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江苏省响水中学2013-2014学年高一上学期数学学案:《第30课时 幂函数(1)》


教学目标: 知识与技能:1.了解幂函数的概念,会画出幂函数的图象,根据上述幂函数的图象,了解幂函数的变化 情况和性质; ; 2.了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指 数相同的指数 值的大小; 过程与方法:由实际问题引入,运用类比的数学思想方法 情感态度价值观:进一步体会数形结合的思想 教学重点:幂函数的概念,会画出幂函数的图象 教学难点:比较两个底数不

同而指数相同的指数值的大小 教学过程: 一、激趣导学 经调查,一种商品的价格和需求如下表所 价格/元 需求量/t 0.6 139.6 0.65 135.4 0.7 131.6 0.75 128.2 0.8 125.1 0. 85 122.2
?0.38

0.9 119.5

根据此表,我们可以把价格 x 与需求量 y 之间近似地满足关系: y ? 114.82x 函数 y ? x
?0..38

是指数函数吗?
?

二、重点讲解 1.幂函数概念:一般地我们把形如 y ? x 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 (1,1) ; (2)当 ? ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上单调递增;当 ? ? 0 时,幂函数在 (0, ??) 上 单调递减; (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 偶函数 ;当 ? ? ?1,1, 3, 时,幂函数是 奇函数 . 三、设疑讨论 四、典例拓展 例 1:写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3 ?2

1 3

(2) y ? x 2 (4) y ? x ? x
2
? 1 2

1

(3) y ? x

?2
1 1

(5) y ? x 2 ? x

1

(6) f ( x) ? x 2 ? 3(? x) 4

分析:求幂函数的定义域,宜先将分数指数幂写成根式,再确定定义域; 点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化,是研究幂函数性质的基础 例 2:将下列各组数用小于号从小到大排列: (1) 2.5 ,(?1.4) ,(?3)
? 3 ? 3

2 3

2 3

2 3

3

(2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258

2 ?3 2 1 5 ? 3 (3) ( ) , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3 3 5 3 2
分析(1)底数相异,指数相同的数比较大小,可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题,根 据函数的单调性,只要比较自变量的大小就可以了.

1

1

1

2

(2)观察发现,这三个数指数可以统一,底数可以化为正数,故可利用幂函数的单调 性比较大小. 点评: 比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单 调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻 找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. 例 3:已知 x ? x 2 ,求 x 的取值范围.
2 1

例 4: 证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 要点小结 1.幂函数的概念,画出幂函数的图象, 2.几个常见的幂函数的性质,会单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值 的大小; 五、巩固训练

1

1 , (2) y ? 2 x2 , (3) y ? x2 ? x ,(4) y ? 1 中,是幂函数序号为 x2 2.下列函数中,定义域为 (0, ??) 的是( )
1.在函数(1) y ? A. y ? x
?2

(1)



B y ? x2 C y ? x

1

?

1 2

D y?x

?

1 3

3.已知幂函数 f ( x) 的图象过点 (3, 4 3) ,则 f (4) ? . 4.比较下列各组数中两个值的大小(在 填上“ ? ”或“ ? ”号) .
1

(1) 3.14 2 (3) 1.25
?1

?2; (2) (?0.38)3
1 ?0.25 1.22?1 ; (4) ( ) 3
2

1

(?0.39)3 ; 1 ( ) ?0.27 . 3

5.已知函数 f ( x) ? (a ?1) ? xa ?a?1 当a ? 时, f ( x) 为正比例函数; 当a ? 当a ? 当a ? 时, f ( x) 为反比例函数; 时, f ( x) 为二次函数; 时, f ( x) 为幂函数.

6.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过 (2, 2) ,试求出这个函数的解析式; 7.求函数 y ? ( x ? 1) ? (3 ? x)
3
1 2 ? 3 2

的定义域.

8.证明:函数 f ( x) ? ? x ? 1 在 (??, ??) 上是减函数. 9、已知函数 y ? x
2 m ?1

在区间 ?0,??? 上是增函数,求实数 m 的取值范围。
2

10、已知函数 f ( x) ? (m2 ? m) x m

?2 m?1

是幂函数,求实数 m 的值。


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