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高三奥数


第一届“月生杯”全国网络数学邀请赛
(高三组·全国 I、II 合卷) 试题由全国高中数学竞赛群命制,2010 年 7 月 10 日中午 12:00 前绝密。 命题组长:Cindy (714318462) 审题过程由中国网络数学会负责完成 试卷说明 :本试卷共 30 题,满分为 600 分,在试卷评审过程中,经过多位专家以及部分一线教 师严格推敲后对题目设置以及卷型做出改

进,故与 2010 年 6 月 19 日发布的竞赛说明稍有出入, 但总体难度稳定,区分度高、指导性强。 答题需知:成功下载试题后即可作答,请将答案填在另一份附件答题卡中,并将答题卡于 2010 年 7 月 17 日下午 6:00 前发送至邮箱 691601752@qq.com. 或 tyjty111@sohu.com.中。答卷递交 时间先后会作为同分评奖的影响因素。

中国网络数学会携手全国高中数学竞赛群、数联天地论坛、数学之家论坛以及 各承办方预祝各位数学爱好者圆满发挥,享受数学之美!
一、 选择题 (每题 15 分): 1、 A∪B = A∪C 的必要条件是 ( )

A. B = C 2、对 x

B.A

=A

C. B

=C )

D.A

=A

R, 设 f(x) = min { 4x+1 , x+2 , -2x+4}, 则 f(x)max = ( B. C.

A.

D.

3、设

是钝角三角形的内角,则



的关系是

A.

B.

C

D.不能确定

4、x = A. (-2, -1)

的值域属于区间 ( ) B. (1, 2) C. (-3, -2) D. (2, 3)

5、设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点, 所对应的复数依次为 Z1 , Z1 , … ,Z20 .则复数 所对应的不同的点的个数是 ( )

,

,…,

A. 4

B. 5

C. 10
1

D. 20

6、若复数 Z 满足|Z+2|2+ |Z- 4i|2 = 12 , 则复平面内 Z 对应的点的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线

7、 在四面体 ABCD 中, AB = 1, CD = 设

, 直线 AB 与 CD 的距离为 2, 夹角为 , 则四面体 ABCD 的体积为 ( )

A.

B.

C.

D.

8、设三位数 ( )

,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 的个数为

A. 45

B. 81

C. 165

D. 216

9、设圆 C 的半径为 r,圆心( A. 0 个 10、整数 [ B. 1 个

,

), r 是正实数, 则圆 C 上整点个数最多有 ( ) C. 4 个 D. 无穷多个

的末尾两位数字是 ( )

A. 10

B. 01

C. 00

D. 20

二、 填空题(每题 20 分) :

11、集合{[

],[

],… ,[

]}中含有元素个数为_______.

12、函数 y =

的值域为_________.

13、点(o, 1)到曲线 y = x2 - x 的最短距离为_________. 14、设 S = , 且 S 中任意两个数之和不能被 7 整除,则 n 的最大值为________.

15、设给定整数列{an} 满足 an = an-1 -an-2 则前 2001 项的和为_______.

(n 3) . 已知前 1492 项的和为 1985,而前 1985 项的和是 1492,

16、已知二次函数的图像与 x 轴的两交点距离为 2,若将图像沿 y 轴方向向上平移 3 个单位,则图像恰好过原 点,且与 x 轴两交点的距离为 4,则原二次函数的解析式为_______.

2

17、由平面 M 外一点 P 向 M 任意引出的两条射线 PA, PB 所夹的角是 ( 的角是 ( ),那么 与 之间的大小关系是 _____

),两条射线在 M 内的射影所夹

(填“ ”“ ”或“=”). 、

18、平行六面体交于同一顶点的三条棱两两成 60 角, 它们的长度都是 a , 则平行六面体的体积为_______.

19、设 p 是给定的奇质数, 若正整数 k 使得
2006

也是一个整数, 则 k = _______.

20、方程(x

+1)(1+x2+x4+…+x2004) = 2006x2005 的实数解的个数为_______.

三、解答题(每题 25 分) : 21、设
0 n

(n = 1,2, …) , 求证

.

22、化简:

sin (α + θ) + … +(-1)n

.

23、设凸四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 E , 求证:

E 关于 AB , BC , DA 的对称点共圆.

24、已知 A (x1, y1) , B (x2, y2)是椭圆 AB 的长的最小值.

=1(

)上的两个动点, O 为坐标原点, 且 OA

OB. 求线段

25、 如图, 在

中, 从顶点 B , C 向对边所作垂线交点记为 H. 设?HBC、 ?HCA、 ?HAB 的外心分别为 O1 , O2 , O3 .

(I)令

,

,

,

, 求证: 2

(II)求证: 点 H 为? O1 O2 O3 的外心. (25 题图)

3

26、设 n 是给定的正整数, n 3 , 对 n 个给定的实数 a1 , a2 , … , an , 记| ai – aj| ( 求当 … 时 m 的最大值 .

) 的最小值为 m,

27、求证 n 是正奇数时, 6 -3 -2 -1 能被 60 整除 .

n

n

n

28、已知 l1 , l2 是过点(和 A2 , B 2 .

, 0)的两条相互垂直的直线, 且 l1 , l2 与双曲线 x2 - y2 = 1 各有两个交点, 分别为 A1 , B1

(I)求 l1 得斜率 k1 的取值范围. (II)若| A1 B1| = | A2B2|,求 l1 , l2 的方程

29、 个女孩和 21 个男孩参加一次数学竞赛,每个参赛者至多解出了 6 道题, 对于每一个女孩和每一个男孩, 至 21 少有一道题被这一对孩子都解出. 证明: 有一道题, 至少有 3 个女孩和至少 3 个男孩都解出.

30、已知无穷数列{an}满足 a0 = x , a1 = y , an+1 =

,n=1,2,…
n0 时 恒为常数?

(I) 对于怎样的实数 x 与 y , 总存在正整数 n0 , 使当 n (II) 求通项 .

(附注:1、解答题可以用手写然后用相机拍下粘贴在答题纸上上传。2、初中和高一年级试卷相同,但是评奖 过程两者分别处理。3、每位选手完成作答后,可在答题卡最后附上下列内容,参与“月生之星”评选活动。 参选内容需包含,生活近照一张,自我介绍一篇。竞赛成绩将作为一项重要评选指标。此外,欢迎广大数学爱 好者参与“月生杯”委员会主办的征文活动:我与数学不得不说的故事,与大家分享你对数学的热爱和你在数 学征途中的心路历程,采撷一份份心灵的悸动,拾起一串串美妙的回忆。文体、字数不做要求。详情请登录数 联天地论坛以及数学之家论坛留意并参看后续信息。 )
4

鸣谢:数学之家论坛、数联天地论坛、数学 Crazy(59659554) 、高中数学(23499175) 、风雨习题研究群 (16449932) 、数学精英团(68836032) 、最爱数学-数联天地(20641177) 、数学之家★总部(57612654) 、数 学之家★四维空间(27153311) 、数学之家★数理之城(69957524)(不分先后) 。

后记:也许我们所做的还很不够,也许我们的力量还很微弱,但是我们为着每个数学爱好者因参与“月生杯” 竞赛而焕发出对数学的学习热情而由衷欣慰。你们的进步牵动着我们的心,纵使一切困难像山脚下的巨石挡住 成功的必由之路,我们也会同大家一道去做那永不放弃的西绪弗斯,把困难的巨石一步一步推上顶峰!

咨询邮件请寄至:691601752@qq.com. 或 tyjty111@sohu.com. 联系人 QQ:691601752 垂询电话:13756942640 或 13578874596

2010 年 6 月 27 日 中国网络数学会 “月生杯”邀请赛委员会

版权归中国网络数学会所有,未经赛题命制组、中国网络数学会以及“月生杯”邀请赛委员会允许不得转载。

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