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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:3-5两角和与差的正弦、余弦和正切


05 限时规范特训
A级 基础达标 5 π 1.[2014· 德阳二诊]若 cosθ+sinθ=- 3 ,则 cos(2-2θ)的值为 ( ) 4 A.9 2 C.9 2 B.-9 4 D.-9

5 5 4 π 解析: 依题意得(cosθ+sinθ)2=9, 1+sin2θ=9, sin2θ=-9, cos(2 4 -2θ)=sin2θ=-9,选

D. 答案:D π 1 π 2.[2014· 太原模拟]若 sin(4+α)=3,则 cos(2-2α)等于( 4 2 A. 9 7 C.9 解析:据已知可得 π π π cos(2-2α)=cos2(4-α)=2cos2(4-α)-1= π 7 2sin2(4+α)-1=-9,故选 D. 答案:D 3. [2014· 石家庄二中月考]已知 的值是( ) sinα+3cosα =5, 则 sin2α-sinαcosα 3cosα-sinα 4 2 B.- 9 7 D.-9 )

2 A.5 C.-2 解析:由

2 B.-5 D.2 sinα+3cosα tanα+3 =5,得 =5,即 tanα=2.所以 sin2α 3cosα-sinα 3-tanα

sin2α-sinαcosα tan2α-tanα 2 -sinαcosα= = =5. sin2α+cos2α tan2α+1 答案:A 3 5 4.[2014· 烟台模拟]已知 cosα=5,cos(α+β)=-13,α,β 都是 锐角,则 cosβ=( 63 A.-65 33 C.65 ) 33 B.-65 63 D.65

5 解析: ∵α, β 是锐角, ∴0<α+β<π, 又 cos(α+β)=-13, ∴sin(α 12 4 + β)=13,sinα=5.又 cosβ=cos(α+ β- α)= cos(α+ β)cosα+sin(α+ 5 3 12 4 33 β)sinα=-13×5+13×5=65. 答案:C 5.[2014· 长春模拟]在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1, 则 cosC 的值是( 2 A.- 2 1 C.2 ) 2 B. 2 1 D.-2 tanA+tanB =-1, 1-tanA· tanB

解析:由 tanA· tanB=tanA+tanB+1,可得

3π π 即 tan(A+B)=-1,∵A+B∈(0,π),∴A+B= 4 ,则 C=4,cosC 2 =2. 答案:B 3π π 6.已知锐角 α 满足 2cos( 2 +2α)=sin(2+α),则 tan2α 的值为 ( ) 5 A. 7 10 C. 7 解析:∵2sin2α=cosα, 1 15 ∴sinα=4,cosα= 4 , 15 ∴tanα= 15 , 2tanα 15 ∴tan2α= 2 = 7 ,选 D 项. 1-tan α 答案:D π 3 7.[2014· 广州二测]已知 α 为锐角,且 cos(α+4)=5,则 sinα= ________. π π 3π π 解析:∵α 为锐角,∴α+4∈(4, 4 ),∴sin(α+4)= 3 1-?5?2= 7 B. 7 15 D. 7

4 π π π π π π 4 2 3 , ∴ sin α = sin[( α + ) - ] = sin( α + )· cos - cos( α + )sin = × 5 4 4 4 4 4 4 5 2 -5 2 2 × 2 = 10 . 2 答案: 10

8.已知 13sinα+5cosβ=9,13cosα+5sinβ=15,那么 sin(α+β)的 值为________. 解析:将两等式的两边分别平方再相加,得 169+130sin(α+β) 56 +25=306,所以 sin(α+β)=65. 56 答案:65 9.已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R,则函数 f(x)在区 π 3π 间[8, 4 ]上的最大值和最小值分别为________. π 解析:f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x= 2sin(2x-4), π 3π π 5π 2 π 由 8 ≤x≤ 4 , 得 0≤2x - 4 ≤ 4 , 即 - 2 ≤sin(2x - 4 )≤1 , - 1≤f(x)≤ 2,故 f(x)的最大值为 2,最小值为-1. 答案: 2 -1

π 10.[2013· 天津高考]已知函数 f(x)=- 2sin(2x+4)+6sinxcosx -2cos2x+1,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值. π π 解:(1)f(x)=- 2sin2x· cos4- 2cos2x· sin4+3sin2x-cos2x π =2sin2x-2cos2x=2 2sin(2x-4). 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π 3π (2)∵0≤x≤2,∴-4≤2x-4≤ 4 ,

2 π ∴- 2 ≤sin(2x-4)≤1, ∴-2≤f(x)≤2 2, π 故函数 f(x)在区间[0,2]上的最大值为 2 2,最小值为-2. 11.[2014· 华中师大模拟]已知 α,β∈(0,π),且 tanα=2,cosβ 7 2 =- 10 . (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α-β 的值. cos2α-sin2α 1-tan2α 1-4 解:(1)cos2α=cos α-sin α= 2 = = =- cos α+sin2α 1+tan2α 1+4
2 2

3 5. π (2)因为 α∈(0,π),且 tanα=2,所以 α∈(0,2). 3 π 4 又 cos2α=-5<0,故 2α∈(2,π),sin2α=5. 7 2 由 cosβ=- 10 ,β∈(0,π), 2 π 得 sinβ= 10 ,β∈(2,π). 4 7 2 所 以 sin(2α - β) = sin2αcosβ - cos2αsinβ = 5 ×( - 10 ) - ( - 3 2 2 ) × =- 5 10 2. π π π 又 2α-β∈(-2,2),所以 2α-β=-4. π 12.[2013· 安徽高考]已知函数 f(x)=4cosωx· sin(ωx+4)(ω>0)的最 小正周期为 π.

(1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. π 解:(1)f(x)=4cosωx· sin(ωx+4) =2 2sinωx· cosωx+2 2cos2ωx = 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2 π =2sin(2ωx+4)+ 2. ∵f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 . π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当2≤2x+4≤ 4 ,即8≤x≤2时,f(x)单调递减. π π π 综上可知,f(x)在区间[0,8]上单调递增,在区间[8,2]上单调递 减. B级 知能提升 π π 1.[2014· 浙江五校联考]若 α∈(2,π),且 3cos2α=sin(4-α),则 sin2α 的值为( 1 A.18 ) 1 B.-18

17 C.18

17 D.-18

π π π π 解析:cos2α=sin(2-2α)=sin[2(4-α)]=2sin(4-α)· cos(4-α), π π π 代入原式,得 6sin(4-α)cos(4-α)=sin(4-α), π π 1 ∵α∈(2,π),∴cos(4-α)=6, π π 17 ∴sin2α=cos(2-2α)=2cos2(4-α)-1=-18. 故选 D. 答案:D π 2.[2014· 潍坊模拟]已知 α,β∈(0,2),满足 tan(α+β)=4tanβ, 则 tanα 的最大值是( 1 A.4 3 2 C. 4 ) 3 B.4 3 D.2 tan?α+β?-tanβ 3tanβ = 1+tan?α+β?tanβ 1+4tan2β

解 析 : tanα = tan[(α + β) - β] =

3tanβ 3 1 ≤4tanβ=4,当且仅当 tanβ=2时等号成立. 答案:B π π π 3.已知函数 f(x)=2sin2(4+x)- 3cos2x-1,x∈[4,2],则 f(x) 的最小值为________. π π 解析:f(x)=2sin2(4+x)- 3cos2x-1=1-cos2(4+x)- 3cos2x π π π -1=-cos(2+2x)- 3cos2x=sin2x- 3cos2x=2sin(2x-3),因为4

π π π 2π π π π 1 ≤x≤2, 所以6≤2x-3≤ 3 , 所以 sin6≤sin(2x-3)≤sin2, 即2≤sin(2x π π -3)≤1,所以 1≤2sin(2x-3)≤2,即 1≤f(x)≤2,所以 f(x)的最小值 为 1. 答案:1 ωx 4. 已知函数 f(x)=6cos2 2 + 3sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图 象如图所示,A 为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形.

(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 10 2 (2)若 f(x0)= 5 ,且 x0∈(- 3 ,3),求 f(x0+1)的值. ωx 解: (1) 由已知可得 f(x) = 6cos2 2 + 3sinωx - 3 = 3cosωx + 3 π sinωx=2 3sin(ωx+3), 又正三角形 ABC 的高为 2 3,则|BC|=4, 2π π 所以函数 f(x)的最小正周期 T=4×2=8,即 ω =8,得 ω=4, 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3].

8 3 (2)因为 f(x0)= 5 ,由(1)得 πx0 π 8 3 f(x0)=2 3sin( 4 +3)= 5 , π x0 π 4 即 sin( 4 +3)=5, 10 2 πx0 π π π 由 x0∈(- 3 ,3),得 4 +3∈(-2,2), π x0 π 即 cos( 4 +3)= 4 3 1-?5?2=5,

πx0 π π 故 f(x0+1)=2 3sin( 4 +4+3) πx0 π π =2 3sin[( 4 +3)+4] πx0 π π πx0 π π =2 3[sin( 4 +3)cos4+cos( 4 +3)sin4] 4 2 3 2 =2 3×(5× 2 +5× 2 ) 7 6 = 5 .


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