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2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


2012 年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
1. 当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 的最大值为_______ 解:设 g ( x) ? x3 ? 3x, x ?[?3,3]

g ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1)
g (?1) ? 2 , g (1) ? ?2

, g (3) ? 18 , g (?3) ? ?18 ,根据 g ( x) 的单调性结合绝对值的性质
知 f ( x) ? x3 ? 3x 的最大值为 18 评析:本题主要考查导数与绝对值的有关知识,较基础

2. 在△ABC 中 ,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4 ,则 AC=_____ 解: AC ? BC ? AC ? BA ? 16 , AC ? AC ? 16 ? AC ? 4 评析:本题主要考查向量的有关概念与运算,有一定的灵活性

3. 从集合 {3,4,5,6,7,8} 中随机选取 3 个不同的数 , 这 3 个数可以构成等差数列的概率是 _______ 解:考虑取出三数从小到大成数列 当 d =1 时,有 3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8 四组 当 d =2 时,有 3,5,7;4,6,8 两组,所以有 6 种情形,
3 从 6 个元素中随机选取 3 个不同的元素共有 C6 ? 20 种情形,故概率为 P ?

6 3 ? 20 10

评析:本题以集合与数列为载体,考查排列组合与概率的知识,本题数据较小,可用枚举法 处理,体现文理科学生的公平性 4. 已知 a ? R ,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实数根是 b ,则 a ? bi 的值为______ 解: b2 ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 即 (b2 ? 4b ? 4) ? (b ? a)i ? 0

?b2 ? 4b ? 4 ? 0 ?a ? 2 ?? ?? ?b ? ?2 ?a ? b ? 0

a ? bi = 2 2
评析:本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识 5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜 12 4
1

角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点。若△FAB 的面识为 8 3 ,则直线 l 的斜率为 ________ 解:由题可设斜率为 k ( k >0), 将 y ? kx 代入 C: x2 ? 3 y 2 ? 12 ? 0 得 y

12 , k 2 x 2 ? 12 (1 ? 3k ) x ? 12 , x2 ? 2 1 ? 3k 1 S ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 4 y1 ? 8 3 ? y12 ? 12 2 12k 2 1 1 ? 12 , k 2 ? 1 ? 3k 2 ? k 2 ? , k ? 0,? k ? 1 ? 3k 2 4 2
2 2

O B

A F x

评析:本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识 检测学生数学的基本素养和运算能力 6. 设为 a 正实数, k ? a lg a ,则 k 的取值范围是_________ 解:两边取对数得 lg k ? (lg a)2 ? 0 ? k ? 1 ,即 k 的取值范围是

[ 1?? , )

评析:本题考查指对数运算等知识,较为基础,考查学生的灵活性

7. 在四面体 ABCD 中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____ 解:由平面几何知识知底面三角形为直角三角形,且 A 点在底面上的射影

A

1 1 5 3 ?5 3 为三角形的外心所以即为 BD 中点,故 V ? ? ? 3 ? 4 ? 3 2 2

D B C

评析:本题是立体几何试题,主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算

8. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 和 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 : a1 ? b1 ? 3 , a2 ? b2 ? 7 , a3 ? b3 ? 15 ,

a4 ? b4 ? 35 ,则 an ? bn ? ________

?a1 ? b1 ? 3 ?a ? d ? b q ? 7 1 ? 1 解:设公差为 d,公比为 q,则 ? a ? 2 d ? b1q 2 ? 15 ? 1 ?a ? 3d ? b q3 ? 35 1 ? 1
(4)-(3)得 d ? b1q3 ? b1q 2 =20 , (3)-(2)得 d ? b1q 2 ? b1q ? 8

2

b1q3 ? 2b1q2 ? b1q ? 12

(5)

(1)+(4)得 2a1 ? 3d ? b1q 3 ? b1 ? 38 , (2)+(3)得 2a1 ? 3d ? b1q2 ? b1q ? 22 两式相减得, b1q3 ? b1 ? b1q 2 ? b1q ? 16 (6)

(5) q 3 ? ? q ? 3, a1 ? 2, d ? 2, b1 ? 1 得 (6) q ? 1 4

an ? 2n, bn ? 3n?1 , an ? bn ? 2n ? 3n?1
评析:本题以等差、等比数列为载体,全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力,本题 运算要求较高 9. 将 27,37,47,48,55,71,75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数 则这样的排法有____ 种。 解:将 7 个数分成 3 类: (1)3 k 的数为 27,48,75,有 3 个 (2)3 k -1 的数为 47,71,有 2 个 (3)3 k +1 的数为 37,55,有 2 个 要使排列的一列数中任意的四个数之和为 3 的倍数, 则 7 个位置上第 1 位和第 5 位应排同一 类数,第 2 和第 6 位排同一类数,第 3 和第 7 位排同一类数,且第 4 位必排第(1)类共有
2 3 3 种 排 法 , 三 类 数 排 到 三 类 位 置 共 有 A3 种 , 每 一 类 位 置 各 有 A2 种排法,故共有 2 3 3 3 (A2 )A3 ? 144 种排法。

评析: 本题是一个排列组合与数论结合的问题, 重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类 讨论的能力,要求较高,有较好的区分度 10、 三角形的周长为 31, 三边为 a , b, c 均为整数且 a ? b ? c , 则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为________ a? b? c? 3 1 , a , b, c ? Z? , c ? 11 解: 又 a? b? , c? c? 15

c 的取值为 11,12,13,14,15 当 c =11 时, ( a, b) 的取值为(9,11) (10,10) 有 2 组 (8,11) (9,10)有 3 组 c =12 时, (a, b) 的取值为(7,12) (6,12) (7,11) (8,10) (9,9)有 5 组 c =13 时, (a, b) 的取值为(5,13) (4,13) (5,12) (6,11) (7,10) (8,9)有 6 组 c =14 时, (a, b) 的取值为 (3,14) (2,14) (3,13)-----(8,8)有 8 组 c =15 时, (a, b) 的取值为(1,15) 故满足要求的三元 (a, b, c) 的个数为 24
评析: 本题是以三角形为背景的整数问题, 考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能力, 对学生背景公平但又有较高的区分度,是一个相等精彩的好题 11、 .在 ? ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明:

3

cos A ? cos B ? (1) b cos C ? c cos B ? a ; ⑵ a?b
证法一: (余弦定理法) (1) b cos C ? c cos B ? b

2sin 2 c

C 2

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ?c ? ?a 2ab 2ac 2a

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 ? cos A ? cos B 2ac 2bc ? (2) a?b a?b ab 2 ? ac 2 ? a 3 ? a 2b ? bc 2 ? b3 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2abc(a ? b) 2abc

2sin 2

a 2 ? c 2 ? b2 C 1? 2ab ? a 2 ? b2 ? c 2 2ac 2 ? 1 ? cos C ? ,所以等式成立 ? c c c 2abc

证法二: (正弦定理法) (1)在 ? ABC 中由正弦定理得 b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,所以

b cos C ? c cos B ? 2 R sin B cos C ? 2 R sin C cos B ? 2 R sin( B ? C ) ? 2 R sin A ? a
(2)由(1)知 b cos C ? c cos B ? a , 同理有
a c o sC? c c o s A ? b

所以 b cos C ? c cos B ? a cos C ? c cos A ? a ? b 即 c(cos B ? cos A) ? (a ? b)(1 ? cos C) ? (a ? b) ? 2sin 2

C 2

所以

cos A? c o Bs ? a?b

C 2 s i 2n 2 c

评析:本题是三角中解三角形题,主要考查正弦、余弦定理的应用和有关三角变换等知识, 较为基础以检测学生的基本运算能力

12 、 已 知 a , b 为 实 数 ,

a ? 2 , 函 数 f ( x)?

a l nx? x

? b ( x? , 0) 若 f (1) ? e ? 1

e f (2) ? ? ln 2 ? 1 2
(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若实数 c, d , 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f (c) ? f (d )

? f (1) ? a ? b ? e ? 1 ? 解: (1) ? a e ? f (2) ? ln 2 ? ? b ? ? ln 2 ? 1 2 2 ?

4

a ? 1 ? ln 2 ?

a a a e ? ? ln 2 ? ? b ? ? 1 ? a ? e, b ? 1 2 2 2 2 a ?1 x

(2) f ( x) ? ln x ? 设 g ( x) ? ln x ?

a ( x ? 0) x

g ?( x) ?

1 e ? ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上递增 x x2 g (e) ? 0 ,? 0 ? x ? e 时, g ( x) ? 0

e f ( x) ? ln x ? ? 1 , f ( x) 在 (0, e) 上递减 x e 当 x ? e , g ( x) ? 0 , f ( x) ? ln x ? ? 1 在 (e, ??) 上递增, x 即 f ( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??)

(3) d ? , c ? 1 , f (c) ? ln c ?

1 c

e ?1 c

1 1 c c f (d ) ? f ( ) ? ln ? ce ? 1 ? ln c ? ce ? 1 ? ln c ? ? 1 ? ln c ? ? 1 c c e e ? ln c ? c ? 1 ? f (c) ,所以命题成立 e

评析:本题是一个函数与不等式综合题,主要考查函数的有关性质,绝对值、导数、不等式 等知识,属中档题,作为预赛题有较好的选拔功效

13. 如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M, A 为圆 O 上动点, 在射线 OM 上有一动点 B,AB=1,OB>1. 线段 AB 交圆 O 于另一点 C,D 为线段 OB 的中点,求线段 CD 长的取值范围 证明: 如图,设 ?AOB ? ? , OA ? AB ??OBA ? ? ?BAO ? ? ? 2? , OA ? OC ??OCA ? ? ? 2? , 于是 ?BOC ? ? ? 3? ,∵D 为 OB 的中点,? OD ? OA cos ? ? cos ?

A

O

D

M B

?CD2 ? OC 2 ? OD2 ? 2OCOD cos ?COD ? 1 ? cos2 ? ? 2cos? cos(? ? 3? ) ? 1 ? cos2 ? ? 2cos? cos3?

5

5 2 7 ) ? 16 32 又 ?BOC ? ? ? 3? ? ?AOB ? ? , ?OCA ? ? ? 2? ? ?OBA ? ? 得 ? ? 3? ? ? , ? ? 2? ? ? ? 1 ? cos2 ? ? 2cos? (4cos3 ? ? 3cos? ) ? 8cos4 ? ? 5cos2 ? ? 1 ? 8(cos 2 ? ?
14 2 , ) 8 2 4 3 评析: 本题是一个以平几为背景的题目, 它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处 理,考查学生灵活运用数学知识的能力

?

?

?? ?

?

1 1 7 1 ?cos2 ? ? ( , ) ,于是 CD2 ?[ , ) 4 2 32 2

? CD ? [

14. 设 a, b, c, d 是正整数, a , b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两根,证明:存在边长是正整 数且面积为 ab 的直角三角形。

?a ? b ? d ? c 证明: (命题组提供) 由题设可知, ? ,由于 a, b, c, d 是正整数, ?ab ? cd
则 a ? b, a ? c, b ? c 中任两个数之和大于第三个数,且为正整数,

(c ? a)2 ? (b ? c)2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2
又 S ? (a ? c)(b ? c) ? (ab ? c(a ? b ? c)) ? (ab ? cd ) ? ab 故存在边长为 a ? c, b ? c,a ? b(均为正整数)的直角三角形( a ? b 为斜边)符合题设要求. 评析:本题为全套试题的压轴题,是一个开放性问题,能很好地考查学生的思维能力和创新 能力,难度较高,试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求 的三边长为正整数,面积为 ab 的三角形 上述命题组给出的证明方法,结论是正确的但很不自然,让人感到迷茫,正如美籍匈牙 利数学家波利亚所言: “就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不 具有什么启发性。聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的, 他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。 如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理 解的话,那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问题不仅希望得到一 个解答,也希望这个解答是优美的、富有启发性的,更渴望知道这个解答是如何想到的,因 此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程, 对培养学生的解题能力进而提高他们的思维 能力和创新能力显得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程,供参考 设以正整数 x, y 为直角边的三角形满足要求,则 xy ? 2ab , x 2 ? y 2 为完全平方数

1 2

1 2

1 2

?a ? b ? d ? c 由题设根据韦达定理可知,正整数 a, b, c, d 满足 ? , 又 ?ab ? cd

x2 ? y 2 ? ( x ? y)2 ? 2xy ? ( x ? y)2 ? 4ab ? ( x ? y)2 ? 4cd ,
可尝试猜想
2 2 2 ( x ? y)2 ? 4cd ? (c ? d) (c ? d) ? 4cd ? (c ? d) ,则 ( x ? y)2 ? 得

6

x ? y ? c ? d ,又 xy ? 2ab ? 2cd ,利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对称性
不妨设

x?

c ? d ? c 2 ? d 2 ? 6cd c ? d ? c 2 ? d 2 ? 6cd ,y? 2 2 d ? c ? c 2 ? d 2 ? 6cd 2

因为 a , b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两根,同样不妨设 a ?

b?

d ? c ? c 2 ? d 2 ? 6cd ,所以 c2 ? d 2 ? 6cd ? d ? 2a ? c 或 c2 ? d 2 ? 6cd ? 2b ? c ? d 2

c ? d ? ( d ? 2a ? c ) ? x? ?c?a ? ? 2 所以得 ? ? y ? c ? d ? ( d ? 2a ? c ) ? d ? a ? b ? c ? 2 ?


c ? d ?( 2 b ? c ? d ) ? x? ? d ?b ? a ?c ? ? 2 ,此时 ? ) ? y ? c ? d ?( 2 b ? c ? d ?b ?c ? 2 ?

x 2 ? y 2 ? (c ? a)2 ? (b ? c)2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2
这样可得到满足要求的三角形两条直角边为 a ? c, b ? c ,斜边为 a ? b 。

2012-4-21

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