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正弦余弦函数图象的性质


正余弦函数图象性质

观察正余弦函数的图像
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

问题:它们的图像还有什么特征?

y=sinx (x?R)

定义域 R 域 [ - 1, 1 ]

y=cosx (x?R)



练习:下列各等式能否成立?为什么? (1) 2cosx =3

(2) sin2x =0.5

求下列函数定义域 1 (1) y ? 1 ? sin x

(2) y ? cos x

解(1)∵1+sinx≠0
∴ x ? ?π ? 2k? (k ? Z ) 2 ? 即:定义域为{x | x≠ ? +2kπ k∈Z} 2 (2)∵cosx≥0 ? ? ∴ ? +2kπ ≤x≤ +2kπ 2 2 ? ? 即:定义域为{x | ? +2kπ ≤x≤ +2kπ k∈Z} 2 2 ∴sinx≠-1

1 练习.(3) y ? 1 ? cos x

(4) y ? ? 2 sin x

函数的奇偶性

若从正弦函数上任取一点 P( x, y ),即P( x,sin x) , ' ' P 其关于原点的对称点P (? x, ? y),即 (? x, ? sin x) ,由 诱导公式 sin( ? x) ? ? sin x知这个点也在正弦函数的 图像上。这说明什么?
y
1

P
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

这说明:将正弦函数曲线绕原点旋转180 度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。即正 弦函数关于原点对称。

y
1

分析: 设y ? cos x( x ? R) ,从余弦函数的图像上
任取一点P( x, y ),即P( x,cos x),其关于y轴的对称 点P' (? x, y),即P' (? x,cos x),由诱导公式 cos( ? x) ? cos x

?3? 5? ? 2

' P ?2? 3? ?? ?

2

? ? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么? 这说明若将余弦曲线延着 y轴折叠,y轴两旁 的部分能够互相重合 ,即余弦曲线关于y轴对称。

判断奇偶性
(1) y=-sin3x x∈ R

(2) y=|sinx|+|cosx| x∈R (3) y=1+sinx x∈R

解:(1)f(-x)=-sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x), 且f(x)的定义域关于原点对称,所以此函数是奇函数。 (2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x) 且f(x)的定义域关于原点对称,所以此函数是偶函数。

(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)
所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。

函数的单调性

函数 y ? f ( x)( x ? D), 若对于任意 x1、x2 ? B , ( B ? D) 且 x1 ? x2,都有: 1、f ( x1 ) ? f ( x2 ),则 f ( x) 在 B 上是单增函数;
2、f ( x1 ) ? f ( x2 ),则 f ( x) 在 B 上是单减函数;

函数的单调性反映了函数在一个区间上的 走向。
请认真观察正余弦函数的图像,看看其是 否具有这类性质?

正弦函数图像
??

y
1
?
?

?3? 5? ? 2

?2? 3?
2

? 2

O

?
2

?

从 y ? sin x的图像上可以看到函数具有什么特征? 5? 3? ? ? 3? 5? … … [? , ]、 [ , ] 上时, 当x在区间 [? ,? ]、
2 2 2 2 2 2

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。 7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? , ? ]、 [ , ]、 [ , ]… 当x在区间 … [? , ? ]、 上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。
2 2 2 2 2 2 2 2

2 都是增函数,其值从-1增大到1;

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z )

3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2

?

减函数,其值从1减小到-1。

余弦函数图像
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

从 y ? cos x的图像上可以看到函数具有什么特征?
[??,、 0] [?, 2? ][3? , 4? ]? 上时, 当x在区间 ?[?3? , ?2? ]、

曲线逐渐上升,cosα的值由 ? 1增大到 1 。
[0 ? ]、 [2?, 3? ]? 上时, 当x在区间 ?[?2? , ?? ]、,

曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

在每个闭区间[(2k ? 1)? , 2k? ]都是增函数,
其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? , (2k ? 1)? ] 上都是减函数,

其值从1减小到-1。
当x∈R时,即在整个定义域内并不单调,图像 时而上升,时而下降,存在规范的单调区间。由于 它们是周期函数,因此在考虑函数增减的问题时, 只要研究一个周期即可。

求使下列函数取得最大值自变量x的集合,并求最大值 (1) y=cosx+1 (x∈R) 解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合, 就是使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合 函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2

{x|x=2kπ,k∈Z}

(2)y=2sinx

(3)y=-2sinx

(2) y=sin2x (x∈R) 解:令z=2x,那么x∈R必须并且只需z∈R,且使 函数y=sinz,z∈R取得最大值的z的集合是



? {z|z= +2kπ ,k∈Z} 2 ? 得 2x=z= +2kπ 2

? x= +kπ 4

这就是说,使函数y=sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是

? {x|x= +kπ ,k∈Z} 4

函数y=sin2x,x∈R的最大值是1

不求值,判断下列各式的符号。
23? 17? 2、 cos( ? ) ? cos( ? ) 1、 sin( ? ) ? sin( ? ) 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的

?

?

解: 1、 ? ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 cos( ? ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数
4 5 3? ? 3? ? ? cos ? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 5 4 23? 17? ? cos(? ) ? cos(? )? 0 5 4

求下列函数的单调区间: y=3sin(2x解: 2k? ?
?
4

?

)

3? k? Z k? ? ? x ? k? ? 8 8 ? ? 3? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? Z 2 4 2
3? 7? k? ? ? x ? k? ? 8 8

2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

k? Z

?

k? Z
?
, k? ?

所以: 单调增区间为 单调减区间为

3? ] k? Z 8 8 3? 7? [k? ? , k? ? ] k? Z 8 8 [k? ?



结:
奇偶性 [? 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

函数

正弦函数 奇函数

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增

单调递减

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

在数学的天地里,重要 的不是我们知道什么,而 是我们怎么知道什么!

——毕达哥拉斯


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