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辽宁省阜蒙县第二高中2013年高三第二次模拟考试数学(理)试题


辽宁省阜蒙县第二高中 2013 年高三第二次模拟考试数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考试时间 120 分 钟。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴 在条形码区域内; 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工

整、笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效; 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑; 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 1.设集合 M ? x x ? x ? 2 ? 0, x ? R , N ? x 0 ? x ? 2 ,则 M ? N =

?

?

?

?

A. (?1, 2) 2.已知 i 为虚数单位,则复数 A. i

B. (0,1]

C. (0,1)

D. (?2,1]

i? 2 = 1 ? 2i
C. ?

4 3 4 3 ? i D. ? ? i 5 5 5 5 3.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x? ? ??,0? 时, f ( x) ? ? x lg(3 ? x) ,那么 f (1) 的值为 A.0 B. lg 3 C. ? lg 3 D. ? lg 4
B. ? i 4.下列命题错误的是 A.已知数列 {an } 为等比数列,若 m ? n ? p ? q , m, n, p, q ? N* ,则有 am ? an ? a p ? aq B.点 ( C.若

?
8
a

, 0) 为函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

) 图像的一个对称中心

8 ,则 a ? 2 0 3 ? ? ? ? ? ? D.若 | a |? 1,| b |? 2 ,向量 a 与向量 b 的夹角为 120 °,则 b 在向量 a 上的投影为 1 ;

?

x2 ?

5.设双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0 ,则双曲线的离心率为 9 a2
B.

A.

5 4

5 3

C.

7 4

D. 7

6.若 ( x ?

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中 x 4 项的系数为 2x

A.6 B.7 C.8 D.9 7.如果执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. ?3 C.2 B. ? D.

1 2

1 3

8.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为
页 1第

A.

3? 2

B. 2? D.

C. ?

? 2

9.不等式 x2 ? loga x ? 0 在 x ? (0, ) 时恒成立,则 a 的取值范围是 A.

1 2

1 ? a ?1 16

B. 0 ? a ? 1 D. 0 ? a ?

C. a ? 1

10.过点 ?1, ?1? 且与曲线 y ? x3 ? 2 x 相切的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 ,或 5x ? 4 y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

1 16

B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 ,或 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 ???? ???? ???? 1 ??? 2 ??? ? ? ? 11.若等边△ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? 6 3 A.-1 B.-2 C.2 D.3 12.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ① 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ② 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③ M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x ? 0 ; 到 ④ M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线.其中正确的命题 到 有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。

? 1 ? 2 ( x ? 0) 则 f f (9) ? 13.已知函数 f ( x) ? ?? x ? ? ?2 x ( x ? 0) ?
2



14.已知抛物线方程 x ? 4 y ,过点 M (0, m) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两 点,且 x1 x2 ? ?4 ,则 m 的值 . 3 正视图 俯视图 2 侧视图 1

15.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如右图所示,则该三棱锥外 接球的表面积等于

cm2 .

16.设数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,对于任意的
页 2第

n ? N? , an , Sn , an2 成等差数列,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,
且 bn ?

(ln x)n ,若对任意的实数 x ? ?1, e? ( e 是自然对数的底)和任意正整数 n ,总有 an 2
.

Tn ? r (r ? N? ) .则 r 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, AB ? 2 5 , AC ? 3 , sin C ? 2sin A . (Ⅰ)求△ABC 的面积 S ; (Ⅱ)求 cos(2 A ?

?
4

) 的值.

18. (本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困 难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查 得到了如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为 ? ,求 ? 的分布列,数学期望以及方差; 大气污染会引起各种疾病,试浅谈日常生活中如何减少大气污染. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

不患心肺疾病 5

合计

10 50

3 . 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式 K ?
2

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P

19. (本小题满分 12 分)

1 如图:四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AD , AD ? BC ? 3 , PC ? 5 . 2 AD ∥ BC , AB ? AC . ?BAD ? 150? ?PDA ? 30? .
页 3第

A C

D

B

(Ⅰ)证明: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在一点 F ,使直线 CF 与 平面 PBC 成角正弦值等于

1 ,若存在,指出 F 点位置,若不存在,请说明理由. 4

20. (本小题满分 12 分)

a2 椭圆中心是原点 O ,长轴长 2a ,短轴长 2 2 ,焦点 F ? c,0? (c ? 0) .直线 x ? 与 c

??? ? ??? ? x 轴交于点 A , OF ? 2FA ,过点 A 的直线与椭圆交于 P, Q 两点.
(Ⅰ)求椭圆方程及离心率; (Ⅱ)若 OP ? OQ ?

??? ???? ?

6 ,求直线 PQ 的方程; 7

(Ⅲ)若点 P 与点 M 关于 x 轴对称,求证: M , F , Q 三点共线.

21. (本小题满分 12 分) 已知 2013 年 2 月 10 日春节. 某蔬菜基地 2013 年 2 月 2 日有一批黄瓜进入市场销售, 通过市场调查, 预测黄瓜的价格 f ( x ) (单位:元/kg)与时间 x ( x 表示距 2 月 10 日的天数,单位:天, x ? ? 0,8? )的 数据如下表: 时间 x 价格 f ( x ) 8 8 6 4 2 20

(Ⅰ)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格 f ( x ) 与上市时间 x 的变化关系:

f ( x) ? ax ? b , f ( x) ? ax2 +bx ? c , f ( x) ? a ? b x , f ( x) ? a ? logb x ,其中 a ? 0 ;并求出此
函数; (Ⅱ)为了控制黄瓜的价格,不使黄瓜的价格过于偏高,经过市场调研,引入一控制函数

h( x) ? ex ? (12 ? 2m) x ? 39 . ( x ? 0) m 称为控制系数.
求证:当 m > ln 2 ? 1 时,总有 f ( x) ? h( x) .

22. (本小题满分 10 分)选修 1—4:几何证明选讲
页 4第

如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? .以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的 中点.连结 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (Ⅱ)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴.点 M 的极坐标为 (4,

?
2

) ,圆

1 ? ?x ? 2 t ?1 ? C 以 M 为圆心,4 为半径;又直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ? y ? 3 t+ 3 ? ? 2 (Ⅰ)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.若相交,则求直线 l 被圆 C 截得的弦长.
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | ax ? 2 | ? | ax ? a |? 2(a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (Ⅱ)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

答案
1 14.1 15. 14? 16.2 8 AB BC ? 解答题 17. (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理: sin C sin A AB 1 ? AB ? 5 ,…2 分∴ cos A ? 2 5 / 5 …4 分 所以 BC ? sin A sin C 2
选择题 CAD DBB CBA ABC 13.



5第

而 A ? (0, ? ) ,∴ sin A ?

1 1 5 5 …5 分∴ S ? AB ? AC ? sin A ? ? 2 5 ? 3 ? ? 3 …6 分 2 2 5 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? …10 分 5 5

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 所以 cos(2 A ?

?
4

) ? cos 2 A cos

?
4

? sin 2 A sin

?
4

??

2 10
不患心肺疾病 5 15 20

……12 分 ………2 分 合计 25 25 50

18. (Ⅰ)解:列联表补充如下 患心肺疾病 男 女 合计 (Ⅱ)解:因为 K ?
2

20 10 30
2

n(ad ? bc) 2 ,所以 K ? 8.333 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 又 P(k ? 7.789) ? 0.005 ? 0.5% .那么,我们有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关…4 分 (Ⅲ)解: ? 的所有可能取值:0,1,2,3
3 1 2 C7 C3 ? C7 35 7 63 21 ; P(? ? 0) ? 3 ? ? ; P(? ? 1) ? ? ? 3 C10 120 24 C10 120 40 1 3 C32 ? C7 21 C3 7 1 P(? ? 2) ? ? ? ; P(? ? 3) ? 3 ? 3 C10 120 40 C10 120

………7 分 ………8 分

分布列如下: ξ P 则 E? ? 0 ? 0 7/24 1 21/40 2 7/40

3 1/120

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10 9 2 7 9 2 21 9 7 9 1 49 D? ? (0 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 10 24 10 40 10 40 10 120 100 9 49 E? ? , D? ? …10 分低碳生活,节能减排等(回答基本正确就得分)…12 分 10 100 19. (Ⅰ)证明:取线段 BC 中点 E ,连结 AE .
∵ AD ? 3 , ?PDA ? 30? ∴ PA ? 1 …1 分∵ AD ∥ BC , ?BAD ? 150? ∴ ?B ? 30? …2 分 又因为 AB ? AC ,所以 AE ? BC ,而 BC ? 2 3 所以 AC ? AB ? 因为 PC ? 5 ,所以 PC ? PA ? AC
2 2 2

BE ? 2 .……4 分 cos30?

即 PA ? AC 因为 PA ? AD ,且 AD ? AC ? A

所以 PA ? 平面 ABCD

……6 分

(Ⅱ)解:以 A 为坐标原点,以 AE , AD, AP 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系: 则 P, B, C , D 四点坐标分别为: P(0, 0,1) ; B(1, ? 3,0) ; C (1, 3,0) ; D(0, 3,0) ……8 分 设 F ( x1 , y1 , z1 ) ;平面 PBC 的法向量 u ? ( x, y, z) .因为点 F 在线段 PD 上,所以假设 PF ? ? PD ∴
页 6第

?

? x1 ? 0 ??? ? ? ? y1 ? 3? (0 ? ? ? 1) 即 F (0, 3?,1 ? ? ) ,∴ FC ? (1, 3 ? 3?, ? ?1) …9 分 ?z ? 1? ? ? 1
又因为平面 PBC 的法向量 u ? ( x, y, z) .所以 u ? PB ? 0, u ? BC ? 0 ,所以 ?

?

? ??? ?

? ??? ?

?x ? 3y ? z ? 0 ?

所以 u ? (1,0,1)

?

?2 3 y ? 0 ? ??? ? ? 1 | FC ? u | 1 ? ? ? .∴ ……10 分因为直线 CF 与平面 PBC 成角正弦值等于 ,所以 ??? 4 | FC | ? | u | 4

|?| 2 ? 1 ? 4(? ?1)
2

?

1 4

即? ?

1 .所以点 F 是线段 PD 的中点…12 分 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 2 ) 。 a2 2

20. (Ⅰ)解:由题意,可设椭圆的方程为

?a 2 ? c2 ? 2, x2 y 2 6 ? 2 ? ? 1 ,离心率 e ? 由题得 ? 得 a ? 6 , c ? 2 ……2′∴椭圆方程为 …4′ a 6 2 3 ?c ? 2( ? c). c ?
? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)解:由(1)可得 A(3,0) 。设直线 PQ 为 y ? k ( x ? 3) 。由方程组 ? 6 2 ? y ? k ( x ? 3) ?
得 (3k 2 ? 1) x2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 ,依题意 ? ? 12(2 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6 6 ?k? …5 分 3 3
……6 分

18k 2 27k 2 ? 6 ,① x1 x2 ? 。② 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3) 。于是

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2[ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] 。
∵ OP ? OQ ?



……7 分

1 6 6 6 6 , )。 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 。④…8 分由①②③④得 4 k 2 ? 1 ,从而 k ? ? ? (? 2 3 3 7 7 所以直线 PQ 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0 ……9 分 ??? ? ???? (Ⅲ)证明:因为 A, P, Q 三点共线,所以假设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 )
所以 AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) 。由已知得 x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), y1 ? ?y 2 ,

??? ???? ?

??? ?

????

x12 y12 x2 y 2 5? ? 1 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 注意 ? ? 1 ,解得 x2 ? ……10 分 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) 2? 6 2 6 2
???? ? 1? ? ? ?1 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (? ( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) …11 分 2 2? ??? ? ???? ? ??? ? ? ?1 故而 FQ ? (x 2 ? 2, y 2 ) ? ( , y 2) ,所以 FM ? ??FQ 。所以 M , F , Q 三点共线. ……12 分 2?
21. (Ⅰ)解:根据表中数据,表述黄瓜价格 f ( x ) 与上市时间 x 的变化关系的函数决不是单调函数,这与
页 7第

函数 f ( x) ? ax ? b , f ( x) ? a ? b x , f ( x) ? a ? logb x 均具有单调性不符,所以,在 a ? 0 的前提下,可选 取二次函数 f ( x) ? ax2 +bx ? c 进行描述. ……1 分

?64a ? 8b ? c ? 8 ? 把表格的三对数据代入该解析式得到: ?36a ? 6b ? c ? 4 得 a ? 1 , b ? ?12 , c ? 40 …3 分 ?4 a ? 2b ? c ? 20 ?
所以,黄瓜价格 f ( x ) 与上市时间 x 的函数关系是 f ( x) ? x2 ?12x ? 40 . x ? ? 0,8? ……4 分 (Ⅱ)解:设函数 g ( x) ? h ? x ? ? f ( x) ? ex ? x2 ? 2mx ?1 ,求导,结果见下表。

g? ? x ? ? ex ? 2x ? 2m ,继续对 g? ? x ? 求导得 g?? ? x ? ? ex ? 2
表格如下: g (x) g'(x)
n

……6 分

……8 分 (0,ln2) Ln2 (ln2,+∞)

?


0
极小值

?


由上表可知 g? ? x ? ? g? ? ln 2? ,而

g? ? ln 2? ? eln2 ? 2ln 2 ? 2m ? 2 ? 2ln 2 ? 2m ? 2 ? m ? ln 2 ?1? ,由 m > ln 2 ? 1 知 g? ? ln 2? > 0 ,所以 g? ? x ? > 0 ,即 g ? x ? 在区间 ? 0,??? 上为增函数。
于是有 g ? x ? > g ? 0 ? ,而 g ? 0? ? e ? 0 ? 2m ? 0 ?1 ? 0 ,
0 2
x
2

……10 分 ……11 分

故 g ? x ? > 0 ,即当 m > ln 2 ? 1 且 x > 0 时, e > x ? 2mx ? 1。即 h( x) ? f ( x) …12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 1—4:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:如图,连结 OE 、 BE ,则 BE ⊥ EC 又∵D 是 BC 的中点, ∴ D E ? B D . B 又∵ OE ? OB , OD ? OD , ∴ ?O D E ? ? O D,∴ ?OBD ? ?OED ? 90? . ∴O 、B 、D 、 E 四点共圆. (Ⅱ)证明:延长 DO 交圆 O 于点 H . 由(1)知 DE 为圆 O 的切线, ∴ DE ? DM ? DH ? DM ? (DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH ,
2

∴ DE ? DM ? (
2

1 1 AC ) ? DM ? ( AB) , ∴ 2D E2 ? D M A C ? ? 2 2

DM . B ? A

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

1 ? ?x ? 2 t ?1 ? (Ⅰ)解:因为直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) l : 3x ? y ? 0 ……3 分 ? y ? 3 t+ 3 ? ? 2 2 2 圆 C 的普通方程为 x ? ( y ? 4) ? 16 (亦可先求圆心直角坐标) ……6 分 (Ⅱ)解:因为圆心 M 的直角坐标是 (0, 4) ,圆心 M 到直线 l 的距离 d ? 2 ? 4 , …8 分
所以直线 l 和圆 C 相交.直线 l 被圆 C 截得弦长 ? 2 42 ? 22 ? 4 3 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 | | 1 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, 不等式为 | x ? 2 ? x ? ? | . 2
页 8第

……10 分

由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1,2 的距离之和大于 于 2.∴ x ?

5 1 或x? 2 2

∴不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

5 1? 或x ? ? . 2 2?

……5 分

注 也可用零点分段法求解. (Ⅱ)解:∵ | ax ? 2 | ? | ax ? a |?| a ? 2 | , ∴原不等式的解集为 R 等价于 | a ? 2 |? 2 ,∴ a ? 4 或 a ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ a ? 4 .…10 分 www.ks5



9第


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