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线性代数试题2及答案


线性代数试题 2 及答案
一、填空题(每小题 3 分,共 21 分)
x 1 2 3
1. f ( x ) ?

3

x 1 2 x 1 x

2 3

,则 f (4) ?

160

1 2 3
?1

r />2. 设 B

?1 0 0? ? ? 2 3 0 ? ,则 B * = ? ? ?4 5 6? ? ?

?1 0 0? 1 ? 2 3 0? ? 18 ? ?4 5 6? ? ?

??x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? 3. 已知方程组 ? x1 ? ?x 2 ? x3 ? 0 只有零解,则 ? 应满足 ? x ?x ?x ?0 2 3 ? 1
k

? ?1
a 0 ? a1? ? ? a k ?k

4. A 有特征值 ? ,则 f ( A) ? a0 E ? a1 A ? ? ? a k A 有特征值

5. 已知三阶矩阵 A 的特征值 ?1 ? 0 , ?2 ? 1, ?3 ? ?1 ,其对应的特征向量分别是 ?1 , ? 2 , ? 3 ,

取 P ? [? 3 , ? 2 , ?1 ] ,则 P AP =
?1

?? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 0? ? ?
k ?1

0 ? ?k 1 ?1 1 0 ? 正定,则 k 应满足的条件是 6. 设 A ? ? ? ?0 0 k ?2? ? ?

2
7.

?3 5 2 1

1 7 2 ?1

5 ?8 2 0
,则 A11 ? A12 ? A13 ? A14 = 0

A ?

?1 2 0

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)
a1
8. 若 b1

a2 b2 c2

a3 c3

a1 a3
(B) ? 15m

2c1 ? 5b1 2c 2 ? 5b2 2c3 ? 5b3

3b1 3b2 ? (D) 3b3
(D) ? 6m

b3 ? m ,则 a 2

c1

(A) 30 m

(C) 6m

9. 设 A 是 n 阶矩阵,且 A ? 0 ,则(C)

(A) A 中必有两行元素成比例 (B) A 中任一行向量是其余各行向量的线性组合 (C) A 中必有一列向量可以由其余列向量线性表出 (D)方程组 AX ? B 必有无穷多解 10. 一个值不为零的 n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值(B) (A)保持不变 (C)保持相同的正、负号 (B)保持不为零 (D)可以变为任何值

11. 设 A 、 B 均是 n 阶非零矩阵,满足 AB ? 0 ,则 A 、 B 必有(C) (A) r ( A) ? 0 或 r ( B) ? 0 (C) r ( A) ? n 或 r ( B) ? n (B) r ( A) ? n 或 r ( B) ? n (D) r ( A) ? n 或 r ( B) ? 0

12. 设 A 是三阶矩阵,有特征值为 1,-1,2,则下列矩阵中可逆矩阵是 (D) (A) E ? A (B) E ? A (C)2 E ? A (D)2 E ? A

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分)
0 ? 1/ 3 0 ? 0 1/ 4 0 ?1 13. 设 3 阶方阵 A, B 满足 A BA ? 6 A ? BA ,且 A ? ? ? 0 0 1/ 7 ?
(推出 B ? 6( A
?1

? ? ,求 B。 ? ? ?

? E ) )得 2 分,求出 ( A ? E )

?1

?1

?1

?1 / 2 ? ? ? 得 5 分,求出 ?? 1/ 3 ? ? 1 / 6? ? ?

?3 ? ? 2 ? 得 1 分) B?? ? ? 1? ? ? ? ?2 0 0 ? ? ?1 0 0 ? ? 2 a 2 ? 与 B ? ? 0 2 0 ? 相似,求 和 的值。 14. 已知矩阵 A ? a b ? ? ? ? ? 3 1 1? ? 0 0 B? ? ? ? ?
(利用 ?E ? A ? ?E ? B ,得 a ? 0 , b ? ?2 )

四、解答题(每小题 8 分,共 16 分)
15. 求向量组 ?1 ? (1, 2 ,1,3 ) , ? 2 ? (1,1, ? 1,1) , ? 3 ? (1, 3 , 3 ,5 ) , ? 4 ? ( 4 , 5 , ? 2 ,6 ) ,

? 5 ? ( ? 3 , ? 5 , ? 1,?7 ) 的秩和极大无关组。

(矩阵化简 7 分,结论秩等于 2 和写出一组极大无关组 1 分)

1 0 ? 0 0
(方法不限,算出答案为 1)

a1 ?1 ? 0 0

0 a2 ? 0 0

? ? ? ?

0 0 0 ? ?1

0 0 0 ? a n ?1 1 ? a n ?1
的值。

? 1 1 ? a1
16. 计算 n 阶行列式 Dn ?

1 ? a2 ?

? 1 ? an?2

五、解答题(每小题 8 分,共 16 分)
? ? 2 x1 ? x 2 ? x3 ? ?2 ? 17. 非齐次线性方程组 ? x1 ? 2 x 2 ? x3 ? ? ,问 ? 取何值时有解?并求出它的全部解。 ? x ? x ? 2 x ? ?2 2 3 ? 1 ?1? ? 1 ? ? ? ? ? (化简增广矩阵判断 ? ? 1 或 ? ? ?2 时有解得 2 分, ? ? 1 时通解 k ?1? ? ? 0 ? 得 3 分, ?1? ? 0 ? ? ? ? ? ?1? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2 时通解 k ?1? ? ? 2 ? 得 3 分) ?1? ? 0 ? ? ? ? ?
18. 用正交变换将二次型 f ? 2 x1 ? 5 x 2 ? 5 x3 ? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x3 ? 8 x 2 x3 化成标准型。
2 2 2

(写 A 得 1 分,求出 ? ? 1 (二重)和 ? ? 10 得 2 分,求特征向量并正交化规范化 3 分, 写出求得的正交阵及标准型 2 分)

六、证明题(每小题 8 分,共 16 分)
19. 已知 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 为 n 维线性无关向量,设 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? , ? 3 ? ? ? , ?1? ? 0 ? ?1? ? ? ? ? ? ?

??1 ?

?? 2 ?

?? 3 ?

?? ? ? 4 ? ? 4 ? ,证明 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性无关。 ? 0 ? ? ?
(用无关向量添加分量仍无关的结论或用无关定义) 20. 已知 ? 是 n 维列向量,且 ? ?? ? E ,若 A ? E ? ?? ? ,证明 A ? 0 。 ( A? ? ( E ? ?? ?)? ? ? ? ? ? 0 3分 3分

? 是齐次线性方程组 AX ? 0 的非零解

故 A ?0

2 分)


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