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16-2.5等比数列的前n项和(1)


等比数列的前n 项和(一)

教学目标: 重点:对于等比数列的前 n 项和公式的推导以及公 式的简单应用(利用公式求和及解方程). 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握.

知识点:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决 一些简单问题.

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明 者,问他想要什么.发明者说: “请在第一个格子里放上1颗 麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦 粒,依此类推,每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放 的麦粒的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上 述要求.”国王觉得这个求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子 的质量为40 g,按目前世界小麦年度产量约6亿吨计. 你认为国王能不能实现他的诺言.怎样计算?请列出算式.

S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 263
思考:如何求等比数列 ?an? 的前 n 项和公式?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ??? an

探究新知:

前面我们学习了等差数列的前 n 项和公式的推导法 ——倒序相加法. 等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?它的前 n 项和是
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an

根据等差数列的定义 an?1 ? an ? d
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ???? ?a1 ? (n-1)d ? Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ??? ?an -(n-1)d ?
(1)
(2)

n(a1 ? an ) Sn ? 2Sn ? n(a1 ? an ) 即: (1)+(2)得: 2
探究1:等比数列的前 n 项和公式是否能用倒序相加法推导?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ??? an

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n ?2

? a1q

n?1

an an an an Sn ? a n ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 q q q q
an an an an 2 n?2 n ?1 2Sn ? (a1 ? a n ) ? (a1q ? ) ? (a1q ? 2 ) ? ? ? (a1q ? n?2 ) ? (a1q ? n?1 ) q q q q

两式相加得:

式子并不相等,没法化简,不能利用倒序相加法求和. 在等差数列的前 n 项和中,通过倒序对应项的和是一个相同 的式子,从而将复杂的式子简单化(化繁为简)便于求和 探究2:我们是否能借助这种思想将等比数列的前n 项和也构造出 相同的式子从而化简(化繁为简),从而推导出等比数列前n项 和公式呢?

an?1 ?( q n ? N? ) 根据等比数列的定义: an 变形: anq ? an?1
不难发现,等比数列中的每一项乘以公比 q 都等于其后一项. 探究3:你能将等比数列的这一特点应用在其前 n项和上,类比 倒序相加法的形式构造相同项,从而求出等比数列的前 n项和 公式吗? 具体:a1q ? a2

a2q ? a3 a3q ? a4

……

(3) Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1 qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ?? a1qn?1 ? a1qn(4)

?(3) ? (4)得: (1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn
当 q ? 1 时,

S n ? na1

倒序相加法

a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1时, S n ? 1? q
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:

a1 ? an q 当 q ? 1 时, Sn ? 1? q

理解新知: 1.等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1时, S n ? na1 a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 当 q ?1 时, Sn ? 1? q 1? q 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑 q ? 1 与 q ? 1 两种情况;
⑵当 q ? 1时,等比数列前 n 项和公式有两种形式,分别都涉及 四个量,四个量中“知三求一” . . ⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个量, a1 , q, n, an , Sn ,五个量中“知三求二”(方程思 想) . 3.错位相减法的步骤 (1)等式两边同时乘以公比 q ; (2)得到的式子与原式错位相减; (3)整理,求和 Sn

运用新知: 例1 回到课前的问题,借助公式大家算算,看这个国王能实现 他的诺言吗?
解:由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得:

a1 (1 ? q ) 1(1 ? 2 ) ? ? 264 ? 1 ? 1.84 ?1019 Sn ? 1? 2 1? q
n

64

假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨, 显然,国王是没法实现他的诺言了. 变式练习1: 当放满第几个格子的时候,棋盘上麦粒的总数就达到了255? 解:由 a1 ? 1, q ? 2, Sn ? 255 可得: a1 (1 ? q n ) 1(1 ? 2n ) Sn ? ? 255 ? 得2n ? 256,n ? 8 1? q ?1

答:当放满第8个格子的时候就满足了.

例2求下列等比数列的前8项的和: 1 1 1 (1) 2 , 4 , 8 ,?

1 ,q ? 0 (2) a1 ? 27, a9 ? 243 1 解:(1)因为 a1 ? 1, q ? ,所以当 n ? 8 时 2 1 1 8 [1 ? ( ) ] 255 2 2 Sn ? ? 1 256 1? 2 1 1 8 a ? 27, a ? (2)由 1 =27 q 9 243 可得 243 1 又由 q ? 0 可得 q ? ? 3 1
于是当

n ? 8时,

27[1 ? (? )8 ] 3 ? 1640 S8 = 1 81 1-(- ) 3

变式练习2:求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和. 解:由题意可得

a1 ? 1, q ? 2

4 10 ( 1 1 2 ) ( 1 1 2 ) 所以 S 4 = =15 S10 = =1023 1-2 1-2

方法一直接 公式求和

从第5项到第10项的和为1023-15=1008 解:该数列的第5项到第10项可以构成一个新的等比数列 ?bn ? 其中 b1 ? a5 ? 1? 24 ? 16, q ? 2, n ? 6 方法二构造 a5 (1 ? q6 ) 16(1 ? 26 ) T6 ? ? ? 1008 数列求和 1? q 1? 2 思考:还可以怎样求和呢?

从第5项到第10项的和为1008

当堂达标: 1、根据下列各题中的条件,求相应的等比数列?an?的前n项和 Sn

a1 (1)

? 3, q ? 2, n ? 6

1 1 (2)a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? 3 90


5 (3)a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 4



7 63 求 an S6 ? 2、已知等比数列?an?中 S 3 ? , 2 2

课堂小结:
数学知识:1、等比数列的前 n项和公式:

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 当 q ? 1时, S n ? ? 1? q 1? q
2、等比数列的前 n项和推导方法:错位相减法。 数学思想:类比,分类讨论,方程的数学思想。

当 q ? 1 时,

S n ? na1

课下作业: 自主丛书P58 : 3, 4, 6, 7

探究题: 课本P62: 1,2


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