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3.1.4空间向量的坐标运算


3.1.4 空间向量的坐标表示

提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?

一、空间直角坐标系

下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3

墙 墙

地面
4

1

(4,5,3)
5

O 1

y

x

从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴,这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向,若中 指指向z轴的正方向,则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: ☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
x o

z

y

空间直角坐标系的画法:
z

1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴.
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同,

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x

有了空间直角坐标系,那空间中的 任意一点A怎样来表示它的坐标呢?
z

c

A(a,b,c) b

o
a

y

经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序实数对(a,b,c)叫做 点A的坐标

x

记为:A(a,b,c)

例1
在空间直角坐标系中,作出点(5,4,6). z 分析:
从原点出发沿x轴 O P1 正方向移动5个单位 沿与y轴平行的方向 5 o P1 P P1 向右移动4个单位
2


P (5,4,6)


y
P2


2

x 沿与z轴平行的方向 向上移动6个单位 P

例2.如图,已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点A为坐标 原点,射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
z
A` B` B D`

O A

C` D

y
C

x

在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么 特点?
z
R ( 0 ,0 , z )

B (0, y , z )
?

C ( x,o, z)

M ( x, y, z)

O ( 0 ,0 ,0 ) o
x
P ( x ,0 ,0 )

Q ( 0 , y ,0 )

y

A ( x , y ,0 )

1.x轴上的点横 坐标就是与x轴交 点的坐标,纵坐标 和竖坐标都是0. 2.xoy坐标平面 内的点的竖坐标为 0,横坐标与纵坐 标分别是点向两轴 作垂线交点的坐标.

单位正交基底: 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直,且大小都为1,那么这个基底叫做单位正交 ? ? ? ? ? ? 基底,常用 { i , j , k } 来表示. k

空间向量
? ? p

?

? ? ? ? i, j, k

? i

? 为基底

? j
有序实数组
( x, y, z)

? ? ? ? ? ? p ? xi ? y j ? zk

一一对应

因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系

空间直角坐标系

点,分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴, 这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴,都叫 ? ? ? ? 做叫做坐标轴,点O 叫做原点,向量 i , j , k 都叫做坐标向量.通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. ? ? z a 对空间任一向量 ,由空间

? ? ? ? 在空间选定一点O和一个单位正交基底{ i , j , k } 以点O为原 ? ? ? ?

a

向量基本定理,存在唯一的有序实 数组
? ? ? ? ? ( a 1 , a 2 , a 3 ) ,使 a ? a 1 i ? a 2 j ? a 3 k .

A (a1 , a 2 , a 3 )

k i
Oj

? 叫做 a

有序实数组 ( a 1 , a 2 , a 3 ) 就

y

在这一空间直角坐标系 x ? 下的坐标. 记为 a ? ( a , a , a ) . 1 2 3

在空间直角坐标系O – x y z 中,对空间任一点A, ??? ? 对应一个向量 O ? ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, A ??? ? ? ? ? 使 O A ? x i ? y j ? z k (如图). 我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z),其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 显然, 向量 的坐标,就是点A在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z). ??? ? 即 O A ? ( x , y , z ) ? A( x , y , z ) A(x,y,z) 也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐 标建立起一一对应的关系,从而互 相转化.
k i O j y
??? ? OA

x

空间向量运算的坐标规律: ? ? 设 a ? ( a 1 , a 2 , a 3 ), b ? ( b1 , b 2 , b 3 ) , 则 ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) ? ? a ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )( ? ? R )
? ? a // b ?

a 1 ? ? b1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R )

? ? 练习1:已知 a ? ( 2 , ? 3 , 5 ), b ? ( ? 3 ,1, ? 4 ),

? ? ? ? ? ? ? 求 a ? b , a ? b ,8 a , a ? b

? ? 解: a ? b ? ( 2, ? 3, 5) ? ( ? 3,1, ? 4 ) ? ( ? 1, ? 2,1) ? ? a ? b ? ( 2, ? 3, 5) ? ( ? 3,1, ? 4 ) ? (5, ? 4, 9 )

? 8 a ? 8(2, ? 3, 5) ? (16, ? 24, 40) ? ? a ? b ? (2, ? 3, 5) ? ( ? 3,1, ? 4) ? ? 29

如果知道有向线段的起点和终点的坐标,

那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则,关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化,为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时,首先要选定单位正交 基,进而确定各向量的坐标。

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。

作业:课本 P

107

第 7、8、9 题


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