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高中数学基础知识第六至十讲


高中数学基础知识教案

第六讲:指数与指数函数
重点:有理指数幂的定义及性质,指数函数的概念、图像与性质 难点:综合运用指数函数的图像与性质解决问题 一、分数指数幂 1.根式:若 x n
? a ( n ? 1, n ? N ? )

则 x 叫做 a 的 n 次方根。 n ;

a

叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方
? a (a ? 0) ? a ? ? ? ? a (a ? 0)

数。根式性质: ( n 2.分数指数幂

a) ? a
n

,当 n 为奇数时 n

a

n

? a

;当 n 为偶数时 n

a

n

(1)分数指数幂的意义: 若设 a>0, k
m

?

m n

m

( n ? 1, n ? N * )
m

则 (a k )n

? (a n ) ? a
n

m



由 n 次根式定义, 同样规定: a
? m n

a n是a 的n
1
m

m

次方根,即: a n

?

n

a

m



?

( a ? 0 , m , n ? N * 且 n ? 1)

,0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。

a

n

整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。 (2)有理数指数幂的性质:
a ?a
r s

? a

r?s

; ( a ) ? a ; ( ab ) ? a b
r s rs r r

r

( a ? 0, b ? 0, r ? R , s ? Q )

考点 1 指数幂的运算
? 1 3

1 .5

? (?

7 6

) ?8
0

0 .2 5

?

4

2 ?(

3

2?

3) ?
6

例 1(湛江市 09 届统考)计算:

2 ( )3 3

2

二、指数函数的图像及性质的应用 1.指数函数: y
? a
x

( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值域为( 0 , ?? ).
? a
x

⑴①当 a ? 1 ,指数函数: y

在定义域上为增函数;
x

②当 0 ? a ? 1 ,指数函数: y ⑵当 a ? 1 时, y
? a
x

? a

在定义域上为减函数.

的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

考点 2 指数函数的图象及性质的应用 题型 1:由指数函数的图象判断底数的大小 x x x x 例 2 下图是指数函数(1)y=a , (2)y= b , (3)y= c , (4)y= d 的图 像,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( ) A. d ? c ? 1 ? b ? a ; B. c ? d ? 1 ? a ? b ; C. 1 ? d ? c ? b ? a ;D. d ? c ? 1 ? a ? b
-1-

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例 3.函数 y ? a x ? 2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点( (A)(0,1) (B)(1,1) 题型 2:解简单的指数方程
1? 3
?x x

) (D) (2,2)

(C) (2, 0)

例 4 方程 1 ? 3

? 3

的解是_________

题型 3:利用函数的单调性求函数的值域 例 5 已知 2
x ?x
2

?1? ≤? ? ?4?

x?2

,求函数 y=2 -2 的值域.

x

基础巩固训练: 1. (高州中学 09 届月考)与函数 f ( x ) ? 2 的图像关于直线 y ? x 对称的曲线 C 对应的函数为 g ( x ) ,
x

1 g( ) 则 2 的值为 (

1



A. 2 ; B. 1 ; C. 2 ; D. ? 1
f (x) ? 2 ? 1 , a ? b ? c
x

2. (广东南海 09 届月考)已知函数 必成立的是( )

,且 f (a ) ? f (c ) ? f (b ) ,则下列结论中,

a c ?a c A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 ;B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 ; C. 2 ? 2 ; D. 2 ? 2 ? 2

y ?

xa x

x

?0

? a ? 1?

3. (09 年执信)函数 y
1o

y
1 o

的图象的大致形状是 y
1o 1 o

y

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

A

B
2
x ?2 x?4
2

C
? 1 2 的解集为
m
2

D

4. (四会中学 09 届月考)不等式 5. (四会中学 09 届月考)满足条件 m 6.若关于 x 的方程 25
-|x+1|



>(mm)2 的正数 m 的取值范围是_________

-4·5

-|x+1|

-m=0 有实根,求 m 的取值范围.

综合提高训练: 7. 已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c , 满足 f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) 且 f ( 0 ) ? 3 , x ? 0 时, 当 试比较 f ( b )
2 x

-2-

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x

与 f ( c ) 的大小。

第六讲 参考答案
例 1. [解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。
? ( ) ? 1 ? (2 ) ? 2 3 [解析]原式
3 3 4 1 1 1 4 1 3 1 2 6 1

2

? (2 ? 3 ) ? ( ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110 3

2

[名师指引]根式的运算是基本运算,在未来的高考中一般不会单独命题,而是与其它知识结合在一起, 比如与二项展开式结合就比较常见 例 2. [解题思路] 显然,作为直线 x=1 即可发现 a、b、c、d 与 1 的大小关系 [解析] B;令 x=1,由图知 c ? d ? 1 ? a ? b ,即 c ? d ? 1 ? a ? b
1 1 1 1

[名师指引] 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析 例 3.D 例 4. [解题思路]将方程化为最简单的指数方程
1? 3
?x x

[解析] ? 1 ;在方程 1 ? 3

? 3

3
x

x

?1
x

的两边同时乘以 3 得 1 ? 3

? 3

x ?1

,从而得 3

x ?1

? 1 所以 x ? ? 1
?x

[名师指引]解指数方程要观察其特征,在本题中,关键是发现 1? 3
1? 3
x

与1? 3 的关系:
x

? 3 (1 ? 3
x

?x

)

例 5. [解题思路]求函数 y=2x-2-x 的值域应利用考虑其单调性 [解析] ∵2
x

x ?x

2

≤2

-2(x-2)

,∴x +x≤4-2x,即 x +3x-4≤0,得-4≤x≤1.
-4

2

2

又∵y=2 -2 是[-4,1]上的增函数,∴2 -2≤y≤0. [名师指引]利用函数的单调性确定其值域是高考热点,关键在于发现函数的单调性 基础巩固训练答案 1.[解析] D;依题意得 g ( x ) ? log
x

2

x ,所以

g(

1 2

) ? log

2

2

?1

? ?1

2.[解析] D;由函数
a c

f ( x) ? 2 ? 1
a c

的图象及 a ? b ? c 和 f ( a ) ? f ( c ) ? f ( b ) 知 a ? 0 , 0 ? c ? 1 ,所

以 2 ? 1 , 2 ? 1 ,从而 2 ? 2 ? 2
y ? xa x xa x
x x

? a

x

3.[解析] D ;当 x ? 0 时,
y ?

,又 0 ? a ? 1 ,可排除 A 、 C ;
? ?a
x

当 x ? 0 时,

,又 0 ? a ? 1 ,可排除 B

-3-

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4. [ 解 析 ] ? 3 ? x ? 1 ; 不 等 式
x ? 2 x ? 4 ? ? 1 ,解得 ? 3 ? x ? 1
2

2

x ?2 x?4

2

?

1 2 即为 2x
2

?2 x?4

? 2

?1

,由函数 y ? 2 的单调性得
x

5. [解析] m ? 2 或 0 ? m ? 1 ;由 m
2

m

2

? (m ) 得 m m ? m 2m ,
m 2
2

当 m ? 1 时,得 m ? 2 m ,解得 m ? 2 ;当 0 ? m ? 1 时,得 m ? 2 m ,解得 0 ? m ? 1
2

6.[解析]解法一:设 y=5 ,则 0<y≤1,问题转化为方程 y2-4y-m=0 在(0,1]有实根.设 f(y) =y2-4y-m,其对称轴 y=2,∴f(0)>0 且 f(1)≤0,得-3≤m<0. -|x+1 解法二:∵m=y2-4y,其中 y=5 |∈(0,1] ,∴m=(y-2)2-4∈[-3,0) 综合提高训练: 7.[解析] ? f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) ,∴ f ( x ) 关于 x ? ? 1 对称,∴ b ? 2 ,又 f (0) ? c ? 3 ,
x x x x ∴当 x ? 0 时, 1 ? b ? c ,∴ f ( b ) < f ( c ) ;当 x ? 0 时, 0 ? c ? b ? 1 ,∴ f ( b ) > f ( c )

-|x+1|

x

x

x

x

第七讲 对数及对数函数
一、对数的概念 1.定义:一般地,若 a x ? N ( a ? 0, 且 a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,
a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

2.指数与对数的互化: a x

? N ? log a N ? x , ( a ? 0, 且 a ? 1)

,恒等式: a

lo g a N

=N
? 1.

3.对数的性质:① ? a 0 ? 1, a 1 ? a ( a >0,且 a ≠1)? log a 1 ? 0, log a a ② ∵ a >0,且 a ≠1 对任意的数, lo g 1 0 N 常记为 lg N . 4.两类对数:① 以 10 为底的对数称为常用对数, lo g 1 0 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, lo g e N 常记为 ln N .

以后解题时, 在没有指出对数的底的情况下, 都是指常用对数, 100 的对数等于 2, g0 2 如 即1 l 0 二、对数的运算性质 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) log a M N ? log a M ? log a N (2) lo g a
M N ? lo g a M ? lo g a N ; (3) log a M
n

?

.

? n log a M

(n ? R )
lo g c b lo g c a

三、对数换底公式: a >0,且 a ≠1, c >0,且 e ≠1, b >0 考点 1 对数式的运算
-4-

lo g a b ?

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例 1. 3 log

7

2 ? log

7

9 ? 2 log

7

( 2

3 2

)

y

y

四、对数函数的图像及性质 1.对数函数定义:一般地,我们把函数 y ? log a x ( a
y l gx > ) = o a( 1 a 1 x l gx0 a 1 o a (< <) y =

>0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数 1 x O O 的定义域是(0,+∞) ,图像如右所示: 2.对数函数的性质:定义域: (0,+∞) 值域:R; ; 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0. 当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数。 例 2.设 x , y , z ? ( 0 , ?? ) 且 3 x ? 4 y ? 6 z , ⑴ 求证:
1 x ? 1 2y ? 1 z

;⑵比较 3 x , 4 y , 6 z 的大小.

例 3.已知 f ( x ) ? 1 ? log

x

3 , g ( x ) ? 2 log

x

2 ,试比较 f ( x ) 和 g ( x ) 的大小。

例 4.求函数 y ? log

1 2

(x

2

? 3 x ? 18 ) 的单调减区间,并用单调定义给予证明。

五、对数函数与指数函数的关系 对数函数
y ? log a x

与指数函数 y ? a 互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称.。
x

例 5 设函数 f(x)是函数 g(x)= ?

?1? ? ?2?

x

的反函数,则 f(4-x )的单调递增区间为(

2



A.[0,+∞) ;B.(-∞,0] ;C.[0,2) ;D.(-2,0]

基础巩固训练: 1. (1) lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ? __________
2
2

__

; (2)

log

(

2 ?1 )

(3 ? 2 2 ) ?

_____________

a

3

2.已知

2 2 log ? ( ) (a ? 0) 3 ,则

2 3

a

=
-5-

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y ? log 3 x ( x ? 0) 3. (2007·全国Ⅰ)函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 的图像关于直线 y ? x 对称, f ( x ) ? 则

4. (广州市 09 届高三年级第一学期中段考)若偶函数 f ? x ? ? x ? R ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 且 x ? ?0 ,1?
f ? x ? ? log 时, f ? x ? ? x , 则方程
3

x

的根的个数是(

)

A. 2 个;B. 4 个;C. 3 个;D. 多于 4 个
x ? (log 1
1 2

)

?1

? (log

1
1 5

)

?1

5.设

3

3

,则 x 属于区间(



A. (-2,-1) B. ; (1,2) C. ; (-3,-2) D. ; (2,3) 综合提高训练: 6. (潮州金山中学 09 届高三检测) 若点 在第一象限且在 A.最大值为 1;B.最小值为 1;C.最大值为 2;D.没有最大、小值
A( x, y ) 2x ? 3y ? 6
lo g 3 x ? lo g 3 y

上移动, 则

2

2

7. (湛江市 09 届统测)给出四个函数图象分别满足:① f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ); ② g ( x ? y ) ? g ( x ) ? g ( y ) ③ u ( x ? y ) ? u ( x ) ? u ( y ) ④ v ( x ? y ) ? v ( x ) ? v ( y ). 与下列函数图象对应的是

a
A.① ? a ② ? d ③ ? c ④ ? b C. ① ? c ② ? a ③ ? b ④ ? d

b

c

d

B. ① ? b ② ? c ③ ? a ④ ? d D. ① ? d ② ? a ③ ? b ④ ? c

8. (深圳翠园、宝安中学 09 届联考)下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
x

3
2a ? b

5
a?c

8
3 ? 3 a ? 3c

9
4 a ? 2b

15
3a ? b ? c ? 1

lg x

请将错误的一个改正为 lg 9.已知函数 f ( x ) ? lg[( a ? 1) x ? ( a ? 1) x ? 1]
2 2

(1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围;

第七讲 参考答案
-6-

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3 2 9
y z

2 ?(
3

) 2

2

例 1.解:原式

? lo g 7

? lo g 7 1 ? 0

例 2.⑴证明:设 3 x ∴
1 x ? 1 2y ? lg 3 lg k ?

?4 ?6 ?k
?

,∵ x , y , z ? (0, ?? ) ,∴ k
? 2 lg 3 ? 2 lg 2 2 lg k ? lg 6 lg k

? 1 取对数得: x ?
1 z

lg k lg 3

,y

?

lg k lg 4

,z

?

lg k lg 6

,

lg 4 2 lg k

2 lg 3 ? lg 4 2 lg k

?

⑵3x

? 4 y ? lg k (

3 lg 3

?

4 lg 4

) ? lg k ?

lg 6 4 ? lg 8 1 lg 3 lg 4

lg k lg ?

64 81 ? 0

,∴ 3 x ?

4y

,

lg 3 lg 4 lg k ? lg ? 9 16 lg 2 lg 6 ? 0

又∵ 4 y

? 6 z ? lg k (

4 lg 4

?

6 lg 6

) ? lg k ?
3x 4

lg 3 6 ? lg 6 4 lg 2 lg 6

,∴ 4 y

? 6z

,∴ 3 x ?

4 y ? 6z

例 3. 解:

f ( x ) ? g ( x ) ? lo g x

? x ?1 4 ? ? x ? ①当 ? 3 x 3 ?1 ? ? 4



? 0 ? x ?1 ? ? 0 ? x ?1 ? 3x ?1 ?0 ? ? 4



f (x) ? g (x)

②当

3x 4

? 1即 x ?

4 3



f (x) ? g (x)
?0 ? x ? 1 ? ? x?? ? 3x ?1 ? ? 4

③当 ?

? ?

x ? 0 ? 1? x ?

4 3

3x ?1 ?0 ? ? 4




4 3

f (x) ? g (x)

综上所述: x ? ( 0 ,1) ? 例 4. 解:∵定义域 设 x1 , x 2 ? (6, ?? )且 x1 ∵ ( x1 2 ∴ x2

(

4 3
2

, ?? )



f (x) ? g (x)

;x

?



f (x) ? g (x)

; x ? (1,

4 3

)时

f (x) ? g (x)

x ? 3 x ? 18 ? 0 ? x ? 6 或 x ? ? 3
? x2

,∴单调减区间是 (6, ? ? ) . , y2
? lo g 1 ( x 2 ? 3 x 2 ? 1 8)
2 2

则 y1

? lo g 1 ( x1 ? 3 x1 ? 1 8)
2 2

? 3 x1 ? 18) ? ( x 2 ? 3 x 2 ? 18)
2

= ( x2

? x1 )( x 2 ? x1 ? 3)
2

,又∵ x 2 ,
2

? x1 ? 6

,

? x1 ? 0
?

, x2
1 2

? x1 ? 3 ? 0

∴ x2 2

? 3 x 2 ? 1 8 ? x1 ? 3 x1 ? 18

又∵底数 0

?1

,∴ y 2

? y1 ? 0

, y2

? y1 ∴函数 y ? lo g 1 ( x ? 3 x ? 1 8)
2

在 (6, ? ? ) 上是减函数

f ( x ) ? log

1 2

x

f ( 4 ? x ) ? log
2

1 2

(4 ? x )
2

例 5.[解析]显然

,从而得

,其定义域为 ( ? 2 , 2 )

2 2 . x ? ( ? 2 , 0 ) 时, 4 ? x 单调递增; x ? [ 0 , 2 ) 时, 4 ? x 单调递减.故选 C

基础巩固训练参考答案 1.[解析](1)1; (2) ? 2 ;

-7-

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2

lg

5 ? lg 2 ? lg 50 ? lg

2

5 ? lg 2 (1 ? lg 5 ) ? (lg

2

5 ? lg 2 lg 5 ) ? lg 2 ? lg 5 (lg 5 ? lg 2 ) ? lg 2

? lg 5 ? lg 2 ? lg 10 ? 1

log

(

2 ?1 )

( 3 ? 2 2 ) ? log
2

(

2 ?1 )

( 2 ? 1)
3

2

? log
3

(

2 ?1 )

( 2 ? 1)

?2

? ?2

a

3

?

2.[解析]3;由

4 2 2 2 3 log a ? ( ) 2 ? [( ) ] 2 ? ( ) 9 3 3 ,所以 9 得

4

2 3

a ? 3

x x y ? log 3 x ( x ? 0) 3.[解析] f ( x ) ? 3 ( x ? R ) ;由题意知, f ? x ? 是函数 的反函数,故 f ( x ) ? 3 ( x ? R )

4.[解析] A;由 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 知 f ? x ? 是周期为 2 的函数,又 x ? ?0 ,1? 时, f ? x ? ? x , 由 f ? x ? 是偶函
y ? log 数和周期性,在同一坐标系中作出 y ? f ? x ? 和
3

x

的图象,可知它们的图象有两个交点,故方



f ? x ? ? log

3

x

的零点个数是 2
x ? (log 1
1 2

)

?1

? (log

1
1 5

)

?1

? log

1
1 3

? log

1
1 3

? log

5.[解析] D;因为 而
2 ? log
3

3

3

2

5

1 3

(

1 2

?

1 5

) log

1
1 3

? log

,

10

3

10



9 ? log 3 10 ? log

3

27 ? 3

,所以 x 属于(2,3)

综合提高训练参考答案 6.[解析] A;依题意知 x ? 0 , y ? 0 ,因为 2 x ? 3 y ? 6 ,所以
log x ? log y ? log ( xy ) ? log [ ( 2 x )( 3 y ) 6 9 ? log 6 ? log ] ? log [( 2 x )( 3 y )] ? log 3
3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

6

? log

3 2

[

(2 x ? 3 y ) 2
x ? 3 2

] ? log
2

3 2

6 ? log

3 2

3 2

?1

2

,y ?1

当且仅当

时取到“=” ,故应选 A

7.[解析] D;显然满足① f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ); 的函数应是 y ? kx 这种类型,故图象应是 d ;满 足② g ( x ? y ) ? g ( x ) ? g ( y ) 应该是指数函数,故图象应是 a ; 满足③ u ( x ? y ) ? u ( x ) ? u ( y ) 的应是对数函数, 故图象应是 b ; 满足④ v ( x ? y ) ? v ( x ) ? v ( y ). 的应是幂函 数 y ? x ,就本题而言,其图象应是 c
n

8.[解析]lg15=3a-b+c;如果 lg 3 ? 2 a ? b ,则 lg 9 ? 2 lg 3 ? 2 ( 2 a ? b ) ? 4 a ? 2 b 可见, lg 3 ? 2 a ? b 是错误的,那么 lg 9 ? 4 a ? 2 b 也是错误的,这与题意矛盾;反过来,
lg 9 ? 4 a ? 2 b

也不是错误的,否则 lg 3 ? 2 a ? b 是错误的;同样,如果 lg 5 ? a ? c ,则
-8-

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lg 8 ? 3 lg 2 ? 3 (1 ? lg 5 ) ? 3 (1 ? a ? c ) ,如果 lg 5 ? a ? c 是错误的,那么 lg 8 ? 3 ? 3 a ? 3 c

也错误,这与题意矛盾;显然 lg 8 ? 3 ? 3 a ? 3 c 也不是错误的,否则 lg 5 ? a ? c 也错误; 所以, lg 15 ? lg( 3 ? 5 ) ? lg 3 ? lg 5 ? ( 2 a ? b ) ? ( a ? c ) ? 3 a ? b ? c 所以应将最后一个错误的改正为 lg 15 ? 3 a ? b ? c
a ? 5 3; (2) 1? a ? 5 3 依题意 ( a
2

9.[解析](1) a ? ? 1 或 立

? 1) x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成
2

当a

2

?a ? 1 ? 0 ? 5 ? a ? 2 2 ? ? ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 0 3 ? 1 ? 0 时,必须有 ? ,即 a ? ? 1 或
2

2 当 a ? 1 ? 0 时, a ? ? 1 ,当 a ? ? 1 时, f ( x ) ? 0 满足题意,当 a ? 1 时不合题意

故 a ? ?1 或

a ?

5 3
2 2

依题意,只要 t ? ( a ? 1) x ? ( a ? 1) x ? 1 能取到 ( 0 , ?? ) 的任何值,则 f ( x ) 的值域
?a ? 1 ? 0 ? 5 ? 1? a ? 2 2 ? ? ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 0 3 为 R ,故有 ? ,即
2

又当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ? 1 ,当 a ? 1 时 t ? 2 x ? 1 符合题意,当 a ? ? 1 时,不合题意,故
2

1? a ?

5 3

第八讲 反函数与幂函数
重点:反函数、幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。 难点:综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题,反函数的求解。 一、幂函数的概念 一般地,形如 y ? x ( x ? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 二、幂函数的图像及性质
y ? x
?

y ? x

2

y ? x

3

1

y ? x2

y ? x

?1

定义域 奇偶性

R 奇

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增
-9-

? x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x


? 0?

在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 的增减性 单调递增

在第Ⅰ象限 单调递减

高中数学基础知识教案

幂函数 y ? x ( x ? R, ? 是常数)的图像在第一象限的分布规律是: ①所有幂函数 y ? x ( x ? R, ? 是常数)的图像都过点 (1,1) ;
? ? 1, 2 , 3 ,
1 2 时函数 y ? x 的图像都过原点 ( 0 , 0 ) ;
? ?

?

②当

?

③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线 (如 c 2 ) ; ④当 ? ? 2 ,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c 1 )
? ?
1 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c 3 )
? ? ?

⑤当

⑥当 ? ? ? 1 时, y ? x 的的图像不过原点 ( 0 , 0 ) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c 4 ) 考点 幂函数的概念、图象和性质 题型 1:利用幂函数的单调性比较大小
1 ? ? ? ( ) , 0 .2 , 2 例 1(中山市 09 届月考)已知 ? ? 0 ,试比较 2 的大小;

题型 2:由幂函数的性质确定解析式
? 1 2 p ? p?
2

3 2

例 2 已知函数 f(x)=x

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域上是偶函数。

(1)求 p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式。 (2)对于(1)中求得的函数 f(x),设函数 g(x)=-qf[f(x)]+(2q-1)f(x)+1,问是否存在实数 q(q<0), 使得 g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数。若存在,请求出来;若不存在, 请说明理由。

例 3.(珠海中学 09 届月考)幂函数① ③
y ?1

y ? x

?1

,②

y ? x

及直线, y

y ? x

?1

y ? x

Ⅲ ,④ x ? 1 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限” :Ⅰ,
y ? x
? 3 2

Ⅱ Ⅳ Ⅰ
y ?1

Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示) ,那么幂函数 图象在第一象限中经过的“卦限”是( ) A.Ⅳ,Ⅶ ;B. Ⅳ,Ⅷ;C.Ⅲ,Ⅷ;D. Ⅲ,Ⅶ 六、反函数 1.反函数定义:只有满足 x ??一? ? 唯
y

的 Ⅴ Ⅵ O Ⅶ
x ?1



x

,函数 y

? f (x)

才有反函数.

- 10 -

高中数学基础知识教案

例如: y

? x

2

无反函数.函数 y

? f (x)

的反函数记为 x

? f

?1

( y)

,习惯上记为 y
?1

? f

?1

( x)

.

2.求反函数的步骤:①将 y 将 x , y 互换,得 y
? f
?1

? f (x)

看成关于 x 的方程,解出 x

? f

( y)

,若有两解,要注意解的选择;②

( x)

;③写出反函数的定义域(即 y 与它的反函数 y
? f
?1

? f (x)

的值域) 。
? x

3.在同一坐标系,函数 y

? f (x)

( x)

的图象关于 y

对称.

4.⑴单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数. ⑶设函数 y = f x) ( 定义域, 值域分别为 X、 如果 y = f x) X 上是增 Y. ( 在 (减) 函数, 那么反函数 y 在 Y 上一定是增(减)函数,即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地, 如果函数 y
? f (x)

? f

?1

(x)

有反函数, 且
? f
?1

f (a ) ? b

, 那么

f

?1

(b ) ? a

. 这就是说点 a , b ) ( 在函数 y

? f (x)

图象上,那么点( b , a )在函数 y
-1

( x)

的图象上.

注:1.函数 f(x)的反函数 f (x)的性质与 f(x)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同的单调性 -1 等,把反函数 f (x)的问题化归为函数 f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。 -1 -1 2.设函数 f(x)定义域为 A,值域为 C,则① f [f(x)]=x,(x?A)②f[f (x)]=x,(x?C) 考点 3.求反函数 例 4.求函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的反函数

例 5. 若函数 y ? f ( x ) 的图象经过 ( 0 , ? 1) ,那么 y ? f ( x ? 4) 的反函数图象经过点( (A) ( 4 , ? 1) (B) ( ? 1, ? 4 )
?1

)

(C) ( ? 4 , ? 1)

(D) (1, ? 4 )

例 6. 设 f ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 1 ,则 f

?0 ? ? ________.
x 2 ? n ( n ? R ) 互为反函数的充要条件是___________.

例 7. 函数 y ? mx ? 1( x ? R ), 与 y ?
1

例 8. 若点 ( 2 , ) 既在函数 y ? 2 ax ? b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则 a =__, b =___
4

王新敞
奎屯

新疆

基础巩固训练:
y ? 1 x
2

, y ? 2x , y ? x
2

2

? x, y ? 3 x

1.在函数 A.0

中,幂函数的个数为( C.2
? ?



B.1

D.3
1 ? ,3 ? ? 2 ? ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为

? ? ? ? 1,1,

2.(2007·山东改编)设

- 11 -

高中数学基础知识教案

3.如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图像,已知 ? 分别
? 1 ,1 , 1 2 ,2

?



四个值,则相应图像依次为:
f
m ?2
2

? x ? ? ? m ? 1? x 4.(2007·广东实验中学)设
是反比例函数,则 m=______,如果
1

,如果

f

? x ? 是正比例函数,则 m=______,如果 f ? x ?

f

? x ? 是幂函数,则 m=______
)

5.函数

y ? x

n

?n ? N ,n

? 2?

的图象只可能是(

A 综合提高训练: 6.讨论函数
y ? x
? 3 2

B

C

D

的定义域、值域及函数值 y 随 x 变化规律,并画出其图象. )
b b

7.当 0 ? a ? b ? 1 时,下列不等式中正确的是(
1

A. (1 ? a)

b

? (1 ? a)

b

; B . (1 ? a)

a

? (1 ? b )

b

(1 ? a) ;C .

? (1 ? a)

2

; D . (1 ? a)

a

? (1 ? b )

b

第八讲 参考答案
例 1. [解析]? y ? x
?

在 (0, ? ? ) 上单调递增,又

0 .2 ?

1 2

? 2

0 .2

?



1 ? ? ? ( ) ? 2 2 .

[名师指引]比较几个数式的大小,是解题过程中常常遇到的知识考点,往往都要用到函数的单调性,我 们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.
? 1 2 p ? p?
2

3 2

?

1 2

p

2

? p ?

3 2

? 0

例 2.[解题思路](1)由函数 f(x)=x

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数即可知



又由 p∈Z 即可确定 p 的值 (2)根据(1)的结果,利用函数单调性的定义进行探索求解。 [解析] (1)若 y= x 在 x∈(0,+∞)上是递增函数,则有α >0。
1 3
?

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴- 2 p2+p+ 2 >0
3

解得:-1<p<3,而 p∈Z

∴p=0,1,2

2 当 p=0 或 2 时,有 f(x)= x 不是偶函数,故 p=1,此时,f(x)=x2。

- 12 -

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(2) t=x2, g(x)在(-∞,-4 ] 上是减函数, 设 由 在(-4,0)上是增函数, t=x2 在[16, ) 和(0,16) 而 +∞ 上都是增函数,得 h(t)=-qt2+(2q-1)t+1 在(0,16)上是增函数,在[16,+∞ ) 上是减函数,从而可
2q ? 1
1 1

得 2q

=16,∴q=- 30 故存在实数 q=- 30 ,使得 g(x)在(-∞,-4 ] 上是减函数,且在(-4,0)上是

增函数。 [名师指引](1)解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质,依单调性从其指数入手; (2)复合函数的 单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。 例 3.[解析] D;由于当 x ? 1 时, x 象限中经过的“卦限”是Ⅲ,Ⅶ
? 3 2

? x

?1

,当 x ? 1 时, x

?

3 2

? x

?1

,故幂函数

y ? x

?

3 2

的图象在第一

例 4.解:∵ ?1≤x < 0,∴0 < x ≤ 1 ,∴0≤1 ? x < 1,∴ 0 ≤ 1 ? x < 1 ,
2 2

2

∴0 < y ≤1 由: y ? 1 ? 1 ? x 2 解得: x ? ? 2 y ? y 2 (∵ ?1≤x < 0 ) ∴ y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的反函数是: y ? ? 2 x ? x 2 ( 0 < x ≤1 ) 例 5.B; 例 8. a = ?
12 7

例 6.1 ; ,b =
10
王新敞
奎屯 新疆

例 7. m=2,n=
1

1 2

解:由已知 ( 2 , ) 在反函数的图象上,则 ( , 2 ) 必在原函数的图象上
4 4

1

王新敞
奎屯

新疆

7

12 ? ?1 2a?b a ? ? ?2a ? b ? ?2 ? 2 ? ? 1 1 ? ? 7 所以原函数经过点 ( 2 , ) 和 ( , 2 ) 则 ? 4 ,所以 ? 1 ,解得 ? 。 1 4 4 a?b ? ? a ?b ?1 ?b ? 10 4 ?4 ?2 ? 2 ? 7 ?
王新敞
奎屯 新疆

基础巩固训练参考答案
y ? 1 x
2

1.[解析] B;显然,根据幂函数可知,只有
? ?
1

是幂函数

2.[解析] 1,3;当 ? ? ? 1 及

2 时, y ? x 的定义域都不是 R,当 ? ? 1 及 ? ? 3 时, y ? x 的定

?

?

义域都都是 R,并且都是奇函数 3. [解析]
c 4 、 c 2 、 c 3、 c 1


?m ? 2 ? 1 ? ?m ? 1 ? 0
2

4.[解析] ?
2

3 , ? 1 ,2;若 f

? x ? 是正比例函数,则

f ?x? ,即 m ? ? 3 ;若 是反比例

?m ? 2 ? ?1 ? f m ?1 ? 0 函数,则 ? ,即 m ? ? 1 ;若

? x ? 是幂函数,则 m ? 1 ? 1 ,即 m
- 13 -

? 2

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1

5.[解析]显然, 综合提高训练:
y ? x

y ? x

n

?n ? N ,n

? 2?

是偶函数,故可排除 A 和 B,又 n ? N , n ? 2 ,所以应选择 C

?

3 2

?

1 x
3

6.[解析]

,函数的定义域

? 0, ? ? ? ,值域 ? 0, ? ? ? .由图象可知,在区

间(0,+∞)上函数值 y 随 x 的增加而减小. 7.[解析] D ; 0 ? a ? 1 知指数函数 y ? (1 ? a ) 是减函数, 由 又由 0 ? b ? 1 知
x b

b?

b b? b, 2,

1

b b ( ( 所以可排除 A 和 C ;又幂函数 y ? x 是增函数, 1 ? b ? 1 ? a ,故 1 ? b ) ? 1 ? a ) ,而由指数函数

y ? (1 ? a )

x

( ( ( ( 是增函数知 1 ? a ) ? 1 ? a ) ,即 1 ? b ) ? 1 ? a ) ,从而排除 B .
b a b a

第九讲 函数与方程及简单应用
一、函数的零点 方程 f ( x ) ? 0 的实数根又叫做函数 y ? f ( x )( x ? D ) 的零点。 方程 f ( x ) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x ) 有零点; ②如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a , b ) 上的图像是连续不断的,且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 在 区间 ( a , b ) 上有零点。 考点 1 零点的求法及零点的个数 题型 1:求函数的零点. 例1. 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点.
3 2

题型 2:确定函数零点的个数. 例2. 求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数.

题型 3:由函数的零点特征确定参数的取值范围 例 3.(09 年浙江五校联考)函数 围是( ) A.
f

?x? ?

mx ? 2x ? 1
2

有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范

? ? ? ,1? ;B. ? ? ? , 0 ? ? ?1? ;C. ? ? ? , 0 ? ? ? 0,1? ;D. ? ? ? ,1 ?

二、二分法
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1.如果函数 y ? f ( x ) 在区间 [ m , n ] 上的图像是连续不断的一条曲线,且 f ( m ) ? f ( n ) ? 0 ,通过不断地 把函数 y ? f ( x ) 的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法。 2.给定精度 ? ,用二分法求函数 y ? f ( x ) 的零点近似值的步骤如下: (1) 确定区间 [ m , n ] , 验证 f ( m ) ? f ( n ) ? 0 , 给定精度 ? ; 求区间 [ m , n ] 的中点 x 1 ; 计算 f ( x 1 ) : (2) (3) ①若 f ( x 1 ) ? 0 ,则 x 1 就是函数 y ? f ( x ) 的零点;②若 f ( m ) f ( x 1 ) ? 0 ,则令 n ? x 1 (此时零 点
x 0 ? ( m , x1 ) x ? ( x1 , n ) ) ;③若 f ( x 1 ) f ( n ) ? 0 ,则令 m ? x 1 (此时零点 0 ) (4)判断是否达到精度 ? ;

即若

m ?n ??

,则得到零点值 m (或 n ) ;否则重复步骤(2)-(4)

考点 2 用二分法求方程的近似解 例 4(斗门一中 09 届模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x

0.2
x

0.6 1.516 0.36

1.0 2.0 1.0

1.4 2.639 1.96

1.8 3.482 3.24 ).

2.2 4.595 4.84

2.6 6.063 6.76

3.0 8.0 9.0

3.4 10.556 11.56

? ? ?

y ? 2 y ? x

1.149 0.04

2

x 2 那么方程 2 ? x 的一个根位于下列区间的(

A.(0.6,1.0) ;B.(1.4,1.8) ;C.(1.8,2.2) ;D. (2.6,3.0) 考点 3 根的分布问题 2 例 5.已知函数 f(x)=mx +(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数 m 的取 值范围

三、函数的简单应用 解函数应用问题的基本步骤:求解数学应用题的一般步骤为:读题 ? 建模 ? 求解 ? 反馈 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什 么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为 x,函数为 y,必要时引入其他相关辅助变量,并用 x、y 和辅助变量表示各相关量, 然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将 实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答. 例 6. (2009· 南海)某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为______.(lg2=0.3010, lg11.49=1.0602)

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基础巩固训练: 1.(深圳九校 09 届联考)下图是函数 f ( x ) 的图像, 它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间, 不能用二分法求出函数 f ( x ) 在区间( A.[ ? 2.1, ? 1] ;B.[1 . 9, 2 . 3]
3

)上的零点 D.[5,6.1]
( x 0, y 0 )

C.[4.1,5] ;
2? x

2.华侨中学 09 届月考) ( 设函数 y ? x 与 y ? 2
3) 4 1) 2) A. (0, ;B. (1, ;C. ( 2, ;D. (3,)

的图象的交点为

, 则

x0

所在的区间是 (



3. (湛江市 09 年高三统考)方程 2 ? x ? 2 的解所在区间是(
x



A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

3 x ? 2 .5 4. 金山中学 09 届月考) ( 用二分法求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [ 2, 3] 上的近似解, 取区间中点 0 ,

那么下一个有解区间为
1 x f ( x ) ? ( ) ? log 3 5. (09 年韶关市第一次调研考)已知函数 x

2

,若实数

x0

是方程 f ( x ) ? 0 的解,且

0 ? x1 ? x 0

,则 f ( x 1 ) 的值(



A.恒为正值;B.等于零;C. 恒为负值; D.不大于零 综合提高训练: 6. (09 年深圳宝安中学) 定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所 示,给出下列四个命题中: (1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解; (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解; (3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解; (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是( ) y y A. 1;B. 2;C. 3; D. 4

a y?f(x)
?a

a
y?g(x)

O

a

x

?a

O
?a

a

x

?a 7.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.
2

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第九讲 参考答案
3 2 例 1.[解题思路]求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点就是求方程 x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 的根

3

2

3 2 [解析]令 x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 ,∴ x ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 0 ∴ ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,

2

∴ x ? ? 1或 x ? 1或 x ? 2 即函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点为-1,1,2。
3 2

[名师指引] 函数的零点不是点,而是函数函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴交点的横坐标,即零点是一个实 数。 例 2. [解题思路]求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数就是求方程 lnx+2x -6=0 的解的个数 [解析]方法一:易证 f(x)= lnx+2x -6 在定义域 (0, ? ? ) 上连续单调递增, 又有 f (1) ? f (4) ? 0 ,所以函数 f(x)= lnx+2x -6 只有一个零点。 方法二:求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数即是求方程 lnx+2x -6=0 的解的个数
? y ? ln x ? ? y ? 6 ? 2x

即求

的交点的个数。画图可知只有一个。

[名师指引]求函数 y ? f ( x ) 的零点是高考的热点,有两种常用方法: ①(代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x ) 的图像联系起来,并利用函数的 性质找出零点. 例 3.
?m ? 0 ?m ? 0 ? ? 2 2 ?m ? 0 ?? ? (?2) ? 4m ? 0 ?? ? (?2) ? 4m ? 0 ? ? f (0 ) ? 0 ? f (0 ) ? 0 2 ? ? (?2) ? 4m ? 0 ? ? [解析]依题意得(1) 或(2) 或(3)?

显然(1)无解;解(2)得 m ? 0 ;解(3)得 m ? 1 又当 m ? 0 时 f ( x ) ? ? 2 x ? 1 ,它显然有一个正实数的零点,所以应选 B 例 4. [解题思路]判断函数 f ( x ) ? 2 ? x 在各个区间两端点的符号
x 2

[解析]由 f ( 0 . 6 ) ? 1 . 516 ? 0 . 36 ? 0 , f (1 . 0 ) ? 2 . 0 ? 1 . 0 ? 0 ,故排除 A; 由 f (1 . 4 ) ? 2 . 639 ? 1 . 96 ? 0 , f (1 . 8 ) ? 3 . 482 ? 3 . 24 ? 0 ,故排除 B;
x 2 由 f (1 . 8 ) ? 3 . 482 ? 3 . 24 ? 0 , f ( 2 . 2 ) ? 4 . 595 ? 4 . 84 ? 0 ,故可确定方程 2 ? x 的一个根位于下列区

间(1.8,2.2) ,所以选择 C
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[名师指引]用二分法求方程 f ( x ) ? 0 的近似解的关键是先寻找使得函数 f ( x ) 在两端点异号的某区间, 然后依次取其中点,判断函数 f ( x ) 在中点的符号,接着取两端函数值异号的区间作为新的区间,依次 进行下去,就可以找到符合条件的近似解。 例 5. [解题思路]由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点,应分情况讨论 [解析](1)若 m=0,则 f(x)=-3x+1,显然满足要求. (2)若 m≠0,有两种情况:
?Δ ? ( m ? 3 ) 2 ? 4 m ? 0 ? ? ? 1 ? 0 ? x1 x 2 ? m 原点的两侧各有一个,则 ?

m<0;

? ?Δ ? ( m ? 3 ) 2 ? 4 m ? 0 , ? 3? m ? ? 0, ? x1 ? x 2 ? 2m ? 1 ? ? 0, ? x1 x 2 ? m 都在原点右侧,则 ?

解得 0<m≤1,综上可得 m∈(-∞,1]. [名师指引]二次方程根的分布是高考的重点和热点,需要熟练掌握有关二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的分布有关的结论: ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a· f(r)<0.
?Δ ? ? ? ?? ? ?a ? ? b b 2a ? f (r ) ? 0.
?Δ ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? p ? ? b ? q, ? ? ? 2a ?a ? f (q ) ? 0, ? ?a ? f ( p) ? 0. ?
2

? 4 ac ? 0 ,

? r,

②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r

③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根

④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0,另一根在(p,q) 内或 f(q)=0,另一根在(p,q)内.
?a ? f ( p ) ? 0, ? ? ?a ? f (q ) ? 0. ⑤方程 f(x)=0 的两根中一根大于 p,另一根小于 q(p<q)

例 6.[解析]14.9%;设产值平均年增长率为 x,则(1+x)10=4. 两边同取以 10 为底的对数得 10lg(1+x)=2lg2.
2 ? 0 . 3010

∴lg(1+x)=

10

=0.0602. ∴1+x=100.0602.

又∵lg11.49=1.0602, ∴11.49=101.0602=10·100.0602. ∴100.0602=1.149. 因此 1+x=1.149,x=0.149=14.9%.]
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基础巩固训练参考答案 1.[解析] B;由于用二分法判断函数 f ( x ) 在区间 ( m , n ) 上有零点的必要条件是 f ( m ) ? f ( n ) ? 0 ,而从 图可以看出, f ( x ) 在区间[1 . 9, 2 . 3] 的两端的符号相同,故不能用二分法求出函数 f ( x ) 在这个区间 上的零点 2.[ 解 析 ] B ; 令 f ( x ) ? x ? 2
3 2? x

, 则 f (0) ? 0 ? 2
3

2?0

? ? 4 , f (1) ? 1 ? 2
3

2 ?1

? ?1 ,

f (2) ? 2 ? 2
3

2?2

? 7 ,可见 x 0 所在的区间是 (1, 2)
x 0 1

3.[解析] A;令 f ( x ) ? 2 ? x ? 2 ,则 f ( 0 ) ? 2 ? 0 ? 2 ? ? 1 ? 0 , f (1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以 方程 2 ? x ? 2 的解所在区间是(0,1)
x

4.[解析] [2, 2.5] ;令 f ( x ) ? x ? 2 x ? 5 ,则 f ( 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 1 ? 0
3 3

f ( 2 . 5 ) ? 2 . 5 ? 2 ? 2 . 5 ? 5 ? 2 . 5 ? ( 2 . 5 ? 2 ) ? 0 ,故下一个有解区间为 [2, 2.5]
3 2 2

1 x y ? ( ) 3 和 y ? log 5.[解析] A.在同一坐标系中作出函数 1 x f ( x 1 ) ? ( ) 1 ? log 3 时,

2

x 的图象,发现 x 0 ? 1 ,并且当 0 ? x 1 ? x 0

2

x1 ? 0

综合提高训练: 6.[解析] B; 7. [解析](1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间 (-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
? m ? (0 ) ? 2 m ? 1 ? 0, ? ?m ( ? 1) ? 2 ? 0 , ? ? ? (1 ) ? 4 m ? 2 ? 0 , ?m ? (2) ? 6m ? 5 ? 0 ? m ? ? ? ? 1 2 ? R, ? ? ? ? 1 2 5 6
? 5 6 ? m ? ? 1 2

? ? ? ? ? ? ?

f f f f

,



.

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
1 ? m ? ? , ? 2 ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或 m ? 1 ? ? ?? 1 ? m ? 0.

? f (0) ? 0, ? ? f (1 ) ? 0 , ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

2,

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过)
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第十讲 必修 1 模块检测题(2009—2010)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.下列各式:① 1 ? {0,1, 2} ;② ? ? {0,1, 2} ;③ {1} ? {0,1, 2004} ;④ {0,1, 2} ? {0,1, 2} ; ⑤ {0,1, 2} ? {2, 0,1} ,其中错误的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.若 lg2=a,lg3=b,则 log 2 3 =( ) A. a ? b B. b ? a C. )
1

a b

D.

b a

3.下列幂函数中过点 (0, 0) , (1,1) 的偶函数是(
1

A. y 4.设

? x2

B. y

? x

4

C. y

? x

?2

D. y

? x3

1 x 1 x f ( x ) ? ( ) ? x ? 1, 用二分法求方程 ( ) ? x ? 1 ? 0 2 2

在 (1, 3 ) 内近似解的过程中, ) D.无法确定 ) D.2 ) D. b < c < a

f (1) ? 0 , f (1 . 5 ) ? 0 , f ( 2 ) ? 0 , f ( 3 ) ? 0 , 则方程的根落在区间 (

A. (1, 1 . 5 )

B. (1 . 5 , 2 )
1 3

C. ( 2 , 3 )
? x) ? f (x ? 1 3

5.如果二次函数 f ( x ) ? 3 x 2 ? bx ? 1 满足 f ( ? A.-1 6.三个数 a ? 0 . 3 2 , b ? log A.a < c < b
2

) ,则 b 的值为(

B.1
0 .3 , c ? 2
0 .3

C.-2 之间的大小关系是( C. b < a < c
x 的图象,已知 a 的取值为

B.a < b < c
a

7.如图所示曲线是对数函数 y ? log
3,

4 3 1 , , ,则相应图象 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 中的 a 的值依次为( 3 5 10 4 3 1 , , 3 5 10 3, 3 , 1 5 10



A. 3 , C.
4 3 ,

B. 3 , D.
4 3 ,

4

,

1 1 10

, ,

3 5 3 5

3 10 3,

8.已知映射 f : A ? B ,其中,集合 A ? ?? 3, ? 2 , ? 1,1, 2 , 3, 4 ?, 集合 B 中 的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意的 a ? A , 在 B 中和它对应的元素是|a|,则集合 B 中元素的个数是( 9.已知函数 f ( x ) ? ? A.9
? log ?3
x 2

) A.4
x ( x ? 0) ( x ? 0)

B.5 ,则 f ? f ?
? ? ? 1 ?? ?? ? 4 ??

C.6 =( ) 1 D.- 9

D.7

B.

1 9

C.-9

10.奇函数 f ( x ) 在区间 ?? b , ? a ? 上单调递减,且 f ( x ) ? 0 ( 0 ? a ? b ) ,那么 f ( x ) 在区间 ?a , b ? 上 ( ) A.单调递减

B.单调递增
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C.先增后减

D.先减后增

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知不等式 x 2 ? px ? 6 ? 0 的解集为 { x | ? 3 ? x ? 2} ,则 p ? 12.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( x ) =
3 3
x x

.

.

13.函数 f ( x ) ?

?1 ?1

的值域为___

____.

14.函数 f ( x ) ? a x ?1 ? 3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(8 分) .计算:
? 5 lo g 9 4 ? lo g 3 32 9 ?5
lo g 5 3

? 1 ? ?? ? ? 64 ?

?

2 3

16(10 分) .已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7 ? , B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , C ? ?x | 5 ? a ? x ? a ? . (1) 求 A ? B , ?C R A ? ? B ;(2) 若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围.

17(12 分) .已知函数 f ( x ) ? x (1) 求 m 的值;

m

?

4 x

,且 f ( 4 ) ? 3

(2) 证明 f ( x ) 的奇偶性;

(3) 判断 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的单调性,并给予证明;

第二部分 能力检测(共 50 分) 四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18.函数 y ? log
1 2

(x

2

? x ? 12 ) 的单调增区间是_________.

19.下列几个命题,正确的有____________.(填序号) ①方程 x 2 ? ( a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②若幂函数 y ? x m
2

? 2m ?3

的图象与坐标轴没有交点,则 m 的取值范围为 ( ? 3 ,1)

③若 f ( x ? 1) 为偶函数,则有 f ( x ? 1) ? f ( ? x ? 1) ;

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④函数 y ? f ( 2 x ) 的定义域为[1,2],则函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ?0 ,1 ? 五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20(12 分) .设 f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的函数,对定义域内的任意 x,y 都满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 且 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 . (1) 写出一个符合要求的函数,并猜想 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的单调性; (2) 若 f ( 2 ) ? 1 ,解不等式 f ( x ) ? f ( x ? 3 ) ? 2 ;

21(14 分) .函数 y ? lg( 3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 x ? 1 ( x ? M ). (1) 求 M; (2) 求函数 f ( x ) 的值域; (3) 当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 x ? 2 x ? 1 ? b ( b ? R ) 有实数根,求 b 的取值范围,并讨论实数根的 个数.

22(14 分) .定义:若函数 f ( x ) 对于其定义域内的某一数 x 0 ,有 f ( x 0 ) ? x 0 ,则称 x 0 是 f ( x ) 的一个 不动点. 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( b ? 1) x ? b ? 1( a ? 0 ) . (1) 当 a ? 1 , b ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2) 若对任意的实数 b,函数 f ( x ) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,若 y ? f ( x ) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A、B 的中点 C 在函数 g ( x ) ? ? x ?
5a a
2

? 4a ? 1

的图象上,求 b 的最小值.
? x1 ? x 2 ? 2 y1 ? y 2 ? ?) 2 ?

(参考公式: A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 的中点坐标为 ?

,

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第十讲 参考答案
第一部分 基础检测(共 100 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1 2 3 4 5 题号 A D B A D 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 1;12. x 2 ? 4 x ? 3 ; 13. ( ? 1,1) ;14. (1, 4 ) . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 15(8 分). 计算: ? 5 log 原式 ? ? 5 log
? ? 5 log
3

6 C

7 C

8 A

9 B

10 B

9

4 ? log

32
3

?5

log

5

3

9
2 3

? 1 ? ?? ? ? 64 ?

?

2 3

3

2 ? log
3

?

3

2

5

? log
3

3

3

2

? ? 3 ? 64

????????4 分 ????????7 分 ????????8 分

2 ? 5 log

2 ? 2 log

3 ? 3 ? 16

? ? 2 ? 3 ? 16 ? ? 21

16(10 分). 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7 ? , B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , C ? ?x | 5 ? a ? x ? a ? . (1)求 A ? B , ?C R A ? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围. 解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? ,
? C R A ? ?x | x ? 3 或 x ? 7 ? ,? ?C R A ? ? B ? ?x | 2 ? x ? 3 或 7 ? x ? 10 ?

????????2 分 ????????4 分

(2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , ①当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?
5 2



????????6 分

?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ? 5 ? a ? 2 ,解得 ? a ? 3 ; 2 ? a ? 10 ?

??????9 分 ????????10 分

由①②得, a ? 3 17(12 分). 已知函数 f ( x ) ? x (1) 求 m 的值; (2) 证明 f ( x ) 的奇偶性; (3) 判断 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的单调性,并给予证明; 解: (1)? f ( 4 ) ? 3 ,? 4 (2)因为 f ( x ) ? x ? 又 f (? x) ? ? x ?
4 ? x 4 x
m
m

?

4 x

,且 f ( 4 ) ? 3

?

4 4

? 3 ,? m ? 1 .

????????2 分 ????????3 分 ????????5 分 ????????6 分 ????????7 分

,定义域为 ?x | x ? 0 ? ,关于原点成对称区间.
4 x ) ? ? f (x) ,

? ?(x ?

所以 f ( x ) 是奇函数. (3)设 x 1 ? x 2 ? 0 ,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? (x2 ? 4 x2 ) ? ( x 1 ? x 2 )( 1 ? 4 x1 x 2 )

????????9 分

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因为 x 1 ? x 2 ? 0 ,所以 x 1 ? x 2 ? 0 , 1 ?

4 x1 x 2

? 0,

????????11 分 ????????12 分

所以 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,因此 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上为单调增函数.

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18. ? ? ? ,? 3 ? ;19. ①. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分. 20(12 分).设 f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的函数,对定义域内的任意 x,y 都满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 且 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 . (1) 写出一个符合要求的函数,并猜想 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的单调性; (2) 若 f ( 2 ) ? 1 ,解不等式 f ( x ) ? f ( x ? 3 ) ? 2 ; 解: (1) y ? log
a

x ( a ? 1, x ? 0 ) ,

????????2 分 ????????3 分
x1 x2

f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增.

(2)任取 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) ,且 x 2 ? x 1 由 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,得 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,令 xy ? x 1 , x ? x 2 ,则 y ?
? x 1 ? x 2 ? 0 ,? x1 x2



? x1 ? ? ? 0, ? 1 ,? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ? ? x ? ? 2 ?

? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,故 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增.
? f ( x ) ? f ( x ? 3 ) ? f ( 4 ) ,即 f ? x ( x ? 3 ) ? ? f ( 4 ) ,

????????6 分 ?????8 分

由 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,令 x ? y ? 2 ,得 f ( 4 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? 2 f ( 2 ) ? 2 ??????7 分 由 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增,得
? x ( x ? 3) ? 4 ? , ?x ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?

????????10 分

解得 ?

?? 1 ? x ? 4 ?x ? 3



???????11 分

所以不等式的解集为 ?x | 3 ? x ? 4 ? .

????????12 分

21(14 分). 函数 y ? lg( 3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 x ? 1 ( x ? M ). (4) 求 M; (5) 求函数 f ( x ) 的值域; (6) 当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 x ? 2 x ? 1 ? b ( b ? R ) 有实数根,求 b 的取值范围,并讨论实数根的 个数. 解: (1) x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , ( x ? 1)( x ? 3 ) ? 0 , x ? 1或 x ? 3 ,
? M ? ?x | x ? 1或 x ? 3?

????????2 分 ????????3 分 ????????4 分 ????????6 分 ???????7 分 ????????8 分

(2)设 t ? 2 ,? x ? 1或 x ? 3 ,? t ? ( 0 , 2 ) ? ( 8 , ?? )
x

f ( x ) ? g (t ) ? t

2

? 2 t ? ( t ? 1) ? 1 ,
2

当 t ? ( 0 ,1) 时 g (t ) 递减,当 t ? (1, 2 ) 时 g (t ) 递增, g (1) ? ? 1, g ( 0 ) ? g ( 2 ) ? 0 , 所以 t ? ( 0 , 2 ) 时, g ( t ) ? ?? 1, 0 ? ; 当 t ? ( 8 , ?? ) 时 g (t ) 递增, g ( 8 ) ? 48 ,所以 g ( t ) ? ( 48 , ?? ) 故 f ( x ) 的值域为 ?? 1, 0 ? ? ( 48 , ?? ) (3) b ? 4 x ? 2 x ?1 ,即 b ? f ( x ) ,方程有实根
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高中数学基础知识教案

?函数 y 1 ? b 与函数 y 2 ? f ( x ) ( x ? M )的图象有交点. 由(2)知 f ( x ) ? ?? 1, 0 ? ? ( 48 , ?? ) , 所以当 b ? ?? 1, 0 ? ? ( 48 , ?? ) 时,方程有实数根. 下面讨论实根个数: ① 当 b ? ? 1 或当 b ? ( 48 , ?? ) 时,方程只有一个实数根 ② 当 b ? (? 1, 0 ) 时,方程有两个不相等的实数根 ③ 当 b ? ( ?? , ? 1) ? [ 0 , 48 ] 时,方程没有实数根

???????10 分 ??????12 分 ???????13 分 ????????14 分

22(14 分).定义:若函数 f ( x ) 对于其定义域内的某一数 x 0 ,有 f ( x 0 ) ? x 0 ,则称 x 0 是 f ( x ) 的一个 不动点. 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( b ? 1) x ? b ? 1( a ? 0 ) . (1)当 a ? 1 , b ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f ( x ) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x ) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A、B 的中点 C 在函数 g ( x ) ? ? x ?
5a a
2

? 4a ? 1

的图象上,求 b 的最小值.
? x1 ? x 2 ? 2 y1 ? y 2 ? ?) 2 ?

(参考公式: A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 的中点坐标为 ?

,

解:(1) f ( x ) ? x 2 ? x ? 3 ,由 x 2 ? x ? 3 ? x , 解得 x ? 3 或 x ? ? 1 ,所以所求的不动点为 ? 1 或 3. (2)令 ax 2 ? ( b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax 2 ? bx ? b ? 1 ? 0 ① 由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ? ? b 2 ? 4 a ( b ? 1) ? 0 , 即 b ? 4 ab ? 4 a ? 0 恒成立, 则 ? ? ? 16 a 2 ? 16 a ? 0 ,故 0 ? a ? 1
2

????????1 分 ????????3 分 ???????5 分 ???????6 分 ???????8 分

(3)设 A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2), g ( x ) ? ? x ? 又 AB 的中点在该直线上,所以 ∴ x1 ? x 2 ?
a 5a
2

a 5a
2

? 4a ? 1
? 5a a
2

, ,

???????9 分

x1 ? x 2 2

? ?

x1 ? x 2 2

? 4a ? 1

? 4a ? 1


b a

??????10 分 ,即 ?
1 ( 1 a ? 2)
2

而 x1、x2 应是方程①的两个根,所以 x 1 ? x 2 ? ? ∴b ? ?
5a a
2 2

b a

? 5a

a
2

? 4a ? 1



? 4a ? 1

=?1? ? ? ?a?

1
2

=-

??????12 分
?1

?1? ? 4? ? ? 5 ?a?

∴当 a=

1 2

∈(0,1)时,bmin= ? 1

??????14 分

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