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1.1.1 集合的概念与表示


课题导入
观察下列对象:
(1) 2,4,6,8,10,12;

(2)我校的篮球队员;
(3)满足x-3>2 的实数; (4)我国古代四大发明; (5)抛物线y=x2上的点.

1.1.1集合的含义与表示

目标引领
(1)能准确判断哪些对象能构成集合, 能运用集合元素的互异

性进行计算 (2)正确使用集合及元素的符号,熟记 常见集合的记号 (3)能准确用符号与来表示元素与集合 的关系,能用列举法或描述法正确表示 集合

独立自学
1、什么是集合?什么是元素?元素与 集合有几种关系?什么是相等集合? 2、用符号如何表示集合与元素?用符 号如何表示元素与集合的关系? 3、如何表示集合?什么是例举法?什 么是描述法?描述法构成要素有几个?

引导探究一 集合的含义
?

元素:我们把研究的对象统称为元素; 常用小写字母a, b, c …表示元素.

?

集合:把能够确定的不同元素的全体叫 做集合,简称集.我们常用大写字母A,B, C…表示集合

集合的三要素
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 关键要看 是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象, 若鉴定对象确定的客观标准存在,则这些对象 就能构成集合,否则不能构成集合. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同的. 如: 方程 x2-?x+?=0的解集为{1}而非{1,1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1, 2},{2,1}为同一集合.

例 1:
对于以下说法: ①接近于 0 的数的全体构成一个集合; ②棱柱的全体构成一个集合; ③未来世界的高科技产品构成一个集合; ④不大于 3 的所有自然数构成一个集合. 正确的是( D )

(A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)②④

集合中元素的确定性是集合最基本的特征,即是否可以找到一个 明确的评判标准来判断,这是能否构成集合的主要依据.

集合相等
? 集合相等:构成两个集合的元素是一样的. ? 判断正误: ( 1) ( 2)

??1,2?? ? ?? 2,1??

??1,2? , ? 2,1?? ? ??2,1? , ?1,2??

引导探究二
集合与元素的关系:
?

如果a是集合A的元素,就说a属于集合A, 记作a∈A. 如果a不是集合A的元素,就说a不属于 集合A,记作a?A.
例如:A表示方程 x 2 ? 1 的解集. 2?A,1∈A.

?

重要的数集:
? ? ? ? ? N:自然数集(含0) ? N :正整数集(不含0) Z:整数集 Q:有理数集 R:实数集

空集(?)

我们看这样一个集合:{ x |x2+x+1=0}, 它有什么特征? 显然这个集合没有元素.我们把这样的 集合叫做空集,记作?. 练习2:⑴ 0 ? ? (填 ∈ 或 ? )

引导探究三 集合的表示方法
?

列举法 描述法 区间表示

?

?

列举法
? 将集合中的元素一一列举出来,元素与元 素之间用逗号隔开。 ? 用花括号{ }括起来

用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 2 ? x的所有实数根组成的集合; (3)方程 ? x ? 1?2 ? 0 的所有实数根组成的集合; (4)由1~20以内的所有质数组成的集合. 解: (1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {1,0} (3) {1} (4) {2,3,5,7,11,13,17,19}

例2

思考?
? 你能用列举法表示不等式 x ? 7 ? 3 的解 集吗?

描述法
? 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法, 称为描述法.如: ?x ? R | x ? 10? ? 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般 符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征.

?一般符号?范围| 共同特征?

思考:所有奇数的集合该怎样表 示?
?

x? Z x ? 2k ? 1, k ? Z

用描述法与列举法表示以下集合
(1)方程 x ? 2 ? 0的所有实数根组成的集合;
2

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解:(1)用描述法 x ? R x 2 ? 2 ? 0 用列举法
2 ,? 2

(2)用描述法
用列举法

x ? Z 10 ? x ? 20
11,12,13,14,15,16,17,18,19

区间的概念:
设a、b是两个实数,且a<b,规定: ① 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合, 叫作闭区间, 记作 [a,b], ② 满足不等式a<x<b的实数x的集合, 叫作开区间, 记作 (a,b), ③ 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合, 叫作半开半闭区间, 分别记作[a,b), (a,b], 定义 名称 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x| a<x<b } 开区间 {x| a≤x<b} 半开半闭区间 {x| a<x≤b} 半开半闭区间 符号 [a, b] (a, b) [a, b) (a, b] 数轴表示
a b a a a b b b

例3
用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数集合; (2)大于 4 的全体奇数构成的集合; (3)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; (4)三角形的全体构成的集合.
思路点拨:用描述法表示集合.解答此类问题要清楚集合中的代表元素是什么,元素满 足什么条件,并能正确运用符号语言或自然语言写出描述条件.

解:(1){x|x=5k+1,k∈N}; (2){x|x=2k+1,k≥2,k∈N}; (3){(x,y)|xy=0}; (4){x|x 是三角形}。
集合的表示方法有两种形式,要掌握同一集合的多种表达形式,还要学会准 确选择最佳最简的表示方法.

区间的概念:
设a、b是两个实数,且a<b,规定:

④实数集R记作(-∞,+∞), ⑤满足不等式x≥a的实数x的集合,记作[a, +∞ );
⑥满足不等式x>a的实数x的集合, 记作(a, +∞ ); ⑦满足不等式x≤b的实数x的集合,记作(-∞ ,b];

⑧满足不等式x<b的实数x的集合, 记作(-∞ ,b);

区间表示(a<b)
? 闭区间

?x | a ? x ? b? 可表示为 ? a, b?
? ? ? ? ? ? 开区间

?x | a ? x ? b? 可表示为 ? a, b ? ?x | ?? ? x ? ??? 可表示为? ??, ??? 或R
半开半闭区间 ?x | a<x ? b? 可表示为 ? a,b? ?x | a ? x<+?? 可表示为 ?a, +??

目标升华
关键词: 集合、元素、集合的元素的特征、集合相等、 元素与集合的关系; 集合与元素的字母表示 常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+; 整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R; 集合表示法: 列举法、描述法、区间法,文氏图

当堂诊学
完成课本P5页练习题

提高题: 已知集合 A={x|ax2+2x+1=0, a∈R, x∈R}. (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.
1 解:(1)当 a=0 时,方程 2x+1=0 只有一根 x=- ; 2 当 a≠0 时,Δ=0,即 4-4a=0, 所以 a=1,这时 x1=x2=-1, 1 所以,当 a=0 或 a=1 时,A 中只有一个元素分别为- 或 2 -1. (2)A 中至多有一元素包括两种情形即 A 中有一个元素和 A 是空集. ? ?a≠0 当 A 是空集时,则有? , ? ?Δ=4-4a<0 解得 a>1; 结合(1)知,当 a=0 或 a≥1 时,A 中至多有一个元素.


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