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关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题




第25卷第6期
2007年12月

凯里学院学报

V01.25 No.6 Dec.2007

Jou脚l of

Kam Univer8ity

关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题
黄俊明
(凯里学院数学与计算机科学系,贵州凯里556000)

[摘

要]通过深入研讨方程矿=Io&工的解的个数同题,从而解决函数y=矿与y=10&工的图像的交点个数问题?

最后回答文献[1]所提出的相应问题. [关蹙词]指数函数I对教函数,图像交点个数 [中图分类号]0174.1[文献标识码]A[文章编号]1§73.9329【2007】06-0007-0z

我们知道研究。方程口。=lo&z的解的个数问题”与 。函数y=矿与y=l094z的图像的交点个数问题”是等价 的.对于前一。问题”,文[1]列举方程矿=I lo&z I(o<d

面在y∈(0,+∞)对?由1单调递增至e,敏口是y的单调 递增函数,于是y可由口唯一确定,从而可由y唯一确定(1) 式的参数形式的解z-.施. 3)当口:,1时,(1)式有唯一实数解z=e,由第(2) 条知:当y—+∞时,zI?e,锄?e,口+e一, 故此时函数y=4l与,=lo缸工的图像共同切直线, =z于点(e,毒). 4)当口∈(,1,+oo)时,(1)式无实数解.
。’

<1),当口=去时,有4个解的特殊情形,而对一般的情形
▲U

却没有解决;文[z]在研讨后一。同题”时,有疏漏之处。认 为O<口<1时,两函数的图像有唯一交点,此论断由交[1] 所举特例即可给予否定,本文将解决这2个同题.


方程矿=虹z的解
先考察函数y=茄(互>o)的单调性及值域,/=

2.

若“≠z,则(1)式等价于
口=Z-=“J 口:z{:“{
L.r?越.>U, (.r.越>o) ~二, (2)

z{1(1一lnz)及limy=lime{h—O,lim,=lim e{k ’” ”” t.o十 po+

为求上式中工,“的参数形式的解,由其对称性.不妨设

=1知函数y=毋(工>o).
(1)在区问(O,e)上.由O单调递增至一1; (2)在区间(e,+o。)上,由,‘单调递减至1l (3)函数y的值域为(o,e--l

“>z>o,并令钟=≯一专


(y≠o)代人(2)式,得


z=(1一≯一(1一专)”.
由越=尹与z及“>z>o知7,>1,此时4 (1一专)舻三)”(y>1)因为.’


I,且z=e时,j,一=e|.1.
(1)

z寻=

下面我们分两种情况研讨方程矿=lo舀z的解.设
矿=10&z哥“.
1-

若≈=z,则
(z>O),根据函数y=z{ (z


,(1)式等价于4=毋
>o)的单调性及值域有

1)当4∈(o。1)时,(1)式有唯一实数解z=5,其中j
由口=s÷

(O<,<1)唯一确定.

f志仙ct一专,], I卉而……y’I’ 且口>o’“>o’7,>L所以口’与,‘力2了亨南+
ln(1一专)同号.由
及lim,(力=0知函数,(y)在(1,+。o)上单调递减,且
T‘●1一

4,=斜丽南乩(1一钥。

2)当口∈(1,,1)时,(1)式在区间(1,e)和(e,+∞) 上各有一解,设这两个解为zl。恐(1<z1<e<忍),于

是有口=工1寺=锄专。故。l々=勘’,令而2
' ,

z11+寺

(y

1'H

>o)?贝n丑=(1+专),锄=(1+专)
I , ,
●。 ,

(7,>o)t此时

八力=志。[卜赫]<。
pl’ pI’t


口:期}:(1+土)K崎卜7
[收籍日期]2007.09.13

(y>o).容易验证y的函数

,(移>。t所以口’>.0?又因磐z=墨暑j1一专)7=o,

[作者简介]黄俊明.男。江西都昌人。凯里学院数学与计算机科学系副教授.

万   方数据



凯里学院学报

2007年12月

lim牡一lim(1一二)
卜l+

pI+



=l,lim 卜+∞


z=lim(1一÷)= P十∞



(0。e.1),勋∈(f1,1).特别当y一+∞时,善l—e-1,zl—

f1.1im群=lim(1一三)
卜十∞ P+“ y Iim口一lim p十o P+“

Pl

r1,4一r,故知当口=,时,指数函数了=矿与对数函
数y=logd工的图像相切,切点(e-l,e-1)在函数y=z的图 像上.


一e_1。Iim口一limz古=0, pl十 Pl+

z古一f。,所以口是,,的单调递增函数,且4

函数y=矿与y=lo昏z的图像的交点 通过上面的讨论方程矿=logdz解的个数,并联系函

的值域为(o,e■). 这表明:当且仅当4∈(O,f?)时,y可由口唯一确定, 从而可由7,唯一确定(1)式的参数形式的解;工l=z;

数y=矿,y=lo‰z,j,;z的图像间的关系,我们有如下结 论,见表1.

(1一≯,而=越-(1一专)”(y>1)容易验幽∈
衰l

方程矿=lo函工的解个数。函数y=口。.y=lo&z与y=z的交点

最后,我们把文[1]提出的问题作为例子加以勰决
如下.


由表l中的结论知:当n∈[O,e.。)时,(4)式有3个解;当4 ∈[e-,1)时,(4)式有1个解. 综上所知,当4∈(O。f。)时,方程矿=I <口<1)有2个解. 参考文献:
[1]黄桂君.争鸣问题34[J].数学通报,z003(9). [2]蒋之卫.函数y=4 z与y=Iog。工的图像何时有公共点[J].中
学数学月刊,2003(6).

例 数.


讨论方程矿=I

Io出z



(O<4<1)的廨的个

Io匦z lo函z

I(0<

口<1)有4个解;当口∈[e-。,1)时,方程矿=I 显然。一1不是原方程的解,故z≠1. 1)当工>l时,原方程等价于
矿+logdz—O.
(3)



(o

因为函数垂(茹)=矿+lo函工

(工>1)在区间(1,+oo)上

单调递减,且lim币(工)=一oo.所以函数∞(茹)的值域为 (一oo。4),所以(3)式在区间(1,+。。)上有唯一实数解.
2)当0<善<l时,原方程等价予 矿=lo&z. (4)

[责任编辑:潘志清]

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关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 黄俊明 凯里学院数学与计算机科学系,贵州,凯里,556000 凯里学院学报 JOURNAL OF KAILI UNIVERSITY 2007,25(6) 1次

参考文献(2条) 1.蒋之卫 函致y=ax与y=logax的图像何时有公共点[期刊论文]-中学数学月刊 2003(06) 2.黄桂君 争鸣问题34 2003(09)

本文读者也读过(10条) 1. 钟金子 正数与负数精讲精析[期刊论文]-中学生数理化(初中版七年级)2006(7) 2. 宗敏 对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨[期刊论文]-考试周刊2010(3) 3. 高焕江.GAO Huan-jiang 指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论文]-红河学院学报2010,08(2) 4. 陈根土.郭勇 《集合、函数概念、基本初等函数》单元训练[期刊论文]-中学生数理化(高一版)2008(7) 5. 马合成.MA He-cheng 第指数函数与指数函数之比较[期刊论文]-潍坊学院学报2005,5(2) 6. 徐加生 解析与指数函数有关的最值问题[期刊论文]-高中数理化(高一)2007(11) 7. 杨大强 中国商业银行的效率分析——基于广义超对数成本函数的范围经济检验[期刊论文]-金融发展研究 2008(3) 8. 刘爱莲.朱思铭.LIU AILIAN.ZHU SIMING 时标上矩阵指数函数的计算[期刊论文]-应用数学学报2008,31(6) 9. 林婉仪.陈之兵 指数函数与一次函数的大小关系[期刊论文]-高等数学研究2006,9(5) 10. 刘洪.LIU Hong 指数函数的特性及应用[期刊论文]-长沙民政职业技术学院学报2004,11(1)

引证文献(1条) 1.高焕江 指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论文]-红河学院学报 2010(2)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_qdnmzsfgdzkxxxb200706003.aspx


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