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§2.3 等差数列的前n项和(1)


§2.3 等差数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P42 ~ P44,找出疑惑之处) 复习 1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?

复习

2:等差数列有哪些性质?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:等差数列的前 n 项和公式 问题: 1. 计算 1+2+?+100=?

2. 如何求 1+2+?+n=?

新知: 数列 {an } 的前 n 项的和: 一般地,称 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即 Sn ?

反思: ① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 a n 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S n . ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8;

⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,n ? 15 .

小结:

n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: 2 n(n ? 1)d 2. 用 Sn ? na1 ? ,必须已知三个条件: 2
1. 用 Sn ?

. .

※ 典型例题 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元. 为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元. 那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

小结:解实际问题的注意: ① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型; ② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解. 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310, 前 20 项的和是 1220. 由这些条件能确定这 个等差数列的前 n 项和的公式吗?

变式:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n.

小结:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方程,已知几个量,通 过解方程,得出其余的未知量.

※ 动手试试 练 1.一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边 形的边数 n 为( ). A. 12 B. 16 C. 9 D. 16 或 9

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列前 n 项和公式的两种形式; 2. 两个公式适用条件,并能灵活运用; 3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,
列方程组可以求出其余的两个.

※ 知识拓展 1. 若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? An2 ? Bn (A ? 0 ,A、B 是与 n 无关的常数),则数列 {an }
是等差数列. 2. 已知数列 ?an ? , 是公差为 d 的等差数列, Sn 是其前 n 项和, 设 k ? N ? , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 也 成等差数列,公差为 k 2 ?d .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? (

).

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在 50 和 350 之间,所有末位数字是 1 的整数之和是( ). A.5880 B.5684 C.4877 D.4566 3. 已知等差数列的前 4 项和为 21,末 4 项和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 4. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , d ? ?1 ,则 S8 ? 5. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,则 S6 ? . .



课后作业
1. 数列{ a n }是等差数列,公差为 3, a n =11,前 n 和 S n =14,求 n 和 a3 .

2. 在小于 100 的正整数中共有多少个数被 3 除余 2? 这些数的和是多少?


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