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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】两条直线的位置关系


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[学习要求] 1.理解 并掌握两 条直线平行 的条件及 两条直线垂 直的 条件; 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直;

两条直线的位置关系

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3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用. [学法指导] 通过把两条直线的平行与垂直问题,转化为研究两条直

线的斜率的关系问题,培养运用已有知识解决新问题的 能力,以及数形结合能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.两条不重合直线 l1:y=k1x+b1 和 l2:y=k2x+b2(b1≠b2), 若 l1∥l2 ,则 k1=k2;反之,若 k1=k2,则 l1∥l2 . 2.设直线 l1:y=k1x+b1,直线 l2:y=k2x+b2.若 l1⊥l2,则

k1·2=-1;反之,若 k1·2=-1 ,则 l1⊥l2.特别地,对 k k
于直线 l1:x=a,直线 l2:y=b,由于 l1⊥x 轴,l2⊥y 轴, 所以 l1⊥l2.

研一研·问题探究、课堂更高效

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[问题情境]
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为了表示直线的倾斜程度,我们引入了直线的倾斜角与斜率的概 念,并推导出了斜率的坐标计算公式,即把几何问题转化为代数 问题.那么,我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平 行或垂直呢?本节我们就来研究这个问题.

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探究点一 两条直线平行的判定

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导引 如图, 对于两条不重合的直线 l1 与 l2, 已 知 l1∥l2,其倾斜角分别为 α1 与 α2,斜率分别
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为 k1、k2. 问题 1 α1 与 α2 之间有什么关系?
答 α1=α2. 问题 2 k1 与 k2 之间有什么关系?为什么? 答 k1=k2.由 α1=α2, 可得 tan α1=tan α2,即 k1=k2. 问题 3 对任意两条不重合的直线,若有 k1=k2,是否一定 有 l1∥l2?

答 一定有 l1∥l2.

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问题 4 对于任意两条不重合的直线,若 l1∥l2,是否一定有 k1=k2?为什么?
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答 不一定, 因为当 l1∥l2 且都垂直于 x 轴时, 1, 2 不存在, k k 更谈不上相等.

小结

(1)两条不重合直线 l1 :y=k1x+b1 和 l2 :y=k2x+

b2(b1≠b2),若 l1∥l2,则 k1=k2;反之,若 k1=k2,则 l1∥l2. (2)如果 l1,l2 的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都是 90° , 从而它们互相平行或重合.

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例1 判断下列各对直线是否平行,并说明理由: (1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+5; (2)l1:y=2x+1,l2:y=3x;
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(3)l1:x=5,l2:x=8. 解 (1)设两直线的斜率分别是 k1,k2,在 y 轴上的截距分别是
b1,b2,则 k1=3,b1=2,k2=3,b2=5. 因为 k1=k2,b1≠b2,所以 l1∥l2.

(2)设两直线的斜率分别是 k1,k2,在 y 轴上的截距分别是 b1, b2,则 k1=2,k2=3,b1=1,b2=0. 因为 k1≠k2,所以 l1 与 l2 不平行. (3)由方程可知,l1⊥x 轴,l2⊥x 轴,且两直线在 x 轴上截距不相 等,所以 l1∥l2. 小结 判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如 两直线重合,斜率不存在等.

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跟踪训练 1 已知 A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试 判断直线 BA 与 PQ 的位置关系,并证明你的结论.
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3-0 1 解 直线 BA 的斜率 k1= = ,所以直线 AB 的方程 2-?-4? 2 2-1 1 1 为 y=2(x+4),即 y=2x+2.直线 PQ 的斜率 k2= -1-?-3? 1 1 1 5 =2,直线 PQ 的方程为 y-1=2(x+3),即 y=2x+2.因为 1 k1 =k2 = 2 ,且两直线在 y 轴上的截距不相等,所以直线 BA∥PQ.

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探究点二 问题 1 两条直线垂直的判定 如右图, 设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别

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为 α1 与 α2,斜率分别为 k1、k2,且 α1<α2, 若 l1⊥l2, 1 与 α2 之间有什么关系?为什么? α
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α2=90° 1,因为三角形任意一外角等于与它不相邻两 +α
1 已知 tan(90° +α)=-tan α,据此,你能得出直线 l1 k1·2=-1. k

内角之和.
问题 2

与直线 l2 的斜率 k1、k2 之间的关系吗? 答

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问题 3 反过来,若 k1·2=-1,是否一定有 l1⊥l2? k

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答 一定有 l1⊥l2. 问题 4 对于直线 l1 和 l2,其斜率分别为 k1,k2,根据上述分
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析可得什么结论? 答 l1⊥l2?k1k2=-1. 问题 5 对任意两条直线, 如果 l1⊥l2, 一定有 k1·2=-1 吗? k 答 只有当两直线的斜率都存在时,如果 l1⊥l2,才有 k1·2 k =-1. 小结 一般地,设直线 l1:y=k1x+b1,直线 l2:y=k2x+b2.

若 l1⊥l2,则 k1·2=-1;反之,若 k1·2=-1,则 l1⊥l2.特别 k k 地,对于直线 l1:x=a,直线 l2:y=b,由于 l1⊥x 轴,l2⊥y 轴,所以 l1⊥l2.

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例 2 判断下列两直线是否垂直,并说明理由: 1 (1)l1:y=4x+2,l2:y=- x+5; 4 (2)l1:5x+3y=6,l2:3x-5y=5;
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1 解 (1)设两直线的斜率分别是 k1,k2,则 k1=4,k2=-4,有 1 k1·2=4×(-4)=-1,所以 l1⊥l2. k 5 3 (2)设两直线的斜率分别是 k1,k2,则 k1=-3,k2=5,有 5 3 k1·2=(-3)×5=-1,所以 l1⊥l2. k

(3)l1:y=5,l2:x=8.

(3)因为 l1 平行于 x 轴,l2 垂直于 x 轴,所以 l1⊥l2.

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小结

已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2

=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 所以对于直线方程的一般式,用 A1A2+B1B2=0 判断垂直简 单;对于直线方程的点斜式或斜截式利用 k1k2=-1 判断简 单,特殊情形时要数形结合,作出判断.

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跟踪训练 2 已知 A(5, -1), B(1,1), C(2,3)三点, 试判断△ABC

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是否为直角三角形. 1-?-1? 1 解 AB 边所在直线的斜率 kAB= =-2,BC 边所在直 1-5 3-1 线的斜率 kBC= =2. 2-1 由 kAB·BC=-1,得 AB⊥BC,即∠ABC=90° k .
所以△ABC 是直角三角形.

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例 3 求过点 A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0 的直线方程. 4 解 已知直线 4x+5y-8=0 的斜率为-5,所求直线与已知 5 直线垂直,所以该直线的斜率为4,且该直线过点 A(3,2),因 5 此所求直线方程为 y-2=4(x-3), 即 5x-4y-7=0.
小结 若直线 l 与直线 Ax+By+C=0 垂直,则直线 l 的方程 可设为 Bx-Ay+D=0.

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跟踪训练 3 P′的坐标.
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求点 P(2,4)关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点

y-4 解 设 P′(x,y),∵PP′⊥l,∴ · 2=-1. ① x-2 x+2 y+4 又∵线段 PP′的中点在直线 l 上,∴2· 2 - 2 +1=0. ② ? 6 ?x=5, 6 22 由①②组成的方程组可解得? ,∴P′(5, 5 ). 22 ?y= . 5 ?

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1. 已知过点 A(-2, m)和 B(m,4)的直线与斜率为-2 的直线平行,
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则 m 的值为 A.-8 B.0 C.2 D.10 解析 由两直线平行,又一直线斜率存在, 4-m ∴有 =-2,∴m=-8. m+2

( A )

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2.已知 l1⊥l2,直线 l1 的倾斜角为 45° ,则直线 l2 的倾斜角为 ( B )
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A.45°
解析

B.135°

C.-45°

D.120°

由 l1⊥l2 及 k1=tan 45° =1,知 l2 的斜率 k2=-1,

∴l2 的倾斜角为 135° .

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3.试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过 点 C(-4,3),D(0,5)的直线平行或重合.
m-0 m 解 由题意得:kAB= = , -5-?m+1? -6-m 5-3 1 kCD= = . 0-?-4? 2 m 1 由于 AB∥CD,即 kAB=kCD,所以 =2, -6-m 所以 m=-2.

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1.若不重合的两直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1∥l2?k1=k2. 2.与直线 y=kx+b 平行的直线可设为 y=kx+c(c≠b);与直线 Ax
本 +By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+D=0(D≠C). 课 时 3.设直线 l1:y=k1x+b1,直线 l2:y=k2x+b2.若 l1⊥l2,则 k1·2 k 栏 目 =-1;反之,若 k1·2=-1,则 l1⊥l2;已知两直线 l1:A1x+ k 开 B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 关

4.若直线 l 与直线 Ax+By+C=0 垂直,则直线 l 方程可设为 Bx -Ay+D=0.


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