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电磁学第一章


电磁学
主讲 向东
Tel: 15200522436 E-mail: xiangdong007@163.com 核科学与技术学院核物理系
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物理学习理念之一

爱因斯坦:

“兴趣是最好 的老师。”
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物理学习理念之二

杨振

宁:

“现象是 物理学的 根源。”
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物理学习理念之三
海森堡:

“科学扎根于 讨论。”
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物理学习理念之四
李政道:

“物理学的精 髓在于创新。”
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电磁学

电磁学绪论
? ? ? ? 一、研究对象及目的、手段 电磁学是研究电磁现象的规律的科学。 研究对象: 电磁现象(电磁场) 目的: 通过对现象的研究,揭示电磁场 的基本规律及本质。 手段: 以实验定律为基础,导出电磁场 的基本规律。
南华大学 ? 核科学技术学院
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在电磁学中,有三大基本实验定律: ? 库仑定律: 电荷激发电场的规律,是电磁 学历史上第一个定量的规律,是整个电磁学 的基础 (电荷→电场)
? 毕奥-萨伐尔定律: 电流元产生磁场的规律 (电→磁)

? 法拉第电磁感应定律: 变化的磁场产生电 场的规律(磁→电)
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二、本书结构
? 观察者是静止的 ? 真空中 (1) 与电荷有关 , 产生电场的电荷相对于 ? ? 静电场 ? ? ? ? ( 2、 ) 3 ? 导体和介质中 ? ? ? ? 电磁场( 9) ? 8 动就要形成电流, ?电流及电路( 4 、):电荷产生定向的流 ? ? ? ,电路又分直流电路和 交流电路 ?电流流过的路径是电路 ? ? ?电磁感应( 6) 电流在其周围激发磁场 ? ? ? ? 真空中( 5) ? ? 磁场 ? ? ? ? 介质中( 7) ? ?

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电磁学

第一章 静电场的基本规律
一、静电场 相对于观察者(惯性系)为静止的电荷 所产生的电场。 二、描述电场的(两个重要)物理量 电场强度、电势 三、描述静电场基本性质的规律 场强迭加原理、高斯定理、环路定理
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? ? 电势 ( 位 ) ? 电场强度

都是空间位 置的函数

? 矢量点函数 ? ? ? 标量点函数 ?

? 算术量 ? ? 代数量

? 场强迭加原理: 说明场具有迭加性,几个电磁场 可以同时占据同一个几何空间; ? 高斯定理: 说明静电场是有源场,激发电场的电 荷就是“源”; ? 环路定理:说明静电场是有势场,静电场力作功 与路径无关。
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第一章 静电场的基本规律

§1.1 电荷
一、电荷是物质的一种基本属性
用丝绸或毛皮摩擦过的玻璃棒、硬橡胶棒、石英等都 能吸引轻小物体,这表明它们在摩擦后进入一种特别的状 态。我们把处于这种状态的物体叫做带电体,并说它们带 有电荷。 自然界中的电荷只有两种: (1)用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷命名为 正电荷 (2)用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷命名为 负电 荷
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二、电荷的基本性质
? 1、对偶性:自然界中只有两种电荷(正电荷、负电荷),
它是物质对称性的一种表现形式。

? 2、量子性:一切物体所带的电荷都是分立的,是以一个
一个不连续的量值出现的,这种现象叫做电荷的量子化。 物体所带电荷都是基元电荷的整数倍。基元电荷也叫电荷 量子,它就是一个电子所带的电荷,用e表示,且 e=1.602×10-19库仑。 ? 应注意(指出):基元电荷太小,宏观带电物体所带基元 电荷的数目非常巨大,因此,电荷的量子化表现不出来。 所以,在经典电磁学范围内,不考虑电荷的量子化,而把 宏观带电物体所带电荷视为连续分布。
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? 3、电荷之间有相互作用:
? 同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引。当异种电荷在一 起时,它们的效应有互相抵消的作用。正负电荷完全抵消 的状态叫中和。

? 4、电荷守恒定律:
? 电荷既不能产生,也不能消失,只是由一个物体转移到另 一个物体,或者从物体的这一部分转移到另一部分。或表 述为:在一个与外界没有电荷交换的系统内,正负电荷的 代数和在任何物理过程中始终保持不变。如:

? 摩擦起电:是电荷从一个物体转移到另一个物体;感应起 电(静电感应):将中性物体上的正、负电荷分开。

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三、物质的电结构理论 (说明物体带电的原因)
? 分子 ? ? 物质 ? ? 原子 ? ? ? ? 质子:带正电 ? 原子核 ? ? ?中子:不带电 ? ? 核外电子:带负电

质子数和核外 电子数相等

? 在通常情况下,整个原子是电中性的。一切物体带电的根 本原因,就是组成物体的原子分子中,存在着带负电的电 子和带正电的质子。当其在某种外因作用下,比如摩擦, 使得物体或物体的一部分上的电子数多于质子数,这时物 体带负电,反之,物体带正电。 ? 物质的电结构不同将呈现不同的导电性能,而根据导电性 能的不同可把物体分成导体、半导体、绝缘体三种。
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四、导体、半导体、绝缘体(电介质)

? 1、导体:允许电荷通过的物体。 ? 金属——金属中的价电子在整个金属中自由运动(自由电子), 金属中存在许多自由电子是金属容易导电的基本原因。 ? 电解液——其中存在许多能作宏观运动的正负离子。 ? 被电离的气体——气体被电离后,内部存在许多正、负离子。 ? 2、绝缘体(电介质):不允许电荷通过的物体。 ? 绝缘体中的电子,受原子核的吸引力而被束缚(束缚电荷), 自由电子极少,因而导电性极差。当然,绝缘体不是绝对的, 在强大的外界电力作用下,绝缘体中的束缚电子可能摆脱束缚 变为自由电子,从而绝缘体变成导体,这称为电介质的击穿。 如:未被电离的干燥气体是绝缘体,被电离后便成导体。

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? 3、半导体:导电性介于导体与绝缘体之间。如锗、硒、 硅等。半导体中的载流子为自由电子和带正电的“空穴”。 主要由“空穴”导电的半导体称为P型半导体,主要由电 子导电的半导体称为n型半导体。半导体是一种非常特殊 的材料,在近代电子技术中起着重要作用。这主要是因为 半导体有几种特殊的效应: ? 掺杂效应:掺入少量杂质,可以大大改变半导体的导电性 能。 ? 热敏效应:温度升高导电性能迅速变化,做成热敏电阻, 可作温度计等。 ? 光敏效应:光照使导电性显著增加,做成光敏电阻,作为 光电自动控制元件。

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第一章 静电场的基本规律

§1.2 库仑定律
一、点电荷模型 ? “点电荷”实际上是一个带电体,当带电体的线度比带电 体之间的距离小得多时,它们之间的静电力基本上只取决 于它们的电荷量和距离,而与其它因素无关,满足这个条 件的带电体叫做点带电体或点电荷。

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二、库仑定律
? 1、定义:真空中两个静止的点电荷间的静电力服从的规 律叫库仑定律。 ? 2、内容及数字表达式: ? (1)两个点电荷间的静电力大小相等而方向相反,并且 沿着它们的联线;同号电荷相斥,异号电荷相吸; ? (2)静电力的大小与各自的电荷q1及q2成正比,与距离r 的平方成反比,即:
F ? k q1q 2 r
2

(1.1)

? 其中k是比例常数,依赖于各量单位的选取,所以要知道k 的值就必须知道式中各量的单位。
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三、电荷的单位
? 电磁学中最常用的单位制有高斯制和国称制。而每个单位 制中有四个基本量(有四个基本单位),力学和电磁学中 的其它各物理量的单位都可以从这些基本单位导出,称为 导出单位。 ? 1、高斯制: ? 基本量为:长度、质量、时间、电荷量,对应的单位为 ? 基本单位为:厘米、克、秒、静库。 ? 电荷的单位:静库(即电荷的单位为基本单位) ? 2、国际制(MKSA制): ? 基本量为: 长度、质量、时间、电流强度。对应的单位为: ? 基本单位为:米、千克、秒、安培。 ? 在国际单位制中,电荷的单位是库仑

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? 1、高斯制: ? 基本量为:长度、质量、时间、电荷量,对应的单位 为 ? 基本单位为:厘米、克、秒、静库。 ? 电荷的单位:静库(即电荷的单位为基本单位) ? 静库是通过令式(1.1)中的k=1而定义的:
k=1时,
F ? q1q 2 r
2

(1.2)

当q1=q2=1及r=1时,且规定k=1,由上式F=1。 ? 说明: 当两个电荷相等的点电荷相距1厘米,而它们 之间的电性力为1达因时,这两个点电荷的电荷均为1 静库。
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? 2、国际制(MKSA制): ? 基本量为: 长度、质量、时间、电流强度。对应的 单位为: ? 基本单位为:米、千克、秒、安培。
? (1)在国际单位制中,电荷的单位是库仑,它是由 上面四个基本单位推导出来的(称为导出单位)。 库 仑的定义为: ? 如果导线中载有1安培的稳恒(恒定)电流,则在1秒 内通过导线横截面的电荷定义为1库仑,即: 1库仑=1安培· 1秒 或 库仑=安培· 秒
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? (2) 库仑定律中各量的单位已选定,所以k 只能由实验 测出。大量实验测得: ? k=9×109牛顿· 2/库仑2 米 ? 在国际单位制有理制中引入新的恒量来代替k,表示为:
,? 0 =8.9×10-12库仑2/牛顿· 2 米 0 ? 称为真空中的介电常数,其含义见第三章。因此在国际单 位制中,库仑定律表述为:
4 ??
F ? 1 4 ??
0

k ?

1

?

q1q 2 r
2

(1.3)

? 将(1.2)和(1.3)式比较发现,在不同的单位制中,同 一物理定律有不同的表述形式。本书一律采用国际单位制。 (在有的电学实验中可能用到高斯制)
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四、库仑定律的矢量形式
? 式(1.3)只反映了静电力的大小所服从的规律, 并未涉及方向,要反映方向就必须把库仑定律写 成矢量形式。 ? 1、矢量的表示(本书中矢量的表示法) ? ? ? ? ? ? a ? a a ? a a ,a 为a 与同方向的单位矢。 ? 推广: r ? r e ?

? 2、库仑定律的矢量形式
? F12 ? q1 q 2 4 ?? 0 r
2

? e r 12

(1.4.1)
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? F12 ?

q1 q 2 4 ?? 0 r
2

? e r 12

(1.4.1)

? 表示点电荷1对2的作用力,作用在2上;表示由点 电荷1指向2的单位矢。
? F 21 ? q1 q 2 4 ?? 0 r
2

? e r 21

(1.4.2)

? 表示点电荷2对1的作用力,作用在1上;表示由点 电荷2指向1的单位矢。 ? ? ? 显然 e r 12 =- e r 21
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? 只要将q1和q2理解为可正可负的代数量,则(1.4)式可以同时反映静 ? ? 电力的大小和方向。例如:q1、q2同号,q1 *q2>0,则 F12 与 e r 12 同向, 为排斥力,如图1

图1 q1、q2同号(排斥力) ? q1、q2异号,q1*q2<0,则
? F12

? 与 e r 12 反向,为吸引力,如图2。

图2 q1、q2异号(吸引力)

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五、(力的)迭加原理 ? 当空间有两个以上的点电荷时,作用于每一个电 荷上的总静电力等于其它点电荷单独存在时作用 于该电荷的静电力的矢量和,这就叫做迭加原理。 迭加原理说明: ? (1)一个点电荷作用于另一点电荷的力,总是服 从库仑定律的,不论其周围是否存在其它电荷。 ? (2)任何宏观带电体都可以分成无限多个带电元, 将这些带电元视为点电荷,利用库仑定律和力的 迭加原理,原则上可以解决静电学的全部问题。

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六、库仑定律成立的条件和适用范围
? 1、成立条件:

? 真空中静止的点电荷。可以推广到一个静止的源 电荷对运动电荷的作用,但不能推广到运动的源 电荷对静止电荷或运动电荷的作用。 ? 2、适用范围
? 库仑定律在10-13厘米到109厘米的巨大范围内是 可靠的。

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七、库仑定律和万有引力定律的主要异同
? 1、相同点:都是有心力(指向两者的联线), 长程力(相互作用范围很长,为无限远);在形 式上都服从距离平方反比关系和源量乘积的正比 关系; ? 2、不同点:①静电力既有引力也有斥力,而万 有引力只有引力,没有斥力(至少目前如此)。 ? ②两种力的作用强度不同,电磁作用远远大于万 有引力的强度。

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第一章 静电场的基本规律

§1.3 静电场
一、电场
1、对电场的认识过程 (1)超距作用观点: 电荷 (2)近距作用学说: 电荷 (3)场的观点: 电荷

?? ? ?

直接

电荷 电荷

?? ? ?

以太

?? ?



电荷
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? 2、场与实物的关系 ? 场是物质存在的一种形态,具有由原子分子组成的实物的 共性,即具有能量、质量和动量等物质的基本属性。但电 磁场也有它的特殊性:有作为场的特点的波动性和迭加性; 它可以脱离电荷或电流而单独存在;几个电磁场可以同时 占据同一几何空间。 ? 但注意:从质量密度来看,实物的质量密度较大 ,一般为 103 kg/m3,而场的质量密度较小,一般为10-23 kg/m3,忽 略。 ? 3、静电场的对外表现 ? (1)对场中的其它带电体有作用力 ? (2)当带电体在电场中移动时,电场力对带电体作功, 这表明电场具有能量。
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二、电场强度 ? 空间某点有一点电荷Q,Q在周围空间激发电场, 在此电场中引入一个试探电荷q1,讨论试探电荷q1 的受力情况:

? F1 ?

Qq 1 4 ?? 0 r1
2

? er1

(q1受的静电力) →

? F1 q1

?

Q 4 ?? 0 r1
2

? er1
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? 在空间引入不同的试探点电荷q2、q3,则它所受 的静电力的大小和方向为:
? F2 ? Qq
2 2

4 ?? 0 r2

? er 2

? F3 ?

Qq 3 4 ?? 0 r3
2

? er 3

? 从上面的三个等式可以看出:电性力的大小不但 与试探电荷的位置(场点)有关,且与其电量也 有关系,但试探电荷所受的静电力和其电荷量的 比值却是只与场点有关而与qi无关的量,这一结 论可以用迭加原理推广到任意电荷激发的电场。

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? 1、电场强度的定义及数学表达式
? 在任意电场中,某点的电场强度,是表征该点电 场特性的矢量,其大小等于位于该点的单位电荷 所受的电场力;其方向与位于该点的正电荷所受 的电场力的方向相同。写作:
? E ? ? F q

(1.5)

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? 2、说明
? (1)式(1.5)具有普遍的意义,无论对静电场、 运动电荷的电场、还是变化磁场所产生的电场,都 适用;即使场中存在磁场,定义仍然有效。
q 描述电场的强弱:对于一个给 ? (2)电场强度 定的试探电荷q,q在场中某点受静电力大,则电 场强度E大,电场强;反之电场弱;对于一定的空 间点P,不同的试探电荷q1、q2在P点所受静电力 ? ? 大小 F , F 不同,但
1 2

? E ?

? F

? ? ? ? F1 / q 1 ? E 1 p ? E 2 p ? F 2 / q 2

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? (3)电场中任一点,都有一个大小和方向确定的 场强矢量,场点和场强有一一对应的关系,即是 空间坐标的矢量点函数。 ? 如果电场中空间各点的场强的大小和方向都相同, 则称为均匀电场或匀强电场。 ? (4)场强迭加原理: ? 在点电荷组的电场中,空间某点的总场强,等于 各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量 和。即:
? ? ? ? ? ? 1 ? ?F1 ? F 2 ? ? ? ? F n ? ? E 1 ? E 2 ? ? ? ? E n E ? q

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三、场强的计算 ? 1、点电荷电场中的场强

? 真空中有一点电荷q,距q为r处的P点引入一试探 电荷q0,则q0受力为:
? F ? qq 0 4 ?? 0 r
2

? er

? 由场强定义得:
? ? E ? F / q0 ? q 4 ?? 0 r
2

? er

(1.7)
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? (1.7)式表明:E与q成正比,与r2成反比。 q为正,

q为负,

? ? E与 er ? ? E与 er

同向(背离q);

反向(指向q)。

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? 2、点电荷系(组)电场中的场强 ? 电场由若干个点电荷q1、q2……qn共 同产生,则
? E1 ? q1 4 ?? 0 r1
2

? e r1 ,

? E2 ?

q2 4 ?? 0 r2
2

? er 2 ,

??

? En ?

qn 4 ?? 0 rn
2

? e rn

? 按场强迭加原理有:
? ? ? ? E ? E1 ? E 2 ? ? ? ? E n ?

?
i ?1

n

qi 4 ?? 0 ri
2

? e ri

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? 3、任意带电体电场中的场强
? 任何带电体可以分成许多极小的电荷元dq 的集合,每一个电荷元dq(看成点电荷) 产生的场强为:
? dE ? 1 4 ??
0

dq r
2

? er

? (e r 是从dq所在点到P点的矢径单位矢) ? 由迭加原理得总场强:
? E ?

? 4 ??

1

dq
0

r

2

? er

(矢量积分)

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? (1)电荷线密度 ? : (电荷分布在某一细棒上) 当场点与棒的距离远大于棒的粗细时,忽略棒的 粗细,认为电荷分布于一条几何曲线上(线模 型)。

? ? lim

?q
?l? 0

?l

?

dq dl

? 线元上电荷量

dq ? ? dl
? E ? 1 4 ??
0

?

? dl
r
2

? er
退出

? 电荷面密度? : (电荷连续分布在一个平面或曲 面上)当场点与薄层的距离远大于薄层的厚度时, 忽略薄层的厚度,认为电荷分布在一个几何曲面 上(面模型)。
? ? lim
?q
?s? 0

?s

?

dq ds

? 面积元ds表面上的电荷量 dq=ds,
? E ? 1 4 ??
0

??

? ds
r
2

? er

退出

? 电荷体密度 ? :(电荷连续分布在一个体积内) 在带电体内取一小体积元 ? ?
?q
?? ? 0

? ? lim

??

?

dq d?

? 体积元内的电荷量
? E ? 1 4 ??
0

dq ? ? ? ?

???

?d?
r
2

? er

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? 例2(补充):一对等量异号点电荷±q,其间距离为(称 为电偶极子),求两电荷延长线上一点P1和中垂面上一点 P2的场强。P1和P2到两电荷联线中点O的距离都是r。 ? 解:(1) 求P1点场强

? P1点到±q电荷的距离分别为r± ,所以±q在P1点产生 2 的场强分别为:
? E? ? 1 4 ??
0

l

? q l ? ? ?r ? ? 2? ?
2

? er

? E? ?

1 4 ??
0

? q l ? ? ?r ? ? 2? ?
2

? er

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? 由迭加原理得:
? ? ? E P1 ? E ? ? E ? ? q 4 ??
0

? ? ? ? 1 1 ? ?e ?r ? 2 2 ?? l ? l ? ? ? ?r ? ? ? ??r ? ? 2? 2? ? ? ??

? (2) 求P2点的场强 ? 由对称性分析可知, ±q在P2点的场强大小 一样,但方向不同,由 迭加原理可得P2点的场 强为:
? ? E? ? E? ? 1 4 ??
0

q ? l ? 2 r ?? ? ?2?
2

退出

? ∴

? EP2 ? 2 ?

1 4 ??
0 2

q ? l ? r ?? ? ?2?
2

cos ? ? ? i?

? ?

(y方向的效应互相抵消)
l



cos ? ? r
2

2
2

? l ? ?? ? ?2?


? EP2 ? ? 1 4 ??
0

ql ? 2 ? l ? ? ?r ? ? ? ? ?2? ? ? ? ?
2 3 2

i?

退出

? 例3(补充) (习题1、3、7): ? 一均匀带电直线,长度为L,总电荷为q,线外一 点P离开直线的垂直距离为a,P点和直线两端的连 线与直线之间的夹角分别为θ1和θ2(如图),求P 点的电场强度。
dq ? q L
dE ?

dl ? ? dl
? dl

4 ?? 0 r

2

? E ?

? ? dE
退出

? ? 将d E 沿x轴和y轴分解得:
? 由图可知:

? dEx ? dE cos ? ? ? dEy ? dE sin ? ? dEz ? 0 ?
2

? ? ? l ? atg ? ? ? ? ? ? actg ? , dl ? a csc 2 ? ?

?d?

r

2

? a

2

?l

2

? a csc
2

2

?

? ∴ ? dEx ? ?

?

4 ?? 0 a ? ? ? ? dEy ? sin ? d ? ? 4 ?? 0 a ?

cos ? d ?

退出

? 将上两式积分得:
? Ex ? ? ? ? ? Ey ? ? ?

? dEx ? dEy

?

??

?2
1

?
4 ?? 0 a

cos ? d ? ? sin ? d ? ?

?
4 ?? 0 a

?sin ? 2

? sin ? 1 ?

?

??

?2
1

?
4 ?? 0 a

?
4 ?? 0 a

(cos ? 1 ? cos ? 2 )

? 将场强写成矢量形式:
? ? ? E ? Ex i ? Ey ? ? Ez k j
? ? Ex i ? Ey ? j
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? 讨论:① P点位于带电直线的中垂线上, 2 ? ? ? ? 1 , 则 ?
? Ex ? 0 ? ? ? Ey ? cos ? 1 ? 2 ?? 0 a ?
cos ? 1 ? 2 a L
2

?

L

2

? E ? Ey ? j

4

? ② 带电直线无限长,θ1=0, ? 2 ? ? , 则
? Ex ? 0 ? ? ? Ey ? ? 2 ?? 0 a ?

? E ? Ey ? j
?
2 ,? 2 ? ?

? ③ 带电直线半无限长,? 1 ?
? ? Ex ? ? ? 4 ?? 0 a ? ? ? ? Ey ? ? 4 ?? 0 a ?

or

反过来,则

or

? ? Ex ? ? 4 ?? 0 a ? ? ? ? Ey ? ? 4 ?? 0 a ?

? ? E ? Ex i ? Ey ? j
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? 例4(补充): 计算均匀带电圆环轴线上任一给定 点P处的场强。圆环半径为a,周长为L,圆环所带 电荷为q,P点与环心的距离为x。
? 解:在圆环上任取 长度元dl, dl上所 带的电荷为:
dq ? q 2? a dl ? q L dl

dE ?

1 4 ??
0

dq r
2

?

1 4 ??
0

?

q 2? a

?

dl r
2

退出

? 据对称性,各电荷元产生的 场强在垂直于x轴方向上的 分矢量互相抵消,所以总场 强的大小为:
E ?
E ?

? dEx
L

?

? dE cos ?
L
2

1 4 ??
0

q cos ? 2 ? ar

? dl ?
L

1 4 ??
0

q cos ? r
2

cos ? ?

x r

E ?

1 4 ??
0

qx

?x

2

? a

2

?

3 2

r

2

? a

2

? x

2

方向垂直于带电圆环所组成的平面,背离圆环

当x>>a时, ? x

2

?a

2

?

3 2

? x

3

,则有

E ?

1 4 ??
0

q x
2

退出

例5 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. 有一半径为 R 0 ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面 密度为 ? . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 处的电场强度. 解 由上例 y dq ? ? 2π RdR
E ?
dE x ?

q x
2

4π ?0(x ? R )
2

3 2

dq ? x 4π ?0(x ? R )
2 2 3 2

R o
R0

(x ? R )
2

2 1/ 2

x
dR

P

? dE x
2

?

?
2

xR d R
2 3 2

z

2? 0 ( x ? R )

q ? ? π R0
退出

dE x ?

?
2

xR d R
2 3 2

y

2? 0 ( x ? R )

E ?
?

? dE
(x
2

x

R o
R0
3/2 2

P
dR

?x
2? 0
E ?

? dE

x

?

R0

RdR ? R )
?
2

z
?
2? 0

0

?x
2? 0

(

1 x

1 x
2

) ?
2

(1 ? x
2

x ? R
退出

)
2

? R0

E ?

?x
2? 0

(

1 x
2

? x
2

1 ? R0
2

) ?

?
2? 0

(1 ? x
2

x ? R
2

)

讨论

x ?? R 0

E ?

?
2? 0
q 4π ? 0 x
1 2

无限大均匀带电 平面的电场强度 (点电荷电场强度) 2

x ?? R 0 E ?
(1 ? R0 x
2 ?

2

)

?1?

1 2

?

R0 x

2

2

??
退出

? 例6(补充): “无限大”均匀带电的两平行板,A板均 匀带正电,面密度+σ,B板均匀带负电,面密度-σ,求均 匀带电的两平行板之间的电场中各点的场强。

? ? ? E ? EA ? EB

EA ? EB ?

?
2? 0
? ?0
退出

所以两板之间

E ? EA ? EB ?

第一章 静电场的基本规律

§1.4 高斯定理
? 高期定理是静电学中的一个重要定理,反映了静 电场的基本性质,即静电场是有源场(激发电场 的电荷就是源),在介绍高斯定理之前,首先引 入一个基本概念,叫“通量”。 ? 通量是矢量场的共性,并且它总是和一个假想的 面联系在一起的,首先介绍任意矢量场的通量。

退出

? 一、任意矢量场的通量

? ? 矢量 A 通过面元 d s 的通量定义为:
d? A ? ? ? ? ? A ? d s ? A ? n ds ? A cos ? ds
?

? ? 对整个闭合面的通量: A A
对有限开曲面:
?A ?

??

? ? A ? ds ?

?S ?

??

A cos ? ds

?S ?

??
(S )

? ? A ? ds
退出

? 二、
d? E

? ? ? ? ? E ? d s ? E ? n ds ? E cos ? ds
?E ?
?E ?

? E (电)通量

对闭曲面:
对开曲面:

??
??
?S ?

? ? E ? ds
? ? E ? ds

?S ?

通量是代数量(即可正可负)。在 场强一定时,通量的正负取决于面元 法向的选取。 对于闭合曲面,通常规定自内向外的方向为面元法线的 正方向,对非闭合曲面,应根据情况事先规定好法线方向。
退出

? 三、高斯定理
? 1、定义及数学表达式 ? 在真空中的任何静电场中,场强通过任意闭合曲 面的通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的 代数和除以,此结论称为真空中静电场的高斯定 理,数学表达式为:

??

? 1 ? E ? ds ?

?S ?

?0

?S内 ?

?

qi



??

? 1 ? E ? ds ?

?S ?

?0

???

? dV

?V ?

? 下面从特殊到一般,分几步来证明此定理的正确 性。(库仑定律加场强迭加原理)
退出

高斯定理的证明
a 点电荷位于球面中心 ? ? q r E ? 3 4 ?? 0 r
d?
e

r
+
? dS

?

q 4 ??
0

? r

r

3

? ? dS

? 由于 r 与
Φe ?

? d S 的方向相同

?

? ? E ? dS ?

S

?

q 4 π? 0r
2

dS ?

q 4 ?? 0 r
2

S

?

dS ?

q

S

?0
退出

对于半径不同的同心球面,其电通量是相同的

b 点电荷不位于球面中心
如右图所示,如果电荷 不在球面中心,其电通量 还是相同的. 由此可得到结论: 任何一 个闭合球面的电通量 ? e 都等于其内部所包围的电 量 q 与 ? 0 的比值.

+

退出

? 点电荷在任意封闭曲面内

? q ds 1 ? d ? E1 ? 2 4 ?? 0 r1 ? ? ? q ? ? ? ? d?E ? E ? ds ? e r ? n ds ? 2 4 ?? 0 r2 ? ? q ? ? ds cos ? ?? ? n , e r ? ?? 2 ? 4 ?? 0 r2 ?

又由立体几何知:
ds
2

?

r2 r1

2 2

ds 1

退出

点电荷在任意封闭曲面内
d Φe ?
?

q 4 π ? 0r
q 4π ?0
2

d S cos ?
dS' r
2

? ? dS ' d S

+

其中立体角

dS' ? dΩ 2 r q q Φe ? ? dΩ ? ? 4 π? 0 0

r

?

? dS '
? dS
退出

点电荷在封闭曲面之外 ? ? d Φ1 ? E 1 ? d S 1 ? 0

? ? d Φ2 ? E 2 ? d S 2 ? 0
d Φ1 ? d Φ2 ? 0

? E2
q
? dS 2

? dS1 ?

E1

?

? ? E ? dS ? 0
退出

S

? e1 ?

?

? ? E ? dS ?

S

?

S1 ( A ? E ? B )

? ? E ? dS ?

?

S2 ( B?D ? A)

? ? E ? dS

E B

? e2 ?

?

S3 ( A?C ? B )

? ? E ? dS ?

?

S2 ( B?D ? A)

? ? E ? dS

?e ?
?
e1

?

S3 ( A?C ? B )

? ? E ? dS ?
? q

?

S2 ( B ?E ? A)

? ? E ? dS

A

+ C

? ?

e2

?

S3 ( A?C ? B )

? ? E ? dS ?

?0

?

S2 ( B?E ? A)

? ? E ? dS

D

?

S2 ( B ? E ? A)

? ? E ? dS ? 0
? ? E ? dS ?0

由于在闭合曲面AEBCA中

?

?e ? 0
退出

S3 ( A?C ? B )

由多个点电荷产生的电场

? ? ? E ? E1 ? E 2 ? ?
Φe ?

q1

q2

? E?
dS

?

? ? E ? dS ?

S

? ?
S i

? ? Ei ? dS

s
S

qi

?

i (内)

? ?

S

? ? Ei ? dS ?

?

i (外)

? ?

S

? ? Ei ? dS ? 0

i (外)

? ?

? ? Ei ? dS

? Φe ?

i (内)

? ?

S

? ? Ei ? dS ?

1

?0

?
i (内)

qi
退出

电荷为连续分布的任意带电体

把带电体分为点电荷的集合,同样利用迭加原理, 只是这时面内净电荷量
?S内 ?

?

改成积分,即:

qi

?E ?

??

? 1 ? E ? ds ?

?S ?

?0

?S内 ?

?q

i

?

1

?0

???

? dV

?V ?

退出

? 3、对高斯定理的说明: ? ①高斯定理是静电场的基本定理之一,揭示了场和 场源的内在联系,它说明静电场是有源场。 ? ②高斯定理和库仑定律可以互相推导,都可以作为 静电学的基础,从这点来说,它们是等价的。但是, 对于迅速变化(迅变)电磁场,库仑定律不成立, 而高斯定理可以推广到迅速变化的电磁场,所以高 斯定理比库仑定律应用更广泛,意义更深远,它是 宏观电磁理论的基本方程之一。两者在使用上也有 不同的分工,大致说来,库仑定律(及迭加原理) 解决从电荷分布求场强的问题,而高斯定理则使我 们能从场强(场强作为已知的点函数)求出电荷分 布。
退出

? ③ 通量中的场强,是闭合曲面内外所有电荷共同激发的, 即是说,闭合面S上任一点的场强,是S内外所有电荷在该 点产生的场强的矢量和,而高斯定理数字表达式右端的电 荷量,只是闭合面内的净电荷量。 带电体
A1

? E

若点电荷恰好位于闭合面上, ? 它对这个闭合面的 通量有 E 没有贡献呢?

A2

S

点电荷是一个简化的模型,当场点与带电体之间的距离远 大于带电体的线度时才能把带电体看成点电荷,即实际带电 体都有一定大小,当带电体与闭合面相交时,带电体不能被 看成点电荷。实际上,闭合面把带电体A分成两部分A1和A2, 根据高斯定理,只有位于闭合面内的那部分A2才对整个闭合 面的电通量有贡献。
退出

? ? ④总 E 通量的三个无关: ? ? 总 E 通量与闭合面内电荷的分布无关。即是说,

只要S内的总电荷量一定,它们在S内的什么位置, 不影响总电通量的大小和正负。 ? ? 总 E 通量与闭合面S的形状、大小无关。只要S内 的总电荷量确立了,不管S的形状、大小如何,总 通量不变。 ? ? 总 E 通量与S面外的电荷无关。即是说,S面外的 电荷产生的场对S的总通量无贡献。应当注意,这 并不是说S外的电荷,在S上不激发电场,也不是 说场强对S面上的面元没有电通量,而是S外的电 荷产生的场,对S上各面元的通量有正有负,总和 为零。
退出

讨论

将 q 2 从 A 移到 B

q2

A

点 P 电场强度是否变化?
穿过高斯面

P*

s 的 Φ 有否变化?
e

q2

s
B

q1

在点电荷 ? q 和 ? q 的静电场中,做如下的三 个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量 .
Φe1 ?

?

? ? q E ? dS ?
Φe 3 ?

S1

?0
?q

?q

?q

Φe 2 ? 0

?0

S1

S2

S3
退出

? ? ? ?

四、用高斯定理求场强 1、解题步骤 (1)分析电场的对称性 (2)根据电场不同的对称性,选取相应的适当的 高斯面(高斯面是闭合曲面) ? 要求:待求场强的场点,必须在高斯面上;高斯 面必须是便于计算通量的规则的几何面。 ? (3)分别计算通过高斯面的电通量和高斯面内的 净电荷量,根据高斯定理列出方程,求出场强的 大小。 ? 1 ? 即由: ?? E ? d s ? ? q i
?S ?

?0

?S内 ?

两边分别求出再由此方程求出。
退出

? 例1(补充):求均匀带正电的无限长细棒 的电场分布,该棒上线电荷密度为? 。
解:根据场强具有轴对称性的特点,选取与细棒同轴的半径为r 的封闭圆柱面为高斯面,设柱面高l,通过高斯面的电通量为:
?E ?
? ? E ? ds ? ? ? E ? ds ? ? ? E ? ds ? ? ? E ? ds

??

??
侧面

??
上底

??
下底

退出

通过上下底面的电通量为零
? 侧面上 E 的大小处处相等,故有:
?E ?

??
侧面

? ? E ? ds ? E

??
侧面

ds ? 2 ? rlE

高斯面内的净电荷量为:

?S内 ?

?

qi ? ?l

根据高斯定理列方程:

2 ? rlE ? ? l / ? 0
?
2 ?? 0 r
退出

所以无限长细棒外任一点P的总场强: E ?

? 例2(书P19例1):电荷以面密度 ? 均匀分布于 一个无限大平面上,求其激发的场强。 ? 解:

??
底 S1

? ? E ? ds ?

??

? ? E ? ds ?

??
侧面

? ?s ? E ? ds ?
1

底S2

?0

E ?S

? E ?S ?

?s ?0

E ?

?
2? 0
退出

? ? ? 若 ? ? 0 , E 与 n 同方向 , 场强背离带电面 ① ? ? ? ? 若 ? ? 0 , E 与 n 反方向 , 场强指向带电面

②上式说明:无限大均匀带电平面的电场中,各点的场强与 场点的位置无关,带电平面外任一点场强数值都相等,带电平 面的两边各形成一个均匀电场。 ③利用上述结果,容易得到:

a、两个带等量同号电荷的无限大平行平面的场强分布:
? 两无限大带电平面之间 ? ? 两无限大带电平面之外 ? ?
? ? 两无限大带电平面之间 ? ? 两无限大带电平面之外 ?

任一点 ,E 任一点 ,E

? 0 ?

? ?0

b、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布:
任一点 ,E 任一点 ,E ?

? ?0
退出

? 0

? 例3(补充):求无限长均匀带电圆柱面的电场。柱 面半径R,电荷面密度 ? 。 ? 解:由高斯定理得:
2 ? rlE ? 2 ? lR ?

?0

E ?

?R ? 0r

? ? 2? R ?

E ?

?
2 ?? 0 r

同理可知,带电圆柱面内部的场强等于零。
退出

例4

均匀带电球体的电场强度

一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球体 . 求球体内外任意点的电场强 度.
解(1)

S1
S2

R

r?R

首先进行对称性分析: 由于球体均匀带电, 故电荷分布具有球对称性, 由 此可以推断, 所产生的电场也一定具有球对称性. 所 以在同一球面上的各点的电场强度大小一定相同,而 且方向均沿径向, 与任意球面元的方向一致. 故高斯 面可以选择为与带电球体同心的任意球面.
退出

?

e2

?

?

? ? E ? dS ?
2

S2

?

S2

EdS ? E ? dS ? ES
S2

2

?

Q

?0

S 2 ? 4? ? r
(2)
?
e1

E ?

Q 4 π ? 0r
2

?

?

S1

0?r? R ? ? E ? d S ? ? EdS ? E
S1
2

? dS
S1

? ES
Q R
3

1

?

q?

S 1 ? 4 ? ? r1
E ? Q 4 ??
0

q? ?
r1
3

3?Q 4? R
3

?0

?

4 3

? r1 ?
3

? r1

3

?

R

退出

? Q ? 4 ?? ? E ? ? Q ? ? 4 ?? ?

?
0

r R 1 r
3

?
0

2

其场强分 布函数曲 线如右图 所示

Q 4π ?0R
2

E

o

R

r

对于均匀带电球面,可用类似的方法求得其场强分 布函数为:
Q

E
2

0 ? ? Q 1 E ? ? ? 2 ? 4 ?? 0 r ?

4π ?0R

o

R

r
退出

? 结论:①通过以上几个例题可以看出,用高斯定 理求场强的关键,在于分析电场的对称性,也只 有电场具有某种对称性,或者虽然是非对称的, 但能用几个对称电场叠加而成,在这些情况下, 才能用高斯定理求出场强; ? ②分析出电场的对称性后,应选取相应的封闭几 何面作为高斯面,并且此封闭而必须通过待求场 强的场点,必须是规则的便于计算通量的几何面; ? ③对于非对称电场,虽然不能用高斯定理求出场 强,但定理仍然是成立的。

退出

第一章 静电场的基本规律

§1.5 电场线
? ? 一、电场线 1、电场线的定义 在任意电场中,电场线就是电场中的一系列假想 曲线,曲线上任一点的切线方向和该点的场强方 向相同,这些曲线叫做电场线。 2、作电场线的规定 规定:通过场中任一面元的电场线条数正比于该 ? 面元的 E 通量,即: ? ? 通过任一面元的场线条数= k E ? ? S
退出

? ? ?

? 3、电场线密度 (实际上就是用来反映场强的大小 的) ?N 电场线密度= ? kE
?S ?

? 上式说明:场中任一点的电场线密度与该点场强 大小成正比;电场线密的地方,场强大,电场线 疏的地方,场强小。常把比例常数k的值取为1, 这时:通过任一面元的电场线的条数等于该面元 的通量,场中某处的电场线密度等于该处的场强。 ? 引入电场线后,对电场有了直观的描述:电场线 上某点切线的方向为场强的方向,场中某处场强 的大小等于该处的电场线密度。
退出

点电荷的电场线
正 点 电 荷

负 点 电 荷

+

退出

一对等量异号点电荷的电场线

+

退出

一对等量正点电荷的电场线

+

+

退出

一对不等量异号点电荷的电场线

2q

?q

退出

? 二、电场线的性质
? 性质1:电场线发自正电荷(或无限远),终于负 电荷(或无限远),在无电荷处不中断。 ? 性质2:电场线不构成闭合曲线(任何两条电场线 不会相交)。或:电场线上各点的电势沿电场线 方向不断减小。 ? 电场线这两个重要性质,是由静电场的性质决定 的,是静电场两个基本定理的必然结果。 性质1是高斯定理的必然结果; 性质2是环路定理的必然推论。

退出

第一章 静电场的基本规律

§1.6 电势
? 一、静电场中的环路定理

? 二、电势和电势差
? 三、电势的计算

退出

? 一、静电场中的环路定理 ? 1、静电场力所做的功与路径无关 ? (1)单个点电荷所产生的电场

? ? ? ? dA ? F ? d l ? Fdl cos ? ? qE cos ? dl ? q E ? d l

dl cos ? ? dr
dA ? qEdr ? qQ 4 ?? 0 r
2

dr

A ?

?

r2 r1

dA ? ?

r2 r1

qQ ? 1 1 ? ? ? ? dr ? 2 ?r 4 ?? 0 r 4 ?? 0 ? 1 r2 ? ? qQ

退出

? (2)任意带电体所产生的电场
? 据场强迭加原理,在任意静电场中某点的总场强, 等于各个点电荷单独存在时,在该点产生的场强 ? ? E ? ? Ei 的矢量和,即 ? 将试探电荷沿任意路径L从a移到b时,电场力所作 的总功为:
A ?

?
L

? ? ? ? ? ? qE ? dl ? ? q ? E i ? dl ? ? qE1 ? dl ?
L L

?
L

? ? qE 2 ? dl ? ? ? ?

?
L

? ? qE n ? dl

结论:试探电荷在任何静电场中移动时,电场力所做的功, 只与这试探电荷电荷量的大小以及路径的起点和终点的位 置有关,而与路径无关。这是静电场的一个重要性质,叫 做有势性(或称有位性),具有这种性质的场叫做势场 (或称位场)。因此静电场是势场(位场)。
退出

? 2、静电场的环路定理

? l1 ?

?

b a

? ? qE ? dl ?

?l2 ?

?

b a

? ? qE ? dl ? ?

?l2 ?

?

a b

? ? qE ? dl

? l1 ?

?

b a

? ? qE ? dl ?

?l2 ?

?

a b

? ? qE ? dl ? 0

? l1 ? l 2 ?

?

? ? qE ? dl ? 0
? E

?
L

? ? E ? dl ? 0

? 上式左边是场强 沿闭合路径L的线积分,称为 场强的环流。场强沿任一闭合曲线的环路积分为 零,称为静电场的环路定理。
退出

? 3、用环路定理证明电场线的性质2

? 用反证法。设某条电场线构成了闭合曲线,沿此 ? 闭合曲线(电场线)计算场强 E 的线积分时,因 闭合曲线(电场线)上每一点的切线方向(即方 ? ? ? 向)与场强 E 方向相同, E ? d l = Edl >0,故 ? ? ? E ? d l >0,这与环路定理是矛盾的,而环路定理 由实验证明是正确的,所以电场线不能构成闭合 曲线。

退出

? 二、电势和电势差
? 1、电势 ? ? P A ? ? qE ? dl ? 电场力作功: P ? 只与P和P0两点有关,而当P0点选作参考点确定后 (如可选P0点在“无穷远处”),A就只与P点有 关,说明此功A反映了静电场中P点的性质,在此 引入一个新的物理量来描述P点的性质,就是电势 或称为P点的电势。 ? 定义:单位正电荷从P点移到参考点P0时,电场 力所做的功,称为P点的电势(或电位),记作V, 表达式为:
0

V ?

A q

?

1 q

?

P0

P

? ? Po F ? dl ? ?
P

? F q

? ? Po ? ? dl ? ? E ? dl
P

退出

? 2、电势差
? 定义:静电场中任意两点电势的差值,称为电势差(也称 电压)。
V AB ? V A ? V B ?
?

?
A

Po A

? ? E ? dl ?
? ? dl

?

Po

? ? E ? dl ?

?

B A

? ? E ? dl ? ?

? B F q

B

?

Po A

? ? E ? dl ?

?

B po

? ? E ? dl

? 此式说明:静电场中A、B两点的电势差,在数值上等于单 位正电荷在电场中从A点经过任意路径到达B点时,电场力 所作的功。 ? 利用电势差的概念可以计算点电荷在电场中运动时,电场 力所做的功: ? ∵ V ?V ?V ? A ∴ A ? qV
AB A B

q

AB

退出

? 3、说明: ? (1)电势是描述电场性质的物理量。电势由电场 确定,而电势差由电场完全确定。 ? (2)电势、电势差的区别:电势是一标量点函数, 电势差是标量,但不是点函数;电势与参考点的 位置有关,而电势差与参考点无关。 ? (3)电势具有相对性。U
P

?

参考点的选择有关,那么如何选参考点呢?

?

P0

? ? E ? dl

,即与

P

参考点的选取,原则上说是任意的,但必须保证 在参考点选定之后,计算出的电势值是确定的, 有限的。参考点的电势值也可取为非零的任意有 限值
退出

? ? ?

?

参考点的选取 ① 场源电荷分布在有限区域内,选无限远处为参考点,且; ② 电荷分布在无限远处(无限长带电线,无限大带电平面, 无限长带电圆柱面等): 这时不能选无限远为参考点,否则电势值为无穷大或不确 定;电荷分布在无限远处时,参考点应选在有限区域,一 般选在无限长带电线上,无限长圆柱面上或轴线上。 ③ 实际应用中,常把大地或仪器机壳选为电势参考点,并 令其为零。通常说的“接地”,实际上就是使带电体的电 势和地球一致,带电体上的电荷就会转移到地球上去而不 会一直积累起来,这样就可防止当电气设备因绝缘不良而 使外壳带电时引起触电事故。

退出

? (4)电势具有迭加性 ? 对场中某点P,如有几个电荷在此激发电场, 则
? ? ? ? E ? E1 ? E 2 ? ? ? ? E n

? ∴

VP ?

?

P0

? ? E ? dl ?

P

?

P0

P

? ? E1 ? dl ? ? ? ?

?

P0

P

? ? E n ? dl

? V1 P ? ? ? ? V n P

? 即:几个点电荷在某点P产生的电势等于每 个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代 数和。
退出

? (5)电势沿电场线方向不断减小



V A ? VB ?

?

B

? ? E ? dl

A

而沿电场线方向,永远有 ∴ VA>VB

?

B A

? ? E ? dl

>0

退出

? 三、电势的计算
? 求电势主要有两种方法: ? 1、电势迭加法 ? 这种方法是以点电荷产生的场中的电势公式出发, 利用电势的迭加原理求解。(后面详细讲) ? 2、场强积分法(实际上就是利用电势的定义式求 ? 参考点 ? 解)
VP ?

?

E ? dl

P

(容易求出的时候用此法求电势) ? 注意:①选好参考点; ②在整个积分路径上,场强要已知,若各 段上的分布函数不同,应分段积分。
退出

? 电势迭加法
? (1)点电荷电场中的电势
VP ? A q ? 1 q

?

P0 P

? ? F ? dl

?

?

P0

? ? E ? dl

P

选参考点:P0在无限远处,且令Vp0=0 选路径:静电场力作功与路径无关,只与P和P0 点的位置有关,所以选矢径直线为积分路径。
VP ?

?

? P

? ? ? ? r? ? E ? d l ? ? E ? d r ? ? Edr ?
P rP

?

? rP

Q 4 ?? 0 r
2

dr ?

Q 4 ?? 0 rP

V ?

Q 4 ?? 0 r
退出

? (2)点电荷系的电场中的电势(电势迭加原理)
V ?

?V

iP

?

?

Qi 4 ?? 0 ri

? (3)任意带电体产生的电场中的电势
? ? dq ?? dl ? dV ? 4 ?? 0 r ? ? ? ds ? dq ? ? ? dV ? 4 ?? 0 r ? ? ? d ? ? dq ? ? dV ? 4 ?? 0 r ? ? V ?

?l ?

? dV ?? dV
?S ?

V ?

V ?

???

dV
退出

?V ?

例1 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 x 处点 P 的电势.

y

dl +

+ +

dq ? ?dl ?

qdl 2π R

z
VP ?

+ + +R o + + + + + + + +

r

P
1 4 π ? 0r qdl 2π R

x
dVP ?

x

1 4 π ? 0r

? 2π

qdl R

?

q 4 π ? 0r

?

q 4π ?0 x ? R
2
退出

2

VP ?

q 4π ?0 x ? R
2 2

q 4 π? 0 R

V

讨论
x ? 0, V 0 ? q 4π ?0R

o
q 4π ?0(x ? R )
2

x
2 1 2

x ?? R , V P ?

q 4π ?0x

退出

均匀带电薄圆盘轴线上的电势

dr
o r R
1

dq ? ? 2 π rdr
x ?r
2 2

P

x

x

VP ?

4π ?0

?
2

R

? 2 π rdr
x ?r
2 2

?

?
2? 0

(

x ? R
2

2

? x)

0

x ?? R

x ? R

2

? x?

R

2

V ? Q 4π ?0x

2x

(点电荷电势)
退出

? + + + r ? R , E1 ? 0 解 ? q ? +R ? + r ? R, E2 ? er + 2 o er+ + 4 π ? 0r + (1) r ? R + +

例2 均匀带电球壳的电势. 真空中,有一带电为 Q ,半径为 R 的带电球壳.试求 球壳内外任意点的电势.

? dr

r

令 rB ? ? ,
V外

V? ? 0

Q

? ? ? Q ? Q dr ? (r ) ? ? E 2 ? dr ? ? 2 r 4 π ? 0r r 4 π ? 0r

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(2) r ? R
Q R ? ? ? ? ? ? V内 ( r ) ? ? E 1 ? d r ? ? E 2 ? d r 4π ?0R r R

V外 (r ) ?
V内 ( r ) ?

Q 4 π ? 0r Q
4π ?0R
Q 4 π ?0R

V
Q 4 π ? 0r

o

R

r
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例3 “无限长”带电直导线的电势 ? ? 解 V ? A ? E ? dl ? VB
AB

令 VB ? 0
VP
rB rB ? ? ? ? ? er ? dr ? ? E ? dr ? ? r 2π ? 0r r

o

B

P

?

?
2π ? 0

ln

rB r

rB

r r

能否选 V ? ? 0 ?
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等势面(电势图示法)

空间电势相等的点连接起来所形成的平面或曲面 称为等势面. 为了描述空间电势的分布,规定任意两 相邻等势面间的电势差相等. 在静电场中,电荷沿等势面移动时,电场力不做功
W ab ? q 0 (V a ? V b ) ?

在静电场中,电场强度 E 总是与等势面垂直的, 即电场线是和等势面正交的曲线簇. ? ? b ? ? W ab ? ? q 0 E ? d l ? 0
a

? ?

b

a

? ? q0 E ? dl ? 0

q0 ? 0

? E ?0

? dl ? 0

?

E ? dl

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按规定,电场中任意两相邻等势面之间的电势差相 等,即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小. 点 电 荷 的 等 势 面

d l 2 ? d l1

E 2 ? E1
dl2
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dl1

一对等量异号点电荷的电场线和等势面

+

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两平行带电平板的电场线和等势面

+ + + + + + + + + + + +

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电场线和等势面的关系
1)电场线与等势面处处正交. (等势面上移动电荷,电场力不做功.) 2)等势面密处电场强度大;等势面疏处电场强度小.

讨论
1)电场弱的地方电势低;电场强的地方电势高吗? ? 2) V ? 0 的地方,E ? 0 吗 ? ? ? 3) E 相等的地方,V 一定相等吗?等势面上 E

一定相等吗 ?
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U

电场强度与电势梯度
AB

? ? VB (

? ? ? V A)? E ? ? l

? E ? l cos ?

E cos ? ? E l
? ?V ? El?l, l ? ? E

B
?V ?l

? ?l
?

A

El ? E

E l ? ? lim

?V ?l

?l? 0

? ?

dV dl

V ? ?V

V

电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量,等于 这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.
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El ? ?

dV dl

En ? ?

dV d ln

V
V ? ?V

? d l ? d ln ? E n ? E l
? dV ? E ? ? en d ln

? dl

? e?
? dl n

? en

? E

大小

? 方向 与 e 相反,由高电势处指向低电势处 n
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? dV E ? d ln

低 电 势

高 电 势

物理意义 (1)空间某点电场强度的大小取决于该点领域内 电势 V 的空间变化率. (2)电场强度的方向恒指向电势降落的方向. 直角坐标系中

讨 论

? E ? ?? V (电势梯度) ? 为求电场强度 E 提供了一种新的途径
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系
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? ?V ? ?V ? ?V ? E ? ? ( i ? j ? k ) ? ? grad V ?x ?y ?z

? 求 E 的三种方法

? 已知电势分布V(x、y、z),可求场强
①直角坐标系中场强的各分量
Ex ? ? ?V ?x , Ey ? ? ?V ?y , Ez ? ? ?V ?z

? ?V ? E ? ? n ?n

? ? ?V ?V ?V ? ? ?? ?? E ? ?? i j k? ? ? ?x ?y ?z ? ?

②柱坐标中

Er ? ?

?V ?r

, E? ? ?

1 ?V r ??

,Ez ? ?

?V ?z
? ?V ??

③球坐标中

Er ? ?

?V ?r

, E? ? ?

1 ?V r ??

, E? ? ?

1 r sin ?

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例1 解
V ?

求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.

? E ? ?? V
q 4π ?0(x ? R )
2 2 1 2

y dq ? ?dl

q R
o

r
?

P

E ? Ex ? ?

?V ?x

x

? ?

dV dx

x ? E

z
2

qx ? ? ? q ? ? ? ? 2 2 3 2 2 1 2 ? 4π ?0(x ? R ) ?x ? 4 π ? 0 ( x ? R ) ?
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例2 求电偶极子电场中任意一点 A 的电势和电场强度.

V? ? V? 1 q 4 π ? 0 r? 1 q ? ? 4 π ? 0 r?

y
r?

A

V ? V? ? V? ?

q 4π ?0

r? ? r? r? r?

r
?q

? r0 ?? r

r?

? r? ? r? ? r0 cos ?
r? r? ? r
2

r0

? ? ?q

x
退出

V ? V? ? V? ?
?
?

q

r? ? r? r? r?

q 4π ?0
1 4π ?0

4π ?0 r0 cos ?
r
r
2

y
r?

A

p cos ?
2

r
1 p
2

? ?0
? ?π
? ?
π 2

4π ?0 r 1 p V ? ? 2 4π ?0 r

V ?

r?

?q

V ?0

r0

? ? ?q

x
退出

V ?

1 4π ?0

p cos ? r
2
2

y
x
2 3/2

A

?

p

r?

4π ?0 (x ? y )
?V ?x

r
2 5/2 2

Ex ? ?

r?

? ?

p

y ? 2x
2 2

4π ?0 (x ? y )

?q
3 xy

?

? r0

?q

x

Ey ? ?

?V ?y

?

p
2

4π ?0 (x ? y )
2

5/2

退出

Ex ? ?

p

y ? 2x
2 2 2

2 5/2

Ey ?

4π ?0 (x ? y ) p 3 xy
2 2

y
r?

A

4π ?0 (x ? y )

5/2

E ?
?

Ex ? Ey
2

2

p 4π ?0

(4 x ? y )
2 2

1/ 2 2

r
?q

(x ? y )
2 2

r?

y ?0
x ? 0

E ? E ?

2p

1
3

4π ?0 x p 1 4π ?0 y

r0

? ? ?q

x
退出

3

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