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1.2.1-2空间几何体的直观图


1.2.3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图

问题提出

1.把一本书正面放置, 1.把一本书正面放置,其视觉效果 把一本书正面放置 是一个矩形;把一本书水平放置, 是一个矩形;把一本书水平放置,其视 觉效果还是一个矩形吗? 觉效果还是一个矩形吗?这涉及水平放 置的平面图形的画法问题. 置的平面图形的画法问题. 2.对于柱体、锥体、 2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 对于柱体 合体, 合体,在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感? 的立体感?这涉及空间几何体的直观图 的画法问题. 的画法问题.

知识探究( 知识探究(一):水平放置的平面图形的画法 水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置, 思考1:把一个矩形水平放置,从适当的 1:把一个矩形水平放置 角度观察,给人以平行四边形的感觉, 角度观察,给人以平行四边形的感觉, 如图.比较两图, 如图.比较两图,其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化? 置关系、数量关系发生了变化?哪些没 有发生变化? 有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 2: 观图如下,比较两图, 观图如下,比较两图,其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化? 间的位置关系、数量关系发生了变化? 哪些没有发生变化? 哪些没有发生变化?

思考3:画一个水平放置的平面图形的直 思考3:画一个水平放置的平面图形的直 3: 观图, 观图,关键是确定直观图中各顶点的位 置,我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作? 直观图时应如何操作?
y D C D′ A B x A′ y′ C′

B′

x′

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图

(1 ) 在 六 边 形 ABCDEF 中 , 取 AD所 在 的 直 线 为 X轴 ,
对 称 轴 MN所 在 直 线 为 Y轴 ,两 轴 交 于 点 O。 画 相 应 的 X ′轴 和 Y ′轴 , 两 轴 相 交 于 点 O ′,使 ∠ x ′Oy ′=45 o
y

F

M

E

y′

A
B

O

D

x

O′

x′

N C

( 2 )以 O ′为 中 心 , 在 X ′上 取 A ′D ′= A D , 在 y ′轴 上 取
1 M ′N ′= M N .以 点 N ′为 中 心 , 画 B ′ C ′ 平 行 于 x ′ 轴 , 2 并 且 等 于 B C ; 再 以 M ′为 中 心 , 画 E ′F ′平 行 于 x ′ 轴 , 并 且 等 于 EF.
y

F

M

E D
A′

y′

A
B

F ′ M ′ E′
N′

O

x

B′

O′

D′

C′

x′

N C

( 3) 连接A′B′,C′D′,E′F′,F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′

y

F

M

E D
A′

y′

A
B

F ′ M ′ E′
N′

O

x

B′

O′

D′

C′

x′

N C

( 3) 连接A′B′,C′D′,E′F′,F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′

y

F

M

E D
A′

A
B

F′
C′

E′

O

x

D′

B′

N C

例1、用斜二测画法画出下图所示的水平放 、 置的△ 的直观图. 置的△ABC的直观图 的直观图
y A y` A` D o B E x D` o` B` C` C E` x`

例1、用斜二测画法画出下图所示的水平放 、 置的△ 的直观图. 置的△ABC的直观图 的直观图
y A A` o x

B

B` C`

C

思考4:你能用上述方法画水平放置的正 思考4:你能用上述方法画水平放置的正 4: 五边形的直观图吗? 五边形的直观图吗?
y A A` E o B x D` D F C F` E` o` C` B` x` y`

思考4:你能用上述方法画水平放置的正 思考4:你能用上述方法画水平放置的正 4: 五边形的直观图吗? 五边形的直观图吗?
y A A` E o B x D` D C C` E` B`

思考5:上述画水平放置的平面图形的直 思考5:上述画水平放置的平面图形的直 5: 斜二测画法, 观图的方法叫做斜二测画法 观图的方法叫做斜二测画法,你能概括 出斜二测画法的基本步骤和规则吗? 出斜二测画法的基本步骤和规则吗? (1)建坐标系,定水平面; 建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; 与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半. 水平线段等长,竖直线段减半.

练.用斜二测法画水平放置的圆的直观图. 用斜二测法画水平放置的圆的直观图

y y` o x o` x`

练.用斜二测法画水平放置的圆的直观图. 用斜二测法画水平放置的圆的直观图

y y` o x o` x`

常用的一些空间图形的平面画法

知识探究( ):空间几何体的直观图的画法 知识探究(二):空间几何体的直观图的画法 探究

思考1:对于柱、 思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 1:对于柱 图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面, 个底面,我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置? 面外的点的位置?
z y

o

x

用斜二测画法画长,宽 高分别是 高分别是4cm,3cm, 例. 用斜二测画法画长 宽,高分别是 , 2cm的长方体 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图 的直观图. 的长方体 的直观图
(1)画轴. (1)画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O, 画轴 三轴交于点O 使∠xOy=45°,∠xOz=90°. ∠xOy=45° ∠xOz=90°
z y

O

x

用斜二测画法画长,宽 高分别是 高分别是4cm,3cm, 例. 用斜二测画法画长 宽,高分别是 , 2cm的长方体 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图 的直观图. 的长方体 的直观图
(2)画底面,在x轴上取线段 ,使AB= 4 cm.在y轴 画底面, 轴上取线段AB, 画底面 轴上取线段 在 轴 上取线段AD,使AD= 1.5 cm,分别过点 和B作x轴和 轴和y 上取线段 使 ,分别过点D和 作 轴和 轴的平行线交于 C点,四边形 点 四边形ABCD就是长方形的底 就是长方形的底 面ABCD
z y

D
O

C

A

Bx

用斜二测画法画长,宽 高分别是 高分别是4cm,3cm, 例. 用斜二测画法画长 宽,高分别是 , 2cm的长方体 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图 的直观图. 的长方体 的直观图

(3) 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
z

D′

C′
y

A′
D
O

B′

C

A

Bx

用斜二测画法画长,宽 高分别是 高分别是4cm,3cm, 例. 用斜二测画法画长 宽,高分别是 , 2cm的长方体 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图 的直观图. 的长方体 的直观图

( 4 ) 成 图 .顺 次 连 接 A ′, B ′,C ′,D ′, 并 加 以 整 理
就可得到长方体的直观图.
z

(去 掉 辅 助 线 , 将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ) ,
D′

C′
y

A′
D
O

B′

C

A

Bx

用斜二测画法画长,宽 高分别是 高分别是4cm,3cm, 例. 用斜二测画法画长 宽,高分别是 , 2cm的长方体 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图 的直观图. 的长方体 的直观图

( 4 ) 成 图 .顺 次 连 接 A ′, B ′,C ′,D ′, 并 加 以 整 理
就可得到长方体的直观图.
D′

(去 掉 辅 助 线 , 将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ) ,
C′
B′
C

A′
D

A

B

思考3:怎样画底面是正三角形, 思考3:怎样画底面是正三角形,且顶点 3:怎样画底面是正三角形 在底面上的投影是底面中心的三棱锥? 在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
C z S C A B
M

y

A

o S

B

x

C A B

思考4:画棱柱、 思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 4:画棱柱 几个步骤进行? 几个步骤进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图

练.用斜二测法画水平放置的球的直观图. 用斜二测法画水平放置的球的直观图

y

z y`

o

x

o`

x`

练.用斜二测法画水平放置的球的直观图. 用斜二测法画水平放置的球的直观图

y

z y`

o

x

o`

x`

例2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个 .一个几何体,它的下面是一个圆柱, 圆锥,并且两底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为 圆锥,并且两底面重合,圆柱的底面直径为 , 4cm,圆锥的高为 ,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图 ,画出此几何体的直观图.

Z ·
O′

y′

x′

O

y

x

例3.如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 .如图,已知几何体的三视图, 它的直观图. 它的直观图
2

3

2 正视图

2 侧视图

由三视图可知: 由三视图可知:该 几何体是怎么的一 个组合体? 个组合体? 如何画出一个球的 直观图? 直观图? 如何画出一个圆柱 的直观图? 的直观图? 思考三视图与直观 图有何关系? 图有何关系?

俯视图

例3.如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 .如图,已知几何体的三视图, 它的直观图. 它的直观图
2

3

2 正视图

2 侧视图

俯视图

例4、如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观 如图, 图是一个等腰梯形,它的底角为45 45° 图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长 + 均为1 均为1,则这个平面图形的面积是 2+ 2 .
y y`

A D`

D

A`

B`

E`

C`

x`

B

C

x

练习
1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一 1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一 已知一四边形ABCD 个边长为2的正方形, 个边长为2的正方形,请画出这个图形的真实 图形。 图形。

2、如图为水平放置的正方形ABCO,它在直角 、如图为水平放置的正方形 , 坐标系xOy中点 的坐标为 中点B的坐标为 坐标系 中点 的坐标为(2,2),则在用斜二测 , 画法画出的正方形的直观图中,顶点B`到 轴 画法画出的正方形的直观图中,顶点 到x`轴 2 的距离为 . 2

3、右图是△ABC利用斜二测画法得到的水 、右图是△ 利用斜二测画法得到的水 平放置的直观图△ 其中A 平放置的直观图△A`B`C`,其中 `B`∥y`轴, B`C`∥x`轴,若△A`B`C`的面积是 ,则 的面积是3, △ABC的面积是 6 2 . 的面积是

归纳整理
直观图最常用的画法是斜二测法, 直观图最常用的画法是斜二测法,由其规则能画出水 平放置的的直观图, 平放置的的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置 的画法,其基本步骤如下: 的画法,其基本步骤如下: 在已知图形中取互相垂直的的x轴和 建系: 轴和y轴 1、建系: 在已知图形中取互相垂直的的 轴和 轴,得到 直角坐标系xoy,直观图中画成斜坐标系 直角坐标系 ,直观图中画成斜坐标系x`o`y`,两轴 , 的夹角为45 轴水平. 的夹角为 0,x`轴水平.在空间坚直方向上的线段画 轴水平 成垂直于x`轴需要画立体图时,过o`点画 轴,且使其 成垂直于 轴需要画立体图时, 点画z`轴 轴需要画立体图时 点画 垂直于x`轴 垂直于 轴 已知图形中平行于x轴或 轴的线段, 平行不变: 轴或y轴的线段 2、已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图 平行不变: 中分别画成平行于x`轴或 的线段。 轴或y`的线段 中分别画成平行于 轴或 的线段。 已知图形中平于x轴的的线段 轴的的线段, 已知图形中平于 轴的的线段,在直观图中保持 长度规则: 3、长度规则: 长度不变;平行于y轴的线段 长度变为原来的一半. 轴的线段, 长度不变;平行于 轴的线段,长度变为原来的一半 在空间坚直方向上的长度也不变。 在空间坚直方向上的长度也不变。


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