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不等式中恒成立问题的求解策略


不等式中恒成立问题的求解策略 不等式中恒成立问题是高中学习常见的问题 ,而含参数的不等式“恒成立”问 题是各级各类考试中常见的题型之一。由于这类问题难度大,不容易理清头绪,解 决这类问题主要是运用化归与转化的数学思想,借助函数不等式的性质予以求解, 下面介绍几种求解此类问题的策略。 1 判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于 二次函数,有 1) 对 恒成立 2) 对恒成立 例 1.已知函数的定义域为 R,求实数的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式对恒成立,即有 解得。 所以实数的取值范围为。 2 最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有 或,则恒成立的最大值; 恒成立的最小值。 例 2.若函数,时恒成立,则实数 a 的取值 范围是________。 分析:由于 x>0,所以可以将问题转化为对恒成立。 令,则只要求 g(x)在 上的最小值即可。 由可知 g(x)在上为减函数,故 g(x)在上的最小值为 g(4)=0,所以 a<0,即 a 的取 值范围为。 3 分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题 转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它 思路更清晰,操作性更强。一般地有: 1) 恒成立 2)恒成立 例 3.已知函数,时恒成立,求实数的取值范围。 解:将问题转化对恒成立。 令,则 由可知在上为减函数,故 ∴a<0 即的取值范围为。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 4 数形结合法 数学家华罗庚曾说过 :“数缺形时少直观 , 形缺数时难入微”, 这充分说明了数 形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数 图象和不等式有着密切的联系: 1)函数图象恒在函数图象上方; 2)函数图象恒在函数图象下上方。 例 4:设,,若恒有成立,求实数的取值范围。 分析:在同一直角坐标系中作出及的图象 如图所示,的图象是半圆 的图象是平行的直线系。 要使恒成立, 则圆心到直线的距离 满足 解得(舍去) 由上可见 ,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多 , 方法也多种多样 ,但其 核心思想还是等价转化 ,抓住了这点 , 才能以“不变应万变”, 当然这需要我们不断 的去领悟、体会和总结。

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