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烟台高三数学上学期期中理科答案


2015-2016 学年度期中自主练习

高三理科数学答案
一、选择题 BDDAC BDABC 二、填空题 11.

4 3

12.

3

13.

6 4

14.

3 2

15.

(2) (3)

三、解答题 16.解: (1)由图象可知 A ? 2 ,

2? 1 3 11? 9 ? T? ? ? ? ? , ? T ? 6? ? ? ? ? . ……………………2 分 4 2 2 3 ? 1 ? 将点 (? , 2) 代入 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) 中得: sin( ? ? ) ? 1 , 3 3

?

3

? ? ? 2 k? ?

?

而 | ? |?

?
2

2

? ? ? 2 k? ?

?

,所以 ? ?

?
6

6



……………………4 分

,? f ( x) ? 2 sin( x ?

(2)∵ f (3? ? ? ) ? 2sin(? ?

10 5 , ∴ cos ? ? , 13 2 13 5? 6 3 ) ? 2 sin( ? ? ? ) ? ?2 sin ? ? 又∵ f (3? ? ∴ sin ? ? ? ,………8 分 5 2 5 ) ? 2 cos ? ?
∵ ? , ? ? [?

?

1 3

?
6

) .……………………6 分

?

2

,0 ] ,

5 12 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 13 13 3 4 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 5 5
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? (?
……………………12 分 17.解: ……………………10 分

12 4 5 3 33 ) ? ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65

1 3 1 3 ? 7? ? f ( x) ? 2cos 2 x ? sin ? ? 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2 2 ? 6 ?
? sin(2 x ? ) 6
所以最小正周期 T ?

?

…………………3 分

2? ?? , 2

…………………4 分

高三数学(理)答案第 1 页(共 5 页)

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z) 可解得:
…………………5 分

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z) ,

所以 f ( x ) 的单调递增区间为:[k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? 而 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

?

?
6

)?

?

1 ? ? 5 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 ? ? 2k??k ? Z ? 2 6 6 6
…………………8 分 …………………10 分

, k? ? ](k ? Z) . 3 6

?

…………………6 分

3 1 而 AB ? AC ? bc cos A ? bc ? 6 ,所以 bc ? 12 , 2
所以 cos A ?



1 (b ? c)2 ? a 2 a2 ? ? 1 ? ? 1 ,所以 a ? 2 3 2 2bc 8

…………………12 分

18.解: (1)当 1 ? x ? 4 时,合格的元件数为 x ?

x2 (万件), 6

……………… 1 分

利润 T ? 20( x ?

x2 x2 ) ? 10 ? ? 20 x ? 5 x 2 (万元); 6 6

……………… 2 分

当 x ? 4 时,合格的元件数为 x ? ( x ?

3 25 25 3 ? )? ? (万件), x 12 12 x

… 3分

利润 T ? 20(

25 3 3 25 125 90 ? ) ? 10( x ? ? ) ? ? ? 10 x (万元), 12 x x 12 2 x

… 4分

综上,该工厂每天生产这种元件所获得的利润

?20 x ? 5 x 2, 1 ? x ? 4 ? 为, T ? ?125 90 ? ? 10 x,x ? 4 ? x ? 2
时, T ? 20 x ? 5 x ? ?5( x ? 2) ? 20
2 2

……… 6 分

(2)当

? 当 x=2(万件)时,利润 的最大值 20(万元)
时, T ?

……………… 8 分



125 90 125 90 ? ? 10 x ? ? (10 x ? ) 2 x 2 x

……………… 9 分

高三数学(理)答案第 2 页(共 5 页)

因为 y ? 10 x ? x=4 时,利润

90 在 ?4, ? ? ? 上是单调递增,所以函数 T(x)在 ?4, ? ? ? 上是减函数,当 x
的最大值 0. ……………… 11 分

综上所述,当日产量定为 2(万件)时,工厂可获得最大利润 20 万元. …… 12 分 19. 解: (1) f (? x) ? 2? x ? a ? 2x 若 f ( x ) 为偶函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? x) , 即 2 ? a?2
x ?x

…………1 分

? 2? x ? a ? 2x , 2x (1 ? a) ? 2? x (1 ? a) , (2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都 x ?x 成立。由于 2 ? 2 不恒等于 0 ,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是偶函
数。 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? ? f (? x) , 即 2 ? a?2
x ?x

………………3 分

x ?x ? 2? x ? a ? 2x ? 0 ,(2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都成立。 由于 2 ? 2 不恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ∴当 a ? ?1 时, f ( x ) 是奇函数。……………5 分 ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是奇函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是偶函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是非奇

非偶函数。 …………6 分 ( 2 ) 因 函 数 f ( x ) 在 (??, 2] 上 为 减 函 数 , 故 对 任 意 的 x1 ? x2 ? 2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 1 ? 2 2 )(1 ?
x x

…………8 分

a ) ? 0 恒成立。 2 2 x2
x1

…………………10 分

a ? 0 恒成立,即 2x1 ? 2x2 ? a 恒成立。 x2 2 2 x x 由于当 x1 ? x2 ? 2 时 (2 1 ? 2 2 )max ? 16 ∴ a ? 16
由 2 1 ? 2 2 ? 0 ,知 1 ?
x x
x1

…………11 分 …………12 分

20. 解: (1)① h( x) ? sin( x ?

?

1 3 1 3 ) ? sin x ? cos x ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 3 2 2 2 2
……………………2 分
2

所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x), 的生成函数.
2 2 2

② h( x) ? x ? x ? 1 ? a( x ? x) ? b( x ? x ? 1) ? (a ? b) x ? (b ? a) x ? b

? a ?b ?1 ? 所以 ?b ? a ? ?1 无解,所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x), 的生成函数. ? b ?1 ?
……………………4 分 (2)令 h( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x ,
2

? 3log2 2 x ? 2log 2 x ? t ? 0 在 x ? [2, 4] 上有解,
所以 t ? ?3log 2 x ? 2 log 2 x ? ?3(log 2 x ? ) ?
2 2

1 3

1 (*)……………6 分 3

高三数学(理)答案第 3 页(共 5 页)

因为 2 ? x ? 4 ? 1 ? log2 x ? 2 ,所以 log2 x ? 1 时, (*)式最大值为 ?5 ,得 t ? ?5 . ……………8 分 (3) h( x ) ? x ?

b ? b 当 1 ? x ? 10 上恒成立,所以 b( x ?1) ? x2 在 1 ? x ? 10 上恒成立; x 当 x ? 1 时,上式成立; ……………………10 分
当 x ? 1 时, b ? 所以 0 ? b ? 4

x2 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,当 x ? 2 时,右边最小值为 4 , x ?1 x ?1
……………………13 分

1 21. 解: (1)在 f ( x) ? f ( ) ? 0 中,取 x=1,得 f(1)=0,又 f(1)=ln1-a+b=-a+b, x 所以 b=a. ……………………2 分
1 1? a ?5 ? f (1) ? 从而 f ( x) ? ln x ? ax ? , f '( x) ? ? a ?1 ? 2 ? , f '(1) ? 1 ? 2a ,又 f '(1) ? ?5, x 0 ?1 x ? x ?

所以 1-2a=5,故 a=-2;

……………………4 分

? a2 ? a2 a3 2 2 a3 2 x3 ? ? (2) f ? ,令 ? ln ? ? ? 2 ln a ? ? ? ln 2 , g ( x ) ? 2ln x ? ? ? ln 2 , ? x 2 2 2 a a 2 ? 2 ?
则 g '( x) ?
4 2 2 3x2 ?3 x ? 4 ? x ? 1? ? , ? 2? 2x2 x x 2

……………………6 分

所以 x∈(0,1)时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,
1 故当 x∈(0,1)时, g ( x) ? g(1) ? 2 ? ? ln 2 ? 1 ? ln e ? 0 , 2

所以,0<a<1 时, f (

a2 ) ? 0; 2

……………………8 分

(3) f '( x) ?

1 1 ? ? ax 2 ? x ? a ? ? a ?1 ? 2 ? ? , x x ? x2 ?

……………………9 分

①当 a ? 0 时,在 ? 0, ?? ? 上, f '( x) ? 0 ,f(x)递增,所以,f(x)至多只有一个零点,不合题意; ②当 a ? 意; ③当 0 ? a ?
1 时,在 ?1, ?? ? 上, f '( x) ? 0 ,f(x)递减,所以,f(x)也至多只有一个零点,不合题 2

……………………11 分

1 ? 1 ? 4a 1 时,令 f '( x) ? 0 得 x1 ? 2 2a

2

? 1 , x2 ?

1 ? 1 ? 4a 2 ? 1,此时,f(x) 2a

在 ? 0, x1 ? 上递减, ? x1 , x2 ? 上递增, ? x2 , ?? ? 上递减,所以 f(x)至多有三个零点. 因为 f(x)在 ? x1 ,1? 上递增,所以 f ? x1 ? ? f (1) ? 0 , 又因为 f (
a2 a2 ) ? 0 ,所以存在 x0 ? ( , x1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 , 2 2

高三数学(理)答案第 4 页(共 5 页)

又 f(

1 ) ? ? f ( x0 ) ? 0 ,f(1)=0, x0

所以 f(x)恰有三个不同的零点: x 0 ,1,

1 . x0

? 1? 综上所述,当 f(x)存在三个不同的零点时,a 的取值范围是 ? 0, ? .……………14 分 ? 2?

高三数学(理)答案第 5 页(共 5 页)


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