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云南省昆明市富民一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


云南省昆明市富民一中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∩(?UB)=() A.{4,5} B.{2,3} C.{1} D.{2}

/>2. (5 分)函数 f(x)= A.4 3. (5 分)函数 y= A. B. 5

,则 f(3)=() C. 6 D.7

的定义域为() B. C. D.

4. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={2,4},定义集合 A、B 之间的运算,A*B={x|x∈A 且 x?B},则集合 A*B 等于() A.{1,2,3} B.{2,4} C.{1,3} D.{2} 5. (5 分)下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y=x﹣1 和 B. y=x 和 y=1
0

C. f(x)=x 和 g(x)=(x+1)

2

2

D.



6. (5 分)比较 A.2 < C. <
3.1

、2 、

3.1

的大小关系是() B. <2 < < <2
3.1 3.1

< <2
3.1

D. 的图象是()

7. (5 分)函数 f(x)=2

1﹣|x|

A.

B.

C.

D. 8. (5 分)如果函数 y=x +(1﹣a)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围 是() A.a≥9 B.a≤﹣3 C . a≥ 5 D.a≤﹣7 9. (5 分)如果 A. B. ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=() C. D.
2

10. (5 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0, 则不等式 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣ 2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 11. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)= 围是() A.(﹣1,0)∪(0,1) (0,1)
2

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范

B.(﹣1,0)∪(0,1] C. (0,1] D.

12. (5 分)定义在[﹣1,0)∪(0,1]的奇函数 f(x) ,在(0,1]的图象如图,f(x)﹣f(﹣ x)>﹣1 的解集是()

A. D.

B.

C.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 f(x)=x ﹣|3x﹣2a|是偶函数,则实数 a 等于. 14. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x≤2},B={x|x≥a}且 A?B,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)函数 y= 的单调递增区间为.
﹣2

16. (5 分)函数

(0≤x≤3)的值域为.

三、解答题(共 7 小题,满分 70 分) 17. (10 分)不用计算器求下列各式的值. (1) ;

(2)已知 a=

,b=

,求[

] 的值.

2

18. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B、 (?UA)∪(?UB) ; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围. 19. (12 分)若函数 f(x)=x +ax 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x)成立,求实数 a 的值. 20.f(x)是偶函数,当 x<0 时,f(x)=x(x+1) ,求的解析式,画出函数图象,并写出单 调区间.
2

21. (12 分)已知函数



(1)设 f(x)的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明.

22. (12 分) 我国是水资源匮乏的国家, 为鼓励节约用水, 某市打算出台一项水费政策措施. 规 定: 每季度每人用水量不超过 5 吨时, 每吨水费收基本价 1.3 元; 若超过 5 吨而不超过 6 吨时, 超过部分的水费按基本价 3 倍收取;若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费按基本价 5 倍收取.某人本季度实际用水量为 x(0≤x≤7)吨,应交水费为 f(x)元. (Ⅰ)求 f(4) ,f(5.5) ,f(6.5)的值; (Ⅱ)试求出函数 f(x)的解析式. 23. (12 分)设函数 f(x)=x +2ax﹣a﹣1,x∈[0,2],a 为常数. (1)求 f(x)的最小值 g(a)的解析式; (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m,使得 g(a)﹣m≤0 对于任意 a∈R 均成立,若存在, 求出 m 的值;若不存在,请说明理由.
2

云南省昆明市富民一中 2014-2015 学年高一上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∩(?UB)=() A.{4,5} B.{2,3} C.{1} D.{2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用集合的补集的定义求出集合 B 的补集;再利用集合的交集的定义求出 A∩CUB 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3}, ∴?UB={1,4,5} A∩?UB={1,2}∩{1,4,5}={1} 故选 C. 点评: 本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算.

2. (5 分)函数 f(x)= A.4 B. 5

,则 f(3)=() C. 6 D.7

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 判断出 3>1,代入第二段解析式求解. 解答: 解:∵3>1,代入第二段解析式 ∴f(3)=2×3﹣1=5

故选 B 点评: 本题考查分段函数求函数值,要确定好自变量的取值或范围,再代入相应的解析式 求得对应的函数值 3. (5 分)函数 y= A. 的定义域为() B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解:要使函数有意义,则 4x+2≥0,

解得 x≥﹣ , 故选:A 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 4. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={2,4},定义集合 A、B 之间的运算,A*B={x|x∈A 且 x?B},则集合 A*B 等于() A.{1,2,3} B.{2,4} C.{1,3} D.{2} 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 新定义. 分析: 主要根据 A*B 中元素的特征, 即是集合 A 中的元素但是不集合 B 中的元素进行求解. 解答: 解:由题意知,A*B={x|x∈A 且 x?B}, 当 A={1,2,3},B={2,4}时,A*B={1,3}. 故选 C. 点评: 本题考查了对新定义的集合运算的运用,关键要理解集合运算后所得集合中元素的 性质. 5. (5 分)下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y=x﹣1 和 B. y=x 和 y=1
0

C. f(x)=x 和 g(x)=(x+1)

2

2

D.



考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 通过对各选项的函数求出定义域、对应法则、值域,若三者相同时同一个函数. 解答: 解:对于 A,y=x﹣1 定义域为 R, 的定义域为 x≠﹣1,故不是同一个函数

对于 B,y=x 定义域为 x≠0,y=1 的定义域为 R,故不是同一个函数 对于 C,两个函数的对应法则不同,故不是同一个函数 对于 D,定义域都是(0,+∞)而法则 ,是同一

0

函数 故选 D 点评: 本题考查函数的三要素:定义域、值域、对应法则.利用函数的三要素判断两个函 数是否是同一函数.

6. (5 分)比较 A.2 < C. <
3.1

、2 、

3.1

的大小关系是() B. <2 < < <2
3.1 3.1

< <2
3.1

D.

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由 y=2 为增函数可得, 解答: 解:由于函数 y=2 为增函数可得, 而由幂函数的性质可得, ∴ 故选 C. 点评: 本题主要考查了利用指数函数与幂函数的单调性比较大小,属于函数单调性的基本 应用. 7. (5 分)函数 f(x)=2
1﹣|x| x x

,由幂函数的性质可得,

的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像变换. 函数的性质及应用. 根据函数的性质以及函数与图象之间的关系即可得到结论. 解:函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,则排除 A.D.
1﹣|x| 1

∵f(x)=2 的≤=2 =2, ∴当 x=0 时,函数取得最大值, 故排除 B,选 C, 故选:C 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数的性质判断函数的图象是解决本题 的关键. 8. (5 分)如果函数 y=x +(1﹣a)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围 是() A.a≥9 B.a≤﹣3 C . a≥ 5 D.a≤﹣7 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 求出函数 y=x +(1﹣a)x+2 的对称轴 x= 解答: 解:函数 y=x +(1﹣a)x+2 的对称轴 x= 可得 ≥4, ,得 a≥9.
2 2 2

,令

≥4,即可解出 a 的取值范围.

又函数在区间(﹣∞,4]上是减函数,

故选 A. 点评: 考查二次函数图象的性质,二次项系数为正时,对称轴左边为减函数,右边为增函 数,本题主要是训练二次函数的性质. 9. (5 分)如果 A. B. ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=() C. D.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 令

, 则 x= , 代入到

, 即得到 f (t) =

, 化简得: f (t) =



在将 t 换成 x 即可. 解答: 解:令 ∵ ,则 x=

∴f(t)=



化简得:f(t)= 即 f(x)= 故选 B 点评: 本题主要利用换元法求解函数解析式,在作答中容易忽略换元之后字母的范围,属 于基础题. 10. (5 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0, 则不等式 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣ 2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性求出 f(﹣2)=0,xf(x)<0 分成两类,分别利用函数的单调性 进行求解. 解答: 解:∵f(x)为奇函数,且满足 f(2)=0,且在(0,+∞)上是增函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(﹣∞,0)内是增函数 ∵xf(x)<0, ∴ 或

根据在(﹣∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是增函数 解得:x∈(0,2)∪(﹣2,0) . 故选:D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基 础题.
2

11. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)= 围是() A.(﹣1,0)∪(0,1) (0,1) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 分析函数 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=
2

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范

B.(﹣1,0)∪(0,1] C. (0,1] D.

的图象和性质,易分别得到他们在区间

[1,2]上是减函数时,a 的取值范围,综合讨论后,即可得到答案.

解答: 解:∵f(x)=﹣x +2ax 的图象是开口朝下,以 x=a 为对称轴的抛物线 2 若 f(x)=﹣x +2ax 在区间[1,2]上是减函数,则 a≤1 函数 g(x)= 若 g(x)= 的图象是以(﹣1,0)为对称中心的双曲线 在区间[1,2]上是减函数,则 a>0

2

综上,a 的取值范围是(0,1] 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的单调性,其中熟练掌握初等基本函数的图象和性质是解 答本题的关键. 12. (5 分)定义在[﹣1,0)∪(0,1]的奇函数 f(x) ,在(0,1]的图象如图,f(x)﹣f(﹣ x)>﹣1 的解集是()

A. D.

B.

C.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质结合图象即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数, ∴不等式等价为 f(x)+f(x)>﹣1, 即 f(x)> , ,

则由图象可知不等式的解 x∈

故选:A 点评: 本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 f(x)=x ﹣|3x﹣2a|是偶函数,则实数 a 等于 0. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性的定义得出 x ﹣|3x﹣2a|=)=x ﹣|3x+2a|,求出 2a=0.a=0. ﹣2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣|3x﹣2a|是偶函数, ∴f(x)=f(﹣x) , ∴x ﹣|3x﹣2a|=)=x ﹣|3x+2a|,
﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2

即|3x﹣2a|=|3x+2a|, 故答案为:0 点评: 本题考查了函数的奇偶性的定义,属于化简题目,得出条件即可,难度不大. 14. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x≤2},B={x|x≥a}且 A?B,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ 3]. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 由集合 A={x|﹣3≤x≤2},B={x|x≥a}且 A?B,可得 a≤﹣3,用区间表示可得 a 的取值 范围. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣3≤x≤2},B={x|x≥a}且 A?B, ∴a≤﹣3, ∴实数 a 的取值范围是: (﹣∞,﹣3], 故答案为: (﹣∞,﹣3] 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用, 其中根据子集的定义, 得到 a≤﹣3, 是解答的关键. 的单调递增区间为(﹣∞, ].

15. (5 分)函数 y=

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用复合函数的单调性判断函数的单调区间. 解答: 解:∵y=x ﹣3x+2 在(﹣∞, ]上是减函数, 在( ,+∞)上是增函数; 又∵y= 故函数 y= 故答案为: (﹣∞, ]. 点评: 本题考查了复合函数的单调性的判断,属于基础题. 在 R 上是减函数; 的单调递增区间为(﹣∞, ];
2

16. (5 分)函数

(0≤x≤3)的值域为[1,16].

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 0 4 分析: 设 u(x)=x ﹣2x+1, (0≤x≤3) ,求出 0≤u(x)≤4,根据函数的单调性得出,2 ≤y≤2 , 即可得出值域. 2 解答: 解:设 u(x)=x ﹣2x+1, (0≤x≤3)

对称轴 x=1, u(1)=0,u(3)=4, 0≤u(x)≤4,2 ≤y≤2 ∴函数
0 4

(0≤x≤3)的值域为:[1,16]

故答案为:[1,16] 点评: 本题考查了复合函数的单调性,值域的求解,属于中档题,难度不大. 三、解答题(共 7 小题,满分 70 分) 17. (10 分)不用计算器求下列各式的值. (1) ;

(2)已知 a=

,b=

,求[

] 的值.

2

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) (2)利用指数幂的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= ﹣1﹣

+

=

= .

(2)∵a=

,b=



∴原式=

=

=

=

=



点评: 本题考查了指数幂的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B、 (?UA)∪(?UB) ; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)求出集合 B,然后直接求 A∩B,通过(CUA)∪(CUB)CU(A∩B)求解即可; (2)通过 M=?与 M≠?,利用集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,直接求实数 k 的取 值范围. 解答: 解: ( 1) 因为全集 U=R, 集合 A={x|x<﹣4, 或 x>1}, B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3},

所以 A∩B={x|1<x≤3}; (CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)={x|x≤1,或 x>3}; (2)①当 M=?时,2k﹣1>2k+1,不存在这样的实数 k. ②当 M≠?时,则 2k+1<﹣4 或 2k﹣1>1,解得 k 或 k>1.

点评: 本题考查集合的基本运算,转化思想与分类讨论思想的应用,考查计算能力. 19. (12 分)若函数 f(x)=x +ax 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x)成立,求实数 a 的值. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意得出函数的对称轴 x=
2 2

=1,即可求解.

解答: 解:∵函数 f(x)=x +ax 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x)成立, ∴函数的对称轴 x= =1,

∴a=﹣2, 点评: 本题考查了二次函数的对称性,属于基础题,难度不大. 20.f(x)是偶函数,当 x<0 时,f(x)=x(x+1) ,求的解析式,画出函数图象,并写出单 调区间. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的定义求解 f(x)= 出单调区间. 解答: 解:∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , ∵当 x<0 时,f(x)=x(x+1) , ∴设 x>0,则﹣x<0, ∴f(x)=f(﹣x)=﹣x(1﹣x)=x(x﹣1) , (x>0) ∴f(x)= , , (2)画出图象,据图写

(2) (

) (﹣

)单调递增, (

) (

)单调递减.

点评: 本题考查了函数的性质,图象,运用图象解决问题,属于中档题.

21. (12 分)已知函数



(1)设 f(x)的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)f(x)为分式函数,则由分母不能为零,解得定义域; (2)要求用定义证明,则先在(1,+∞)上任取两变量且界定大小,然后作差变形看符号. 解答: 解: (1)由 x ﹣1≠0,得 x≠±1, 所以,函数 的定义域为 x∈R|x≠±1(4 分)
2

(2)函数

在(1,+∞)上单调递减. (6 分)

证明:任取 x1,x2∈(1,+∞) ,设 x1<x2, 则△ x=x2﹣x1>0, ∵x1>1,x2>1,∴x1 ﹣1>0,x2 ﹣1>0,x1+x2>0. 又 x1<x2,所以 x1﹣x2<0,故△ y<0. 因此,函数 在(1,+∞)上单调递减. (12 分)
2 2

(8 分)

点评: 本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性.

22. (12 分) 我国是水资源匮乏的国家, 为鼓励节约用水, 某市打算出台一项水费政策措施. 规 定: 每季度每人用水量不超过 5 吨时, 每吨水费收基本价 1.3 元; 若超过 5 吨而不超过 6 吨时, 超过部分的水费按基本价 3 倍收取;若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费按基本价 5 倍收取.某人本季度实际用水量为 x(0≤x≤7)吨,应交水费为 f(x)元. (Ⅰ)求 f(4) ,f(5.5) ,f(6.5)的值; (Ⅱ)试求出函数 f(x)的解析式. 考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 应用题. 分析: (1)根据每一季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元,求 f(4) ; 根据若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%求 f(5.5) ; (2)根据每一季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元;若超过 5 吨而不超 过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%;若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费加收 400%.分为三段,建立分段函数模型. 解答: 解: (1)根据题意 f(4)=4×1.3=5.2;f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45; f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×6.5=13.65. (2)根据题意: ①当 x∈[0,5]时 f(x)=1.3x ②若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%; 即:当 x∈(5,6]时 f(x)=1.3×5+(x﹣5)×3.9=3.9x﹣13 ③当 x∈(6,7]时 f(x)=6.5x﹣28

∴f(x)=



点评: 本题主要考查做应用题时:要仔细阅读,抓住关键词,关键句来建立数学模型,同 时考查了学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解的能力. 23. (12 分)设函数 f(x)=x +2ax﹣a﹣1,x∈[0,2],a 为常数. (1)求 f(x)的最小值 g(a)的解析式; (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m,使得 g(a)﹣m≤0 对于任意 a∈R 均成立,若存在, 求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴,分类讨论给定区间与对称轴的关 系,分析函数的单调性后,可得最值; (2)若 g(a)﹣m≤0 恒成立,则 m 不小于 g(a)的最大值,分析函数 g(a)的单调性求阳 其最值可得答案. 解答: 解: (1)对称轴 x=﹣a
2

①当﹣a≤0?a≥0 时, f(x)在[0,2]上是增函数,x=0 时有最小值 f(0)=﹣a﹣1…(1 分) ②当﹣a≥2?a≤﹣2 时, f(x)在[0,2]上是减函数,x=2 时有最小值 f(2)=3a+3…(1 分) ③当 0<﹣a<2?﹣2<a<0 时, 2 f(x)在[0,2]上是不单调,x=﹣a 时有最小值 f(﹣a)=﹣a ﹣a﹣1…(2 分)



…(2 分)

(2)存在, 由题知 g(a)在 ∴ 时, 是增函数,在 ,…(2 分) 是减函数

g(a)﹣m≤0 恒成立 ?g(a)max≤m, ∴ …(2 分) ,

∵m 为整数, ∴m 的最小值为 0…(1 分) 点评: 本题考查的知识点是函数的恒成立问题,函数解析式的求法,其中(1)中分类讨论 思想, (2)中的转化思想是高中数学中最重要的数学思想,一定要熟练掌握


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