在三角形 ABC 中, D , E 分别为 BC , AC 的中 点, F 为 AB 上 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 的点,且 AB ? 4 AF . 若 AD ? xAF ? yAE ,则实数 x ? ,实数
y?

.

【答案】2, 1

三、解答题 17. (1)已知 a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2), ①当 x、y 为何值时,a 与 b 共线? ②是否存在实数 x、y,使得 a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出 xy 的值;若不存 在,说明理由. (2)设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,试求向量 a=2m+n 和 b=-3m +2n 的夹角. 【答案】(1)①∵a 与 b 共线, ∴存在非零实数λ 使得 a=λ b, ?2x-y+1=2λ ∴? ?x+y-2=-2λ

?x=1, ?? 3 ?y∈R.

②由 a⊥b? (2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0 ? x-2y+3=0.(*) 由|a|=|b|? (2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.(* *) ?x=-1, 解(*)(* *)得? ?y=1, 35 . 9

?x=5, ? 3 或? 7 ?y=3. ?

∴xy=-1 或 xy=

1 (2)∵m·n=|m||n|cos60°= , 2 2 2 ∴|a| =|2m+n| =(2m+n)·(2m+n)=7, |b|2=|-3m+2n|2=7, 7 ∵a·b=(2m+n)·(-3m+2n)=- . 2 设 a 与 b 的夹角为θ , a·b 1 ∴cosθ = =- ,∴θ =120°. |a|·|b| 2
??? ? ???? 18.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .

(1)求 ? 的取值范围;

?? ? (2)求函数 f (? ) ? 3 cos2? ? 2 cos2 ?? ? ? 的最小值. 4? ?

, 【答案】 (1)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,
1 则由 bc sin ? ? 1 , bc cos ? ? 2 , 2

? ?? 可得 cot ? ? 1 ,?? ? ? 0, ? . ? 4?

?? ?? ? ? (2) f (? ) ? 3 cos 2? ? 2 cos2 ?? ? ? ? 2 sin? 2? ? ? ? 1 4? 3? ? ?
? ? ? 5? ? ? ?? ? ? ? ? 0, ? ,? 2? ? ? ? , ? , 3 ?3 6 ? ? 4?
? 5? ,即 ? ? 时, f (? ) min ? 0. 4 3 6 19.已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b=(-3,4)垂直的单位 向量,求 a 的终点坐标? 【答案】设 a 的终点坐标为(m,n) 则 a=(m-3,n+1)
所以,当 2? ?
?

?

1 (3m-13)代入②得 4 25m2-15Om+2O9=O

由①得:n=

19 ? 11 ? ?m1 ? 5 , ?m 2 ? 5 , ? ? 或? 解得 ? ?n ? ? 2 . ?n ? ? 8 . 2 ? 1 5 ? 5 ? ?

∴a 的终点坐标是(

19 2 11 8 ,? )或( ,? ) 5 5 5 5

A ? ? 20. 已知 A,, 为△ABC 的三内角, B C 且其对边分别为 a,,, m=?2cos ,tanA?, b c 若 2 ? ? A 1 ? 1 ? ?,且 m·n= . n=?-cos , 2 tanA? 2 ? (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=4,△ABC 的面积为 3,求 a 的值.
1 A 1 1 【答案】(1)由 m·n= 得-2cos2 +1= ? cosA=- ,所以 A=120°. 2 2 2 2 1 1 (2)由 S△ABC= bcsinA= bcsin120°= 3,得 bc=4, 2 2

故 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12, 所以 a=2 3. 6 21.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ,0),P(cosα ,sinα ),其中 0≤α 5 π ≤ . 2 ? ??? ??? ? 5 (1)若 cosα = ,求证: PA ⊥ PO ; 6 ? ??? ??? ? π (2)若 PA ∥ PO ,求 sin(2α + )的值. 4 ??? ? 6 【答案】(1)法一:由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5 ??? ? PO =(-cosα ,-sinα ), ? ??? ??? ? 6 所以 PA · PO =( -cosα )(-cosα )+(-sinα )2 5 6 =- cosα +cos2α +sin2α 5 6 =- cosα +1. 5 ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? 5 因为 cosα = ,所以 PA · PO =0.故 PA ⊥ PO . 6 5 π 11 法二:因为 cosα = ,0≤α ≤ ,所以 sinα = , 6 2 6 5 11 所以点 P 的坐标为( , ). 6 6 ??? ? ??? ? 11 11 5 11 所以 PA =( ,- ), PO =(- ,- ). 30 6 6 6 ? ? ??? ??? 11 ? ??? ??? ? 5 11 2 PA · PO = ×(- )+(- ) =0,故 PA ⊥ PO . 30 6 6 ??? ? 6 (2)由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5 ??? ? PO =(-cosα ,-sinα ). ? ??? ??? ? 6 因为 PA ∥ PO ,所以-sinα ·( -cosα )-sinα cosα =0,即 sinα =0. 5 π 因为 0≤α ≤ ,所以α =0. 2 从而 sin(2α + π 2 )= . 4 2

? ? 22.已知向量 a = (cos? , sin ? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) ? ? (1)若 a ? b ,求 ? 的值?;

? ? (2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

? ? 【答案】 (1)∵ a ? b ,∴ 3 cos? ? sin ? ? 0 ,得 tan? ? 3 ,又 ? ? [0, ? ] ,所以
π ; 3 ? ? (2)∵ 2a ? b = (2 cos? ? 3,2 sin ? ? 1) ,

??

? ?2 ?1 ? 3 ? π? 所以 2a ? b ? (2 cosθ ? 3 ) 2 ? (2 sin θ ? 1) 2 ? 8 ? 8? sin θ ? cosθ ? ? 8 ? 8 sin ? θ ? ? , ?2 ? 2 ? 3? ? ?
π π 2π π? 3 ? 又??∈[0, π ?],∴ ? ? ? [? , ] ,∴ sin ?? ? ? ?[? ,1] , 3 3 3 3? 2 ?

? ?2 ? ? ? ? ∴ 2a ? b 的最大值为 16,∴ 2a ? b 的最大值为 4,又 2a ? b ? m 恒成立,所以
m?4。


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