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山东省东营一中2016届高三上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年山东省东营一中高三(上)期中数学试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 的定义域是( )

A.

B.

C.

D.

2.要得到 y=sin2x+cos2x 的图象,只需将 y= A.向左平移 C.向右平移 个单位 B.向左平移

sin2x 的图象(

)

个单位

个单位 D.向右平移

个单位

3.若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1)n(3n﹣2) ,则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.﹣12 D.﹣15

)

4.已知非零向量 A. B. C.

满足| D.

|=4|

|,且

⊥(

)则

的夹角为(

)

5. a4+a6=﹣6, n 等于( 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, 则当 Sn 取最小值时, A.6 B.7 C.8 D.9

)

6.已知 α 为第四象限角.sinα+cosα= A.﹣ B.﹣ C. D.

,则 cos2α=(

)

7.如图,在矩形 ABCD 中, ,则 的值是( )

,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

A.

B.2

C.0

D.1

8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b2+c2﹣a2) ,则∠B=( A.90° B.60° C.45° D.30° 9.设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示的是 y=x?f′(x)的图象的一部 ) 分,则 f(x)的极大值与极小值分别是( )

A.f(1)与 f(﹣1) B.f(﹣1)与 f(1) C.f(﹣2)与 f(2) D.f(2)与 f(﹣2) 10.设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的 x∈[a,b],都有 |f(x)﹣g(x)|≤1,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“密切函数”,[a,b]称为“密切区间”, f x) =x2﹣3x+4 与 g =2x﹣3 在[a, b]上是“密切函数”, ) 设( (x) 则它的“密切区间”可以是( A.[1,4] B.[2,3] C.[3,4] D.[2,4]

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设单位向量 满足 ,则 =__________.

12.已知 f(x)=x2+2xf′(1) ,则 f′(0)=__________.

13.设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是__________.

14.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 b7=a7,则 b6b8=__________. 15.给出下列命题: ①函数 y=cos 是奇函数;

,数列{bn}是等比数列,且

②存在实数 α,使得 sinα+cosα= ; ③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ; ④x= 是函数 y=sin 的一条对称轴方程;

⑤函数 y=sin

的图象关于点

成中心对称图形.

其中命题正确的是__________(填序号) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,求△ ABC 面积的最大值. .

17.已知函数 f(x)= (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小值和最小正周期;

,x∈R.

B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, f C) =0, (Ⅱ) 已知△ ABC 内角 A、 且 c=3, ( 若向量 与 共线,求 a、b 的值.

18.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成等比数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

19.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足: ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(n∈N+) .

20. (13 分)已知椭圆

的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 .

,过点 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,且△ AF1B 的周长为

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过定点 M(0,﹣2)的动直线 l 与椭圆 C 相交 P,Q 两点,求△ OPQ 的面积的最大 值(O 为坐标原点) ,并求此时直线 l 的方程. 21. (14 分)已知函数 f(x)=(a﹣ )x2+lnx. (a∈R) (1)当 a=0 时,求 f(x)在 x=1 处的切线方程;

(2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围; (3)设 g(x)=f(x)﹣2ax,h(x)=x2﹣2bx+ .当 a= 时,若对于任意 x1∈(0,2) ,

存在 x2∈[1,2],使 g(x1)≤h(x2) ,求实数 b 的取值范围.

2015-2016 学年山东省东营一中高三(上)期中数学试卷 (文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 的定义域是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数的及诶小时可得可得 ,解方程组求得 x 的范围,即为所求.

【解答】解:由函数

,可得



解得﹣ <x<2, 故选 B. 【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法,属于基础题. 2.要得到 y=sin2x+cos2x 的图象,只需将 y= A.向左平移 C.向右平移 个单位 B.向左平移 sin2x 的图象( )

个单位

个单位 D.向右平移

个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题. 【分析】先利用两角和的正弦公式将函数 y=sin2x+cos2x 变形为 y=Asin(ωx+φ)型函数, 再与函数 y= sin2x 的解析式进行对照即可得平移方向和平移量 y=sin2x+cos2x= (sin2xcos 【解答】 解: ∴只需将 y= sin2x 的图象向左平移 +cos2xsin = ) sin (2x+ = ) sin[2 (x+ )],即 ) ]

个单位,即可得函数 y=

sin[2(x+

y=sin2x+cos2x 的图象 故选 B 【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换,三角变换公式的运用,y=Asin(ωx+φ)型 函数的图象性质,准确将目标函数变形是解决本题的关键

3.若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1)n(3n﹣2) ,则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.﹣12 D.﹣15

)

【考点】数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】通过观察数列的通项公式可知,数列的每相邻的两项的和为常数,进而可求解. 【解答】解:依题意可知 a1+a2=3,a3+a4=3…a9+a10=3 ∴a1+a2+…+a10=5×3=15 故选 A. 【点评】本题主要考查了数列求和.对于摇摆数列,常用的方法就是隔项取值,找出规律.

4.已知非零向量 A. B. C.

满足| D.

|=4|

|,且

⊥(

)则

的夹角为(

)

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由已知向量垂直得到数量积为 0,于是得到非零向量 求出夹角的余弦值. 【解答】解:由已知非零向量 的夹角为 θ, 所以 ? ( =0, ) 即2 =0, 所以 cosθ= θ∈[0, π], , 所以 ; 满足| |=4| |,且 ⊥( ) ,设两个非零向量 的模与夹角的关系,

故选 C. 【点评】 本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角; 熟练运用公 式是关键. 5. a4+a6=﹣6, n 等于( 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, 则当 Sn 取最小值时, A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得. 【解答】解:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得 d=2, 所以 Sn 取最小 , 所以当 n=6 时, )

值. 故选 A. 【点评】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的求法 及计算能力.

6.已知 α 为第四象限角.sinα+cosα= A.﹣ B.﹣ C. D.

,则 cos2α=(

)

【考点】二倍角的余弦. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得 cosα﹣sinα= 角的余弦即可求得 cos2α. 【解答】解:∵sinα+cosα= ,① ,再利用二倍

∴两边平方得:1+2sinαcosα= , ∴2sinαcosα=﹣ <0, ∵α 为第四象限角, ∴sinα<0,cosα>0,cosα﹣sinα>0. ∴cosα﹣sinα= ,② .

∴①×②可解得:cos2α=

故选:D. 【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系,属于中档题. 7.如图,在矩形 ABCD 中, ,则 的值是( ) ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

A.

B.2

C.0

D.1

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】建立直角坐标系,由已知条件可得 F 的坐标,进而可得向量 数量积. 【解答】解:建立如图所示的坐标系,可得 A(0,0) , B( ,0) E 1 F x 2 , ( , ) , ( , ) ∴ =( ,0) , =(x,2) , = x= ,解得 x=1,∴F(1,2) ∴ ∴ =( ,1) , =(1﹣ ,2) = (1﹣ )+1×2= ∴



的坐标,可得

故选:A

【点评】本题考查平面向量数量积的运算,建立直角坐标系是解决问题的关键,属基础题. 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b2+c2﹣a2) ,则∠B=( A.90° B.60° C.45° D.30° 【考点】余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得 sinC 的值,进 而求得 C,然后利用三角形面积公式求得 S 的表达式,进而求得 a=b,推断出三角形为等腰 直角三角形,进而求得∠B. 【解答】解:由正弦定理可知 acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B) =2RsinC=2RsinC?sinC ∴sinC=1,C= . )

∴S= ab= (b2+c2﹣a2) , 解得 a=b,因此∠B=45°. 故选 C 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.作为解三角形常用的定理,我们应熟练记忆和掌 握正弦定理公式及其变形公式. 9.设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示的是 y=x?f′(x)的图象的一部 ) 分,则 f(x)的极大值与极小值分别是(

A.f(1)与 f(﹣1) B.f(﹣1)与 f(1) C.f(﹣2)与 f(2) D.f(2)与 f(﹣2) 【考点】函数的单调性与导数的关系;函数最值的应用.

【分析】当 x<0 时,f′(x)的符号与 x?f′(x)的符号相反;当 x>0 时,f′(x)的符号与 x?f′(x)的符号相同,由 y=x?f′(x)的图象得 f′(x)的符号;判断出函数的单调性得函数 的极值. 【解答】解:由 y=x?f′(x)的图象知, x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0;x∈(﹣2,2)时,f′(x)≤0;x∈(2,+∞)时,f′(x) >0 ∴当 x=﹣2 时,f(x)有极大值 f(﹣2) ;当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2) 故选项为 C 【点评】本题考查识图的能力;利用导数求函数的单调性和极值; .是高考常考内容,需重 视. 10.设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的 x∈[a,b],都有 |f(x)﹣g(x)|≤1,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“密切函数”,[a,b]称为“密切区间”, f x) =x2﹣3x+4 与 g =2x﹣3 在[a, b]上是“密切函数”, ) 设( (x) 则它的“密切区间”可以是( A.[1,4] B.[2,3] C.[3,4] D.[2,4] 【考点】函数的值域. 【专题】计算题;压轴题;新定义. 【分析】根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x2﹣3x+4﹣(2x﹣3)|≤1,求出解集即可 得到它的“密切区间”. 【解答】解:因为 f(x)与 g(x)在[a,b]上是“密切函数”, 则|f(x)﹣g(x)|≤1 即|x2﹣3x+4﹣(2x﹣3)|≤1 即|x2﹣5x+7|≤1, 化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1,因为 x2﹣5x+7 的△ <0 即与 x 轴没有交点,由开口向上得到 x2﹣ 5x+7>0>﹣1 恒成立; 所以由 x2﹣5x+7≤1 解得 2≤x≤3,所以它的“密切区间”是[2,3] 故选 B 【点评】 考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集, 要求学生会解绝对值不等 式. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设单位向量 【考点】向量的模. 【专题】计算题. 【分析】根据题意和数量积的运算法则先求出 【解答】解:∵ ∴ ∴ = = , , =1, =1 ,再求出 . 满足 ,则 = .

=1﹣2+4=3,

故答案为: . 【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模,属于基础题.

12.已知 f(x)=x2+2xf′(1) ,则 f′(0)=﹣4. 【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取 x=1 可求 f′(1)的值,再代 入即可求出 f′(0)的值. 【解答】解:由 f(x)=x2+2xf′(1) , 得:f′(x)=2x+2f′(1) , 取 x=1 得:f′(1)=2×1+2f′(1) , 所以,f′(1)=﹣2. 故 f′(0)=2f′(1)=﹣4, 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查了导数运算,解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f′(1) ,在这里 f′ (1)只是一个常数,此题是基础题.

13.设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8.

【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用分段函数,结合 f(x)≤2,解不等式,即可求出使得 f(x)≤2 成立的 x 的取 值范围. 【解答】解:x<1 时,ex﹣1≤2, ∴x≤ln2+1, ∴x<1; x≥1 时, ∴x≤8, ∴1≤x≤8, 综上,使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8. 故答案为:x≤8. 【点评】本题考查不等式的解法,考查分段函数,考查学生的计算能力,属于基础题. ≤2,

14.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足

,数列{bn}是等比数列,且

b7=a7,则 b6b8=16. 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 各项不为 0 的等差数列{an}满足 用等比数列的性质可得 b6b8= . , 可得 2×2a7﹣ =0, 解得 a7. 利

【解答】解:∵各项不为 0 的等差数列{an}满足 得 a7=4. 数列{bn}是等比数列,且 b7=a7=4. 则 b6b8= =16.

,∴2×2a7﹣

=0,解

故答案为:16. 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 15.给出下列命题: ①函数 y=cos 是奇函数;

②存在实数 α,使得 sinα+cosα= ; ③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ; ④x= 是函数 y=sin 的一条对称轴方程; 的图象关于点 成中心对称图形.

⑤函数 y=sin

其中命题正确的是①④(填序号) . 【考点】余弦函数的奇偶性;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性;正切函数的单调性. 【专题】综合题. 【分析】①利用诱导公式化简函数 y=cos ,即可判断是奇函数;

②通过函数的最值,判断是否存在实数 α,使得 sinα+cosα= 即可得到正误; ③利用正切函数的性质频道若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ 的正误; ④把 x= 代入函数 y=sin 的图象关于点 是否取得最值, 即可判断它是否是一条对称轴方程; 成中心对称图形.利用 x= ,函数是

⑤函数 y=sin 否为 0 即可判断正误;

【解答】解:①函数 y=cos ②存在实数 α,使得 sinα+cosα≤

=﹣sin

是奇函数,正确;

< ;所以不正确;

③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ;显然不正确,如 α=60°,β=390°时不等式 不正确; ④x= y=sin 是函数 y=sin 的一条对称轴方程;把 x= 代入函数

取得最小值,所以正确;

⑤函数 y=sin 以不正确; 故答案为:①④

的图象关于点

成中心对称图形.x=

,函数 y≠0,所

【点评】本题是基础题,考查三角函数的基本知识的综合应用,函数的奇偶性、最值、单调 性、对称性的应用,考查基本知识的灵活运应能力. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,求△ ABC 面积的最大值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】 (1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简已知等式得 2cosBsinA+sin(B+C) =0, 由三角函数的诱导公式可得 sinA=sin (B+C) , 代入前面的等式并整理得 sinA (2cosB+1) =0.由此解出 cosB=﹣ ,即可得出角 B 的大小. (2)利用余弦定理得到 b2=a2+c2﹣2accosB,将 b 及 cosB 的值代入,并利用基本不等式变 形后得出 ac 的最大值,然后再利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将 ac 的 最大值及 sinB 的值代入,即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 【解答】解: (1)∵在△ ABC 中, ∴根据正弦定理,得 =﹣ , , .

去分母,得 cosB(2sinA+sinC)=﹣sinBcosC, 即 2cosBsinA+(sinBcosC+cosBsinC)=0,可得 2cosBsinA+sin(B+C)=0, ∵△ABC 中,sinA=sin(B+C) , ∴2cosBsinA+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0. 又∵△ABC 中,sinA>0, ∴2cosB+1=0,可得 cosB=﹣ . ∵B∈(0,π) ,∴B= π. (2)∵b=3,cosB=cos π=﹣ , ∴由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,即 9=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤3, ∴S△ ABC= acsinB≤ ×3× 则△ ABC 面积最大值为 = . (当且仅当 ac 时取等号) ,

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,诱 导公式,基本不等式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

17.已知函数 f(x)= (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小值和最小正周期;

,x∈R.

B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, f C) =0, (Ⅱ) 已知△ ABC 内角 A、 且 c=3, ( 若向量 与 共线,求 a、b 的值.

【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数公式化简可得 f(x)=sin(2x﹣ (Ⅱ)由 f(C)=sin(2C﹣ )﹣1=0 结合角的范围可得 C= )﹣1,可得最小值和周期; ,再由向量共线和正弦定理

可得 b=2a,由余弦定理可得 ab 的方程,解方程组可得. 【解答】解: (Ⅰ)化简可得 f(x)= sin2x﹣ cos2x﹣1=sin(2x﹣ )﹣1,

∴f(x)的最小值为﹣2,最小正周期为 T=π (Ⅱ)∵f(C)=sin(2C﹣ ∵0<C<π,∴﹣ ∴2C﹣ ∵ ∴sinB﹣2sinA=0, ∴由正弦定理可得 = = ,即 b=2a,① ,② = <2C﹣ , 共线, )﹣1=0,∴sin(2C﹣ < , )=1,

,∴C= 与

∵c=3,∴由余弦定理可得 9=a2+b2﹣2abcos

联立①②解方程组可得 【点评】本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的周期性和余弦定理,属中档题. 18.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成等比数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】 (1)由题意得 (2)由 a1=6,d=4,得 Sn=2n2+4n, Tn= .

,由此能求出 an=4n+2. = = ﹣ = ,从而 < ,由此能证明 ≤Tn<

【解答】解: (1)由题意得 解得 a1=6,d=4, ∴an=6+(n﹣1)×4=4n+2. (2)∵a1=6,d=4, ∴Sn=6n+ = ∴Tn= = = ﹣ (Tn)min=T1= ﹣ 故 ≤Tn< . < , = . = =2n2+4n, ,



【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用.

19.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足: ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(n∈N+) .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用递推关系与等差数列的通项公式可得 an; (2)利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解: (1)∵ (n∈N+) .

∴当 n=1 时,4a1=

,解得 a1=1. ﹣ ,

当 n≥2 时,4an=4(Sn﹣Sn﹣1)= 化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0, ∵数列{an}各项均为正数,∴an﹣an﹣1=2.

∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 2. ∴an=2n﹣1. (2) =(2n﹣1)?2n﹣1.

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=1+3×2+5×22+…+(2n﹣1)?2n﹣1, ∴2Tn=2+3×22+…+(2n﹣3)?2n﹣1+(2n﹣1)?2n, ∴﹣Tn=1+2(2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)?2n= ﹣1﹣(2n﹣1)?2n=(3﹣2n)

?2n﹣3, ∴Tn=(2n﹣3)?2n+3. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系的应用、 “错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (13 分)已知椭圆

的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 .

,过点 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,且△ AF1B 的周长为

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过定点 M(0,﹣2)的动直线 l 与椭圆 C 相交 P,Q 两点,求△ OPQ 的面积的最大 值(O 为坐标原点) ,并求此时直线 l 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)由题意可得:

,解得即可得出;

(2)由题意可知:直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,P(x1,y1) ,Q(x2, 2 2 y2) .与椭圆方程化为(2+3k )x ﹣12kx+6=0, 利用根与系数的关系可得:|PQ|= .原点 O 到直线

l 的距离 d=

.利用 S△ OPQ=

即可得出.

【解答】解: (1)由题意可得:

,解得 a=

,c=1, b2=2.

∴椭圆 C 的标准方程为



(2)由题意可知:直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 联立 ,化为(2+3k2)x2﹣12kx+6=0,

∴x1+x2= |PQ|=

,x1x2=



=

=



原点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△ OPQ=

=

×

=



令 3k2﹣2=t2(t>0) , ∴S△ OPQ= ∴ , = = ,当且仅当 t=2,即 时取等号.



【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二 次根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式,考 查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=(a﹣ )x2+lnx. (a∈R) (1)当 a=0 时,求 f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围;

(3)设 g(x)=f(x)﹣2ax,h(x)=x2﹣2bx+

.当 a= 时,若对于任意 x1∈(0,2) ,

存在 x2∈[1,2],使 g(x1)≤h(x2) ,求实数 b 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 【专题】分类讨论;分类法;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,可得切线的方程; (2)令 ,由题意可得 g(x)<0 在区间 ,②若 ,判断单调

(1,+∞)上恒成立.求出 g(x)的导数,对 a 讨论,①若

性,求出极值点,即可得到所求范围; (3)由题意可得任意 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2],只要 g(x1)max≤h(x2)max,运用单 调性分别求得 g(x)和 h(x)的最值,解不等式即可得到所求 b 的范围. 【解答】解: (1)f(x)=﹣ x2+lnx 的导数为 f′(x)=﹣x+ , f(x)在 x=1 处的切线斜率为 0,切点为(1,﹣ ) , 则 f(x)在 x=1 处的切线方程为 (2)令 ; ,

则 g(x)的定义域为(0,+∞) . 在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方 等价于 g(x)<0 在区间(1,+∞)上恒成 立.

① ①若 ,令 g'(x)=0,得极值点 x1=1, ,

当 x2>x1=1,即

时,在(0,1)上有 g'(x)>0,

在(1,x2)上有 g'(x)<0,在(x2,+∞)上有 g'(x)>0, 此时 g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数, 并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2) ,+∞) ,不合题意; 当 x2≤x1=1,即 a≥1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上, 有 g(x)∈(g(1) ,+∞) ,也不合题意; ②若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 g'(x)<0,

从而 g(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 g(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 ,

由此求得 a 的范围是[ 综合①②可知,当 a∈[ (3)当

, ]. , ]时,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方.

时,由(Ⅱ)中①知 g(x)在(0,1)上是增函数, ,

在(1,2)上是减函数,所以对任意 x1∈(0,2) ,都有 又已知存在 x2∈[1,2],使 g(x1)≤h(x2) , 即存在 x2∈[1,2],使 即存在 x2∈[1, 2],使 因为 所以 ,解得 . , ,所以实数 b 的取值范围是 . ,即存在 x2∈[1,2], ,

【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调性,考查不等式恒成立问题及任意性和 存在性问题,注意转化为求最值问题,考查运算能力,属于中档题.


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