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对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨


2010年第3期

考试周刊

对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨




(泰兴市第三高级中学。江苏泰兴225400) 摘 要:本文作者结合教学实践,重点研究了对数函数 与指数函数的图像的交点个数的相关问题。希望能对改进相关 教学工作有所帮助。 关键词:对数函数指数函数图像交点个数 教材上有这样一个思考题:一般的,当a>O。a≠l时,函数 y--a‘与y=log.x的图像有什么关系? 根据教材上给出的图形,容易知道它们关于直线y=x对 称。那么。它们的交点有几个呢?很多资料上都没能正确回答 这个问题。例如,在南京师范大学主办的《数学之友)2005版第 18页有这样一道题。 )。 已知O<a<l,方程矗“=Ilog-xl的实根个数是( A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个 该书给出的答案是B,如图一。这样解答正确吗?


.-.Xo=a、匕,又由a≮得脚。。
、 ?。



2a=e,义田=e僭a=e。

由于函数y=a。-与y=logx(a>O,a≠1)的图像关于直线y=x对


称,故当糍。时,函数y:a‘与y=lo岛x的图像与直线y=x相切于同
一点P(e,e)。 根据以上分析,我们知道:


当a>e。时,函数y=a。与y=lo&x的图像有O个交点。


当a_e。时,函数y=aI与y=lo邑x的图像有1个交点。


当l<a<e。时,函数y=aI与y=logax的图像有2个交点。
2.O<a<1



L。
0 1

,函数y=aI与y=loglx的图像交点是1个或3个。

下面,我们求函数y=aI,y=log.x(O<a<I)的图像有一个交点 的“临界状态”时的a的值。 如图五,设函数y-aI,y=log.x(O<a<1)与直线y≈相交于点P (xo,】【0),此时,函数y=al,y=log x(O<a<1)在点P(xo,】【o)处有相同 的切线。



图一 要解决这个问题,我们必须将函数y=a^与y=loglx(a>o,a≠ 1)的交点个数搞清楚。

?.‘(aI)’=aI?lna,(109Ix)’=÷,
xlnx

1.当8>1时,函数yi与y-lo&x的图像交点是阶或1个或2个。

...,.1n筘jl一,
】【o山a’


点。且都与直线y---x㈣共点。当底数a逐渐减小(a>1)时,函


教材上给出Ty=2‘并gly=log,x的图像,如图二,它们没有交

??葛D_a,

型ty=a4 y=log。x图像与直线y=x逐渐“接近”,然后相切,相交 (用几何画板可以清楚地看出这一点)。


???讪a一士,
.?.,【o?Ina=-1(xo?Ina=l舍去)。

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图二

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图三



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图四


又自lo㈣得鲁碣,
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图五

根据以上分析。我们知道; 当e1≤a<l时,函数y=aI与y=lo&x的图像有1个交点。 当O<a<e’时,函数y=a1与y.109.x的图像有3个交点。 回到本文开始提出的问题,当O<a<l时,方程a4。=log。xI在 区间(0,1)内的实根个数是1个或3个,在区间[1,+∞)内的实 根个数为1个。所以0<a<1时,方程a“=llog.xI的实根个数应是2 个或4个。 参考文献: 11]单土尊.普通高中课程标准实验教科书?数学l(必修). 江苏教育出版社。2007.6.

下面,我们求a>l时,函数y=f与y=蛔瞪的图像仅有一个交
点时a的值。 如图三,此时,设函数y=a。的图像与直线y=x相切于点
P(xo,Yo),

?.。(aI)’=al?lna

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健≯

对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 宗敏 泰兴市第三高级中学,江苏,泰兴,225400 考试周刊 KAOSHI ZHOUKAN 2010(3)

参考文献(1条) 1.单土尊 普通高中课程标准实验教科书·数学1(必修) 2007

本文读者也读过(10条) 1. 黄俊明 关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题[期刊论文]-凯里学院学报2007,25(6) 2. 高焕江.GAO Huan-jiang 指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论文]-红河学院学报2010,08(2) 3. 江雪梅 数与形的统一在高中数学中的应用[期刊论文]-教育教学论坛2010(18) 4. 宋英龙.黄水瑛.言立 互为反函数的指对数函数交点个数的讨论[期刊论文]-科技创新导报2009(21) 5. 高瑞平.何尚琴.马会泉.肖淬艺 关于复变函数中对数函数性质的一个标注[期刊论文]-科教导刊2009(17) 6. 薛利敏.田亚丽 再谈"函数y=3logax(a>0,a≠1)是不是对数函数"[期刊论文]-中学数学杂志(高中版)2010(3) 7. 文萍 对数函数教材比较研究[期刊论文]-课程教材教学研究(中教研究)2009(7) 8. 吴娅娟.周玛莉.WU Ya-juan.ZHOU Ma-li 发散级数的"求和"问题[期刊论文]-东华理工学院学报(社会科学版) 2005,24(1) 9. 张由涛 对数及对数函数解法例析[期刊论文]-中学生数理化(高一版)2010(7) 10. 郑铮 新课改下对数函数及其性质的教学思考[期刊论文]-河北企业2010(3)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk201003064.aspx


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