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2014年高中数学复习方略课时作业:6.6直接证明与间接证明(人教A版·数学理·浙江专用)]


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课时提升作业(三十八)
一、选择题 1.(2013·湖州模拟)在证明命题“对于任意角θ ,cos4θ -sin4θ =cos2 θ ”的过程:“cos4θ -sin4θ =(cos2θ +sin2θ )·(cos2θ -sin2θ )=cos2 θ -sin2θ =cos2θ ”中应用了 ( (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法 2.要证明 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 ( (A)2ab-1-a2b2≤0 (C) -1-a2b2≤0 ) ) ≤0 )

(B)a2+b2-1-

(D)(a2-1)(b2-1)≥0

3.如果 a<0,b<0,则必有 ( (A)a3+b3≥ab2+a2b (B)a3+b3≤ab2+a2b (C)a3+b3>ab2+a2b (D)a3+b3<ab2+a2b 4.若实数 a,b 满足 a+b<0,则 ( (A)a,b 都小于 0

)

(B)a,b 都大于 0 (C)a,b 中至少有一个大于 0 (D)a,b 中至少有一个小于 0 5.(2013·宁波模拟)设 a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则 a 与 b 的大小关系为 ( ) (B)a<b (C)a=b (D)a≤b

(A)a>b

6.(2013·郑州模拟)若|loga |=loga ,|logba|=-logba,则 a,b 满足的条 件 是 ( ) (B)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1

(A)a>1,b>1 (C)a>1,0<b<1

7.已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数 列,a3>0,则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值 ( (A)恒为正数 (C)恒为 0 )

(B)恒为负数 (D)可正可负 ( )

8.已知 a,b,c 都是负数,则三数 a+ ,b+ ,c+ (A)都不大于-2 (C)至少有一个不大于-2 二、填空题 9.(2013·石家庄模拟)如果 a +b >a +b 是 .

(B)都不小于-2 (D)至少有一个不小于-2

,则 a,b 应满足的条件

10.(2013· 温州模拟)已知 a,b 是不相等的正数,x=

,y=

,则 x,y

的大小关系是

.

11.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的 m,n∈N*都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有 . .

12.设 P= ,Q= - ,R= - ,则 P,Q,R 的大小顺序是 三、解答题

13.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至少 有一个是负数. 14.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子 的值都等于同一个常数. (1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°. (2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°. (3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°. (4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°. (5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的 结论. 15.(1)求证:当 a>1 时,不等式 a3+ >a2+ 成立. (2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条

件,并简述理由;若不能,也请说明理由. (3)请你根据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,且予以证明.

答案解析
1.【解析】选 B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 2.【解析】选 D.a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 3.【解析】选 B.(a3+b3)-(ab2+a2b) =(a3-ab2)-(a2b-b3) =a(a2-b2)-b(a2-b2) =(a2-b2)(a-b) =(a-b)2(a+b), 由于 a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0, 于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0, 故 a3+b3≤ab2+a2b. 4.【解析】选 D.假设 a,b 都不小于 0,即 a≥0,b≥0,则 a+b≥0,这与 a+b<0 相矛盾,因此假设错误,即 a,b 中至少有一个小于 0. 5.【解析】选 A.∵a=lg2+lg5=lg10=1,而 b=ex<e0=1,故 a>b. 6.【思路点拨】先利用|m|=m,则 m≥0,|m|=-m,则 m≤0,将条件进行化 简,然后利用对数函数的单调性即可求出 a 和 b 的范围. 【解析】选 B.∵|loga |=loga , ∴loga ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1.

∵|logba|=-logba, ∴logba≤0=logb1,但 b≠1,所以根据对数函数的单调性可知 b>1. 7. 【思路点拨】 利用奇函数的性质 f(0)=0 以及等差数列的性质 a1+a5=2a3, 关键判断 f(a1)+f(a5)>0. 【解析】选 A.由于 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,且 a3>0,所以 f(a3)>f(0)=0. 而 a1+a5=2a3,所以 a1+a5>0,则 a1>-a5, 于是 f(a1)>f(-a5),即 f(a1)>-f(a5), 因此 f(a1)+f(a5)>0, 所以有 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0. 8.【解析】选 C.假设三个数都大于-2, 即 a+ >-2,b+ >-2,c+ >-2,则得到 (a+ )+(b+ )+(c+ )>-6. 而 a,b,c 都是负数, 所以(a+ )+(b+ )+(c+ ) =(a+ )+(b+ )+(c+ ) ≤-2 =-6, 这与(a+ )+(b+ )+(c+ )>-6 矛盾,因此三个数中至少有一个不大于-2. 【变式备选】 证明:若正数 a,b,c 满足 abc>8,则 a,b,c 中至少有一个大 于 2. 【解析】 假设 a,b,c 都不大于 2,即 0<a≤2,0<b≤2,0<c≤2,所以 0<abc -2 -2

≤8,这与 abc>8 矛盾,因此 a,b,c 中至少有一个大于 2. 9.【解析】a +b >a +b ?( - )2( + )>0?a≥0,b≥0,且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 10.【解析】由于 x2= ,y2=a+b= ,2 <a+b,

所以 x2<y2,又 x>0,y>0,所以 x<y. 答案:x<y 11.【解析】在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 则 f(1,5)=f(1,4)+2=…=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③ 12.【解析】∵P= ,Q= ,R= ,

而2 < + < + , ∴ 故 > > > > , ,

即 P>R>Q. 答案:P>R>Q 13.【证明】假设 a,b,c,d 都是非负数,因为 a+b=c+d=1, 所以 a,b,c,d∈[0,1],

所以 ac≤

≤ +

,bd≤ =1,



,

所以 ac+bd≤

这与已知 ac+bd>1 相矛盾,所以原假设不成立,即证得 a,b,c,d 中至少 有一个是负数. 14.【解析】①选择(2)式计算如下 sin215°+cos215°sin 15°cos 15°=1- sin 30°= . ②三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)= . 证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+ sin30°sinα) =sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2αsinαcosα- sin2α = sin2α+ cos2α= . 15. 【解析】 (1)a3+ -a2- = (a-1)(a5-1),因为 a>1,所以 (a-1)(a5-1)>0, 故原不等式成立. (2)能将条件“a>1”适当放宽.理由如下:由于 a-1 与 a5-1 对于任意的 a>0 且 a≠1 都保持同号,所以上述不等式对任何 a>0 且 a≠1 都成立, 故条件可以放宽为 a>0 且 a≠1. (3)根据(1)(2)的证明,可推知: 若 a>0 且 a≠1,m>n>0, 则有 am+ >an+ . 证明如下:

am-an+ - =an(am-n-1)- (am-n-1) = (am-n-1)(am+n-1), 若 a>1,则由 m>n>0 得 am-n-1>0,am+n-1>0,知不等式成立; 若 0<a<1,则由 m>n>0 得 am-n-1<0,am+n-1<0 知不等式成立.

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