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高一数学必修1


高一数学必修 1 函数的单调性和奇偶性的综合应用 数的图像关奇函于原点成点对称,偶函数的图像关于 y 轴成轴对称图形。 1、函数的单调性:应用:若 y ? f ( x) 是增函数, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 应用:若 y ? f ( x) 是减函数, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 练习:若 y ? f ( x) 是 R 上的减函数,则

f (1) 2、熟悉常见的函数的单调性: y ? kx ? b 、 y ? 练习:若 f ( x) ? ax , g ( x ) ? ?

x2 x2

f ( a2 ? 2 a ? 2)
k 、 y ? ax2 ? bx ? c x

b 在 (??, 0) 上都是减函数,则 f ( x) ? ax2 ? bx 在 (0, ??) 上 x

是 函数(增、减) 3、函数的奇偶性:定义域关于原点对称, f (? x) ? f ( x)

? f ( x) 是偶函数 定义域关于原点对称, f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x ) 是奇函数
2

练习: (1)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4a ? 求 a 、b

1 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的奇函数,且 f (1) ? 5 , b


2 (2)若 f ( x) ? ( K ? 2) x ? ( K ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是

(3)若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) ?



(4)函数 y ? f ( x) 的奇偶性如下:画出函数在另一半区间的大致图像

奇函数 y

偶函数 y

奇函数 y

奇函数 y

o

x

o

x

o

x

o

x

4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型 1 转换区间】 练习: (1) 根据函数的图像说明, 若偶函数 y ? f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数, 则 f ( x ) 在 (0, ??) 上是 函数(增、减) (2) 已知 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (1 ? x) x ,则当 x ? 0 时, ( x ) ?

(3)R 上的偶函数在 (0, ??) 上是减函数, f ( ? )

(4)设 f ( x ) 为定义在 ( (??, ??) 上的偶函数, 且 f ( x ) 在 [0, ??) 为增函数, 则 f (?2) 、f (?? ) 、

3 4

f ( a2 ? a ? 1)
B. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) )

f (3) 的大小顺序是(

)A. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C. f (?? ) ? f (3) ? f (?2)

(5)如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上的最小值是 5,那么 f ( x ) 在区间 [?7, ?3] 上( A. 最小值是 5 B. 最小值是-5 C. 最大值是-5 D. 最大值是 5

(6)如果偶函数 f ( x ) 在 [3, 7] 上是增函数,且最小值是-5那么 f ( x ) 在 [?7, ?3] 上是(

)

A.增函数最小值为-5B.增函数最大值为-5C.减函数最小值为-5D.减函数最大值为-5 (7) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??, 0) 上 f ( x ) 是单调增函数,那么当

x1 ? 0 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 0 时,有(
A. f (? x1 ) ? f (? x2 )



B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D. 不确定

(8)如果 f ( x ) 是奇函数,而且在开区间 (??, 0) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,那么 x ? f ( x) ? 0 的解是( )A. ? 2 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 C. x ? ?2 或 0 ? x ? 2 B. ? 2 ? x ? 0 或 x ? 2 D. x ? ?3 或 x ? 3

x ? 0 , x2 ? 0 , (9) 已知函数 f ( x ) 为偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 单调递增,对于 1
有 A.

| x1 |?| x2 | ,则(



f (? x1 ) ? f (? x2 ) B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D. | f (? x1 ) |?| f (? x2 ) |

5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型 2 利用单调性解不等式】 相关练习:(1)已知 y ? f ( x) 是 (?3,3) 上的减函数,解不等式 f ( x ? 3) ? f (2 ? x)

(2)定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x ) 是减函数,且满足条件 f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ,求 a 的取 值范围。

(3) 函 数 y ? f ( x) 是 [?2, 2] 上 的 偶 函 数 , 当 x ? [0, 2] 时 , f ( x ) 是 减 函 数 , 解 不 等 式

f (1 ? x) ? f ( x) 。

(4)已知 f ( x ) 是定义在 (?1,1) 的偶函数,且在 (0,1) 上为增函数,若 f (a ? 2) ? f (3 ? a) , 求a 的取值范围。 (5)已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数且是增函数,解不等式 f (?4 x ? 5) ? 0 。

(6) f ( x ) 是 定 义 在 (0, ??) 上 的 增 函 数 , 且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) 。 ① 求 f (1) 的 值 ; ② 若

x y

1 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 。 3

8 ) 3 ? , (7)R 上的增函数满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , 且 f( 解不等式 f (2) ? f ( x ? 2) ≥ 6 。
思考题: 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x 、 y 恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,且当 x ? 0 时,

?

2 f ( x) ? 0 ,又 f (1) ? ? 。 3 (1) 求 f (0) ; (2)求证 f ( x ) 为奇函数; (3)求证 f ( x ) 为 R 上的减函数; (4)求 f ( x ) 在 [?3, 6] 上的最小值与最大值;

补充:函数 f ( x ) 对任意的 m 、 n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 1 。(1)求证: f ( x) 在 R 上是增函数;(2)若 f (3) ? 4 ,求解不等式 f (a2 ? a ? 5) ? 2 。


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