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09级高三数学总复习讲义——不等式X


09 级高三数学总复习讲义——不等式的性质 级高三数学总复习讲义—— ——不等式的性质 知识清单: 1.不等式的性质: ⑴(对称性或反身性) a > b b < a ; ⑵(传递性) a > b,b > c a > c ; ⑶(可加性) a >ba+c >b+c,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a > b,c > d a + c > b + d
⑷(可乘性) a > b,c > 0 ac > bc; a > b,c < 0 ac < bc .

(正数同向可相乘) a > b > 0,c > d > 0 ac > bd
⑸(乘方法则) a > b > (n ∈ N) a n > b n > 0 0

⑹(开方法则) a > b > (n ∈ N , n ≥ 2) n a > n b > 0 0 ⑺(倒数法则) a > b,ab > 0

1 1 < a b

注意: 条件与结论间的对应关系,是“ ”符号还是“ ”符号;运用不等式性 质的关键是不等号方向的把握,条件与不等号方向是紧密相连的。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却 是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2.定理 1: a+b 如果 a,b∈{x|x 是正实数},那么 ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 注:该不等式可推出:当 a、b 为正数时,
a 2 +b 2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b

(当且仅当 a = b 时取“=”号)

即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 2.含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数) : ⑴ a 3 +b3 ≥ a 2b + ab 2 ⑵由 a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 +b 2 +c 2 ab ac bc) 可推出 a 3 +b 3 + c 3 ≥ 3abc ( a + b + c > 0等式即可成立 , a = b = c或a + b + c = 0时取等); ⑶如果 a,b,c∈{x|x 是正实数},那么 a + b + c ≥ 3 abc .
3

(当且仅当 a=b=c 时取“=”号) 3.绝对值不等式:
⑴ a b ≤ a b ≤ a + b (ab ≥ 0时,取等号) ⑵ a 1 +a 2 + a 3 ≤ a 1 + a 2 + a 3

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注:均值不等式可以用来求最值(积定和小,和定积大), 特别要注意条件的满足:一正、二定、三相等. 课前预习 1. (06 上海文,14)如果 a < 0, b > 0 ,那么,下列不等式中正确的是( )

1 1 (A) < ( B) a < b (C ) a 2 < b 2 (D) | a |>| b | a b ( 2. 06 江苏,8)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 ....

(A) | a b |≤| a c | + | b c | (C ) | a b | +
1 ≥2 ab

( B) a 2 +

1 a
2

≥a+

1 a

(D) a + 3 a + 1 ≤ a + 2 a

3. 2003 京春文,1)设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是 ( A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.

a b > d c


4. 1999 上海理,15)若 a<b<0,则下列结论中正确的命题是( ( A

1 1 1 1 均不能成立 > 和 > a b |a| |b|

B.

1 1 1 1 均不能成立 > 和 > a b b |a| |b|
1 1 1 1 > 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 b a b a a 1 1 1 1 > 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 |a| |b| b a


C.不等式

D.不等式

a 2 + b2 5. 06 浙江理,7) a>b>0”是“ab< ( “ ”的( 2

(B)必要而不充分条件 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 6. 1) 2001 京春)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( ( ( A.18 B.6 C.2 3 D.2 4 3



7. 2000 全国, ) a>b>1, = lg a lg b , = (lga+lgb) R=lg ( 7 若 P Q , (

1 2

a+b ) , 2

则(

) A.R<P<Q B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q

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09 级高三数学总复习讲义——不等式证明 知识清单: 一、常用的证明不等式的方法 1.比较法 比较法证明不等式的一般步骤:作差—变形—判断—结论;为了判断作差后 的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平 方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判断其正负。 2.综合法 利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不 等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法;利用某些已经 证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系是: A B1 B2 L Bn B ,及从已知 条件 A 出发,逐步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论 B 。 3.分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充 分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定 这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析 法。 注意: (1) “分析法”是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把 证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因” ; (2)综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探索证明的途径, 然后用综合法的形式写出证明过程。 二、不等式的解法 解不等式是求定义域、 值域、 参数的取值范围时的重要手段, “等式变形” 与 并列的“不等式的变形” ,是研究数学的基本手段之一。 高考试题中, 对解不等式有较高的要求, 近两年不等式知识占相当大的比例。 1.不等式同解变形 (1)同解不等式((1) f ( x ) > g ( x ) 与 f ( x ) + F ( x ) > g ( x ) + F ( x ) 同解; ( 2 ) m > 0,f ( x ) > g ( x ) 与 mf ( x ) > mg ( x ) 同 解 , m < 0,f ( x ) > g ( x ) 与
mf ( x ) < mg ( x ) 同解;

(3 )

f ( x) > 0 与 f ( x ) g ( x ) > 0 ( g ( x ) ≠ 0 同解) ; g( x)

2.一元一次不等式 解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基 础,必须熟练掌握,灵活应用。 (1)a > 0 ax > b 分 (2)a = 0 情况分别解之。 (3)a < 0
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3.一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) 或 ax 2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) 分 a > 0 及 a < 0 情况分 别解之,还要注意 = b 2 4ac 的三种情况,即 > 0 或 = 0 或 < 0 ,最好联系 二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: f ( x) g ( x) ≥ 0 f ( x) f ( x) >0 f(x)g(x)>0, ≥0 。 g ( x) g ( x) g ( x) ≠ 0

5.简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及 到绝对值不等式。高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法: ①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化 为一般不等式; ②等价变形: 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|<a x2<a2 -a<x<a(a>0), |x|>a x2>a2 x>a 或 x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x), |f(x)|>g(x) f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。 6.指数不等式

a f ( x) > a g( x)

(1) 当a > 1时,f ( x ) > g ( x ) ; (2) 当 0 < a < 1时,f ( x ) < g ( x ) ;
7.对数不等式

a b = N b = log a N

(a > 0,b > 0, log a m b n )
log a f ( x ) > log a g ( x )

n 1 log a b, log a b = 等, m log b a

g ( x) > 0 (1)当 a > 1 时, ; f ( x) > g( x) f ( x) > 0 (2)当 0 < a < 1 时, 。 f ( x) < g( x)
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8.线性规划 (1)平面区域 一 般 地 , 二 元 一 次 不 等 式 Ax + By + C > 0 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 Ax + By + C = 0 某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域 不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 Ax + By + C ≥ 0 所表示的平面区域 时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。 说明:由于直线 Ax + By + C = 0 同侧的所有点的坐标 ( x, y ) 代入 Ax + By + C , 得 到 实 数 符 号 都 相 同 , 所 以 只 需 在 直 线 某 一 侧 取 一 个 特 殊 点 ( x0 , y0 ) , 从 Ax0 + By0 + C 的正负即可判断 Ax + By + C > 0 表示直线哪一侧的平面区域。 特别地, 当 C ≠ 0 时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 y x =1 引例:设 z = 2 x + y ,式中变量 x, y 满足条件 C x 4 y ≤ 3 3x + 5 y ≤ 25 ,求 z 的最大值和最小值。 x ≥ 1 A x 4y + 3 = 0 由题意,变量 x, y 所满足的每个不等式都表示 一个平面区域, 不等式组则表示这些平面区域的公 共区域。由图知,原点 (0, 0) 不在公共区域内,当 x = 0, y = 0 时,z = 2 x + y = 0 , 即点 (0, 0) 在直线 l0 :
B
O

3x + 5y 25 = 0 x

2 x + y = 0 上,作一组平行于 l0 的直线 l : 2 x + y = t , t ∈ R ,可知:当 l 在 l0 的右

上方时,直线 l 上的点 ( x, y ) 满足 2 x + y > 0 ,即 t > 0 ,而且,直线 l 往右平移时, t 随之增大。 由图象可知,当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当 直 线 l 经 过 点 B (1,1) 时 , 对 应 的 t 最 小 , 所 以 , zmax = 2 × 5 + 2 = 12 , zmin = 2 × 1 + 1 = 3 。 在上述引例中,不等式组是一组对变量 x, y 的约束条件,这组约束条件都是 关于 x, y 的一次不等式, 所以又称为线性约束条件。z = 2 x + y 是要求最大值或最 小值所涉及的变量 x, y 的解析式,叫目标函数。又由于 z = 2 x + y 是 x, y 的一次解 析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称 为线性规划问题。满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成 的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其 中可行解 (5, 2) 和 (1,1) 分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问 题的最优解。 课前预习 1.已知 a>0,b>0,且 a+b=1
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求证







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(a+

1 1 25 )(b+ )≥ 。 a b 4

2. 06 上海理,12)三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax ( 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路。 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” ; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” ;
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丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” ; 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围 是 。

x 2 1 < 0 3. (2002 京皖春,1)不等式组 2 的解集是( x 3x < 0
A. {x|-1<x<1 } {x|0<x<1 } C. 4.不等式



B. {x|0<x<3 } D. {x|-1<x<3 } )

x 1 >0 的解集为( x3

A.{x|x<1} B.{x|x>3}C.{x|x<1 或 x>3} D.{x|1<x<3} 5.不等式(1+x) (1-|x|)>0 的解集是( ) A. {x|0≤x<1 } C. {x|-1<x<1 } B.{x|x<0 且 x≠-1 } D.{x|x<1 且 x≠-1 }

x > 0 6.不等式组 3 x 2 x 的解集是( 3 + x >| 2 + x |



A.{x|0<x<2 } B.{x|0<x<2.5 } C.{x|0<x< 6 } 7.不等式( ) x

D.{x|0<x<3 }

1 3

2

8

>3-2x 的解集是_____。 )

8.在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A.(

π
4



π
2

)∪(π,

5π ) 4

B.(

π
4

,π)

C.(

π
4



5π ) 4

D.(

π
4

,π)∪(

5π 3π , ) 4 2


2t x 1 , x < 2, 9. (06 山东理,3)设 f(x)= log t ( x 2 1), x ≥ 2,

则不等式 f(x)>2 的解集为(

(A)(1,2) ∪ (3,+∞) (C)(1,2) ∪ ( 10 ,+∞)

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)

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x y + 1 ≥ 0 10. (06 安徽,10)如果实数 x、y 满足条件 y + 1 ≥ 0 (1) , 那么 2x y 的最 x + y + 1 ≤ 0
大值为( A. 2 ) B.1 C. 2 D. 3

y≤x 11. 06 天津理, ) ( 3 设变量 x 、y 满足约束条件 x + y ≥ 2 , 则目标函数 z = 2 x + y y ≥ 3x 6
的最小值为(
A. 2


B. 3 C. 4 D. 9

12. 06 四川理,8)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 , b1 , (

生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2 , b2 千克,甲、乙产品每千克可 获利润分别为 d1 , d 2 元,月初一次性够进本月用原料 A, B 各 c1 , c2 千克,要计划本 月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大;在这个问题中, 设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克, y 千克,月利润总额为 z 元,那么, 用于求使总利润 z = d1 x + d 2 y 最大的数学模型中,约束条件为(
a1 x + a2 y ≥ c1 (A) b1 x + b2 y ≥ c2 x≥0 y≥0 a1 x + a2 y ≤ c1 (C) b1 x + b2 y ≤ c2 x≥0 y≥0
a1 x + b1 y ≤ c1 (B) a2 x + b2 y ≤ c2 x≥0 y≥0



a1 x + a2 y = c1 (D) b1 x + b2 y = c2 x≥0 y≥0

x + y 2 ≥ 0, 13. 06 浙江理,3)在平面直角坐标系中,不等式组 x y + 2 ≥ 0, 表示的平面 ( x ≤ 2
区域的面积是( 1 (A) 2 )

(B)

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

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x + y ≤ 4 14. (06 北京理,13)已知点 P(x,y)的坐标满足条件 y ≥ x, 点 O 为坐标 y ≥ 1,
原点,那么|PO |的最小值等于 ________ ,最大值等于 ________ 。 典型例题 EG1、已知 a > b > 0, c < 0 ,求证:
c c > . a b

变式 1: 1)如果 a < 0, b > 0 ,那么,下列不等式中正确的是( ( A.



1 1 < B. a < b C. a 2 < b 2 D.| a |>| b | a b 变式 2:设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是(



A.a+c>b+d

B.a-c>b-d

C.ac>bd

D.

a b > d c

EG2、 若关于 x 的一元二次方程 x 2 (m + 1) x m = 0 有两个不相等的实数根, m 求

的取值范围. 变式 1:解关于 x 的不等式 [(m + 3)x 1]( x + 1) > 0(m ∈ R)
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变式 2:设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M [1,4] ,求实数 a 的 取值范围?

y≤x EG3、求 z = 2 x + y 的最大值,使 x, y 满足约束条件 x + y ≤ 1 . y ≥ 1
变式 1:设动点坐标(x,y)满足(x-y+1) x+y-4)≥0,x≥3,则 x2+y2 的最 ( 小值为( )
A 5
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17 2

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x + y 2 ≤ 0 EG4、画出不等式组 x + y 4 ≤ 0 表示的平面区域. x 3y + 3 ≤ 0
变式 1:点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是______ 变式 2:求不等式|x-1|+|y-1|≤2 表示的平面区域的面积 EG5、 (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大? 1 变式 1:函数 y = m 2 + 2 的值域为 m +1
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变式 2:设 x≥0, y≥0,

x2 +

y2 =1,则 x 1 + y 2 的最大值为__ 2

EG6、已知集合 A = {x | x 2 x 6 < 0} , B = {x | x 2 + 2 x 8 < 0} ,求 A ∩ B .

变式 1:已知 A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2}, A∪B={x|x>-2} ,求 a、b 的值
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变式 2:解关于 x 的不等式 [(m + 3)x 1]( x + 1) > 0(m ∈ R)
EG7、求证: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

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变式 1:己知 a, b, c 都是正数,且 a, b, c 成等比数列, 求证: a 2 + b 2 + c 2 > (a b + c) 2 . 变式 2:若 0 < a < 1, 0 < b < 1, ,求证 ab 与 (1 a )(1 b) 不能都大于
1 4
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EG8、要制造一个无盖的盒子,形状为长方体,底宽为 2m。现有制盒材料 60m2, 当盒子的长、高各为多少时,盒子的体积最大?

变式 1:今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量, 只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实 重量,这种说法对吗?并说明你的结论 实战训练
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x 1 2 1(07全国2理科).不等式: x 4 >0的解集为() (A)( -2, 1) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (B) ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

x y ≥ 0, 2 x + y ≤ 2, 2. 07 北京理科 6)若不等式组 ( 表示的平面区域是一个三角形,则 a y ≥ 0, x + y ≤ a 的取值范围是( ) 4 4 4 A. a ≥ B. 0 < a ≤ 1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 < a ≤ 1 或 a ≥ 3 3 3 3. (07 北京理科 7)如果正数 a,b,c,d 满足 a + b = cd = 4 ,那么( ) A. ab ≤ c + d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B. ab ≥ c + d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c + d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c + d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一

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4. 07 北京理) ( 已知集合 A = { x | x a ≤ 1} , = x x 2 5 x + 4 ≥ 0 . A I B = , B 若
则实数 a 的取值范围是 . 5(07 上海理)已知 x, y ∈ R + ,且 x + 4 y = 1 ,则 x y 的最大值为 _____
6.(07 上海理)已知 a, b 为非零实数,且 a < b ,则下列命题成立的是( A、 a 2 < b 2 B、 a 2 b < ab 2 C、 )

{

}

1 1 < 2 2 ab ab

D、

b a < a b

7.(07 上海理)已知 f ( x ) 是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k ,
若 f ( k ) ≥ k 2 成立,则 f ( k + 1) ≥ ( k + 1) 成立,下列命题成立的是(
2



A、若 f ( 3) ≥ 9 成立,则对于任意 k ≥ 1 ,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立
B、若 f ( 4 ) ≥ 16 成立,则对于任意的 k ≥ 4 ,均有 f ( k ) < k 2 成立 C、若 f ( 7 ) ≥ 49 成立,则对于任意的 k < 7 ,均有 f ( k ) < k 2 成立 D、若 f ( 4 ) = 25 成立,则对于任意的 k ≥ 4 ,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立

x y ≥ 1 , 8(07 天津理)设变量 x,y 满足约束条件 x + y ≥1 则目标函数 z = 4 x + y 的最 , 3 x y < 3.
大值为( A. 4 ) B.11
C.12 D.14
b
c
a

1 1 9 07 天津理) a,b,c 均为正数, 2 = log 1 a , = log 1 b , = log 2 c . ( 设 且 则 2 2 2 2
( ) A. a < b < c

B. c < b < a

C. c < a < b

D. b < a < c

10. 07 浙江理) x > 1 ”是“ x 2 > x ”的 ( “
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

11. 07 浙江理)不等式 | 2 x 1| x < 1 的解集是_____________。 (

x 2 y + 5 ≥ 0 12. 07 浙江理科) m 为实数, ( x, y ) 3 x ≥ 0 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 25} , ( 设 若 mx + y ≥ 0 则 m 的取值范围是_____________。
( 13. 07 湖北理)3.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q= {x | x ∈ P, 且x Q} ,如
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果 P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么 P-Q 等于() A. {x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} (07 福建.“ x < 2 ”是“ x 2 x 6 < 0 ”的什么条件……( ) 14.
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要

D.{x|2≤x<3} )

D.既不充分也不必要 1 15. 07 福建)已知 f ( x) 是 R 上的减函数,则满足 f ( ) > f (1) 的实数 x 的取值 ( x 范围是( )

A. (∞,1) B. (1, +∞) C. (∞, 0) U (0,1) D. (∞, 0) U (1, +∞) 16. 07 广东) ( .已知集合 M={x|1+x>0},N={x|

>0},则 M∩N=(



A.{x|-1≤x<1 实战训练 B

B.{x|x>1}

C.{x|-1<x<1}


D.{x|x≥-1}

1. 07 湖南理) ( .不等式
A. (∞, 1) U ( 1, 2]

x2 ≤ 0 的解集是( x +1 B. [ 1, 2]

C. ( ∞, 1) U [2, ∞ ) +

D. ( 1, 2]

2. 湖南理) 设集合 A = {( x,y ) | y ≥| x 2 | ,x ≥ 0} ,B = {( x,y ) | y ≤ x + b} , (07 .

AI B = , (1) b 的取值范围是

; .

(2)若 ( x,y ) ∈ A I B ,且 x + 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

3. (07 福建理)已知集合 A={x | x < a} ,B={x |1 < x < 2} ,且 A U (R B ) = R , 则实数 a 的取值范围是() A. a ≤ 2 B. a<1

C. a ≥ 2

D.a>2 1 |) < f (1) 的实数 x 的取 x

4. 07 福建理)已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f (| (
值范围是( ) (-1,1) A.

B. 0,1) ( D. (- ∞ ,-1) U (1,+ ∞ )

C. (-1,0) U (0,1)

x + y ≥ 2 5.07 福建理) ( 已知实数 x、 满足 x y ≤ 2 , Z = 2 x y 的取值范围是______; y 则 0 ≤ y ≤ 3
6. 07 重庆理)命题“若 x 2 < 1 ,则 1 < x < 1 ”的逆否命题是( ( A.若 x 2 ≥ 1 ,则 x ≥ 1 或 x ≤ 1 C.若 x > 1 或 x < 1 ,则 x 2 > 1 B.若 1 < x < 1 ,则 x 2 < 1 D.若 x ≥ 1 或 x ≤ 1 ,则 x 2 ≥ 1
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7.07 重庆理) ( 若函数 f(x) =

2x

2

+ 2 ax a

1 的定义域为 R, a 的取值范围为_____. 则
1 < 2 x +1 < 4, x ∈ Z } 则 M I N = () 2

8. (07 山东理) .已知集合 M = {1,1} , N = {x |
(A) {1,1} (B) {1} (C) {0} (D) {1, 0}

9. 07 天津) 1)已知集合 S = { x ∈ R x + 1≥ 2} , T = {2, 1,1, ,则 S I T = ( ( 0,2}
A. {2} B. {1, 2} C. {0,2} 1, D. {1,1, 0,2}

10.(07 山东理)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ≠ 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直 线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则
1 2 + 的最小值为 m n

.

11.(07 安徽理)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1

B 12.07 安徽理 5) A = x ∈ Ζ 2 ≤ 2 2 x p 8 } , = {x ∈R log x x f 1 } , A ∩ (C R B) ( 若 则
的元素个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

{

13. (07 江苏 6)设函数 f ( x) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x = 1 对称,且 当 x ≥ 1 时, f ( x) = 3x 1 ,则有
1 3 2 2 3 1 A. f ( ) < f ( ) < f ( ) B. f ( ) < f ( ) < f ( ) 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 C. f ( ) < f ( ) < f ( ) D. f ( ) < f ( ) < f ( ) 3 3 2 2 3 3 14. 07 陕西理)给出如下三个命题:ZXXK.COM ( ①四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc;ZXXK.COM a b ②设 a,b∈R,则 ab≠0 若 <1,则 >1; b a

③若 f(x)=log 2 2x=x,则 f(|x|)是偶函数.其中不正确命题的序号是
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③Z

15. 07 全国 1)设 S = {x | 2 x + 1 > 0} , T = {x | 3 x 5 < 0} ,则 S I T = ( 5 1 5 C. { x | x > } D. { x | < x < } 3 2 3 xa 16. 07 北京 15)记关于 x 的不等式 ( < 0 的解集为 P ,不等式 x 1 ≤ 1 的解 x +1 A. 1 B. {x | x < } 2

( ( 集为 Q . I)若 a = 3 ,求 P ; II)若 Q P ,求正数 a 的取值范围.

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