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广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:数列


广东省 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练 数列
一、选择、填空题 1、(2016 年江苏省高考)已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a1+a22= - 3,S5=10,则 a9 的值 是 ▲ .

2、(2015 年全国 I 卷)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S8

? 4 S 4 ,则

a10 ? ( )
(A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

3、(2015 年全国 I 卷)数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若 S n ? 126 ,则

n?

.

4、(广东省 2016 届高三 3 月适应性考试)已知等比数列 {an } 满足: a1 ? a3 ? 10 , a4 ? a6 ? 则 {an } 的通项公式 an ? ( A. ) C.

5 , 4

1 2
n?4

B.

1 2
n ?3

1 2
n ?3

?4

D.

1 2
n?2

?6

5 、 ( 广 东 佛 山 市 2016 届 高 三 二 模 ) 已 知 正 项 等 差 数 列 {an } 中 , a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 若

a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列,则 a10 ? (
A. 19 B. 20

) D. 22

C. 21

6、(广东广州市 2016 届高三二模)已知等比数列 ?an ? 的公比为 ?

a ? a3 ? a5 1 , 则 1 的值是 2 a2 ? a4 ? a6
(D) 2

(A)

?2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

7、 (广东深圳市 2016 届高三二模)在等差数列 {an } 中,若前 10 项的和 S10 ? 60 , a7 ? 7 ,则 a4 ? ( A. 4 ) B. ?4 C. 5 D. ? 5
2

8、(广东珠海市 2016 届高三二模) 已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a4 a8 ? 2a5 , a2=1 , 则 a10 ? ( ) A.2 B.4 C.8 D.16

9 、 ( 潮 州 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 首 项 a1 = 0 , 公 差 d ? 0 , 若

ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ?a7,则 k =
A、22 B、23 C、24 D、25 10 、(东莞市 2016 届高三上学期期末)已知各项为正的数列 ?an ? 的前 n 项的乘积为 Tn ,点 ( Tn , n2 ? 15n) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,则数列 ?log 2 an ? 的前 10 项和为
2

(A)-140

(B)100

(C)124

(D)156

11、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一)(期末))在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a10 ? 3a3 ,则

?an ? 的前12 项和 S12 ? (
A. 120

) B. 132 C. 144 D. 168

12、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟)已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? log 2 an , n ? N * ,其中

?bn ? 是等差数列,且 a9 ?a2008 ? 4 ,则 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b2016 =(
A、-2016 B、2016 C、 log2 2016

1



D、1008

二、解答题 1 、( 2016 年全国 I 卷)已知 {an } 是公差为 3 的等差数列,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ?

1 , 3

anbn?1 ? bn?1 ? nbn .
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 {bn } 的前 n 项和.

2、(2016 年全国 II 卷)等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 . (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? [an ] ,求数列 {bn } 的前 10 项和,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [0.9]=0,[2.6]=2.

3、(2014 年全国 I 卷)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

4、(广东省 2016 届高三 3 月适应性考试)数列 {an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,且对任意
2 的 n ? N ,均有 2an , 2 S n , an 成等差数列.
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

5、 (潮州市 2016 届高三上学期期末)若 Sn 是公差为不为等差数列 ?an ? 的前 n 项和为,且 S1 , S2 , S4 成等比数列。 (I)求数列 S1 , S2 , S4 的公式 q; (II)若 S2 =4,求数列 ?an ? 的通项公式。 6、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一)(期末))已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足

an ? 2Sn ?1 ( n ? N* ).
(Ⅰ) 求证:数列 ?an ? 为等比数列; (Ⅱ) 若 bn ? ? 2n ?1? an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

7、(汕头市 2016 届高三上学期期末)已知 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数 列, a4 ? a6 ? 26 ;数列 ?bn ? 是公比 q 为正数的等比数列,且 b3 ? a2 , b5 ? a6 . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 ?n .

8、 (肇庆市 2016 届高三第二次统测 (期末) ) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足:a3 ? 6 ,

a5 ? a7 ? 24 .
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

9、(2016 年北京高考)已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= an+ bn,求数列{cn}的前 n 项和.

10 、 ( 2016 年 全 国 III 卷 高 考 ) 已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 ,
2 an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式.

参考答案 一、选择、填空题 1、 20. 2、【答案】B 【 解 析 】 ∵ 公 差 d ? 1 , S8 ? 4 S 4 , ∴ 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , 解 得 a1 = , ∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?
3、【答案】6

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

∴ Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

4、A 5、【答案】C 【解析】设等差数列的公差为 d ,且 d ? 0 . ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,∴ a2 ? 5 . ∵ a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列, ∴ (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 2)(a3 ? 13) , ∴ (a2 ? 5)2 ? (a2 ? d ? 2)(a2 ? d ? 13) , ∴ 102 ? (7 ? d )(18 ? d ) ,解得 d ? 2 . ∴ a10 ? a2 ? 8d ? 5 ? 8 ? 2 ? 21 . 6、A 7、【答案】C 【解析】∵ S10 ? 60 , a7 ? 7 ,

?a ? 3 ?10a1 ? 45d ? 60 ? 1 ∴? ,? 2, d? ?a1 ? 6d ? 7 ? 3 ? ∴ a4 ? a1 ? 3d ? 5 .
8、【答案】D. 【 解 析 】 a4a8 ? a6 ? 2a5
2 2

a6 2 ,得 ? 2 , 故 q2 ? 2 , 而 q ? 0 , 所 以 q ? 2 , 而 2 a5

a10 ? a2q8 ? ( 2)8 ? 16 .
9、A 10、

11、D 12、A 二、解答题 1、【解析】(Ⅰ)由已知可得: a1b2 ? b2 ? b1 ,且 b1 ? 1 , b2 ?

1 ,∴ a1 ? 2 3

又∵ {an } 等差数列,∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ?1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: (3n ?1)bn?1 ? bn?1 ? nbn ,即 故数列 {bn } 是以 1 为首项,

bn ?1 1 ? bn 3

1 为公比的等比数列. 3
n

?1? 1? ? ? ?3? ? 3 ? 1 . 记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,则 S n ? 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3

2、【答案】(Ⅰ) an ?

2n ? 3 ;(Ⅱ)24. 5 2 , 5

解析:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得 a1 ? 1, d ? 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 当 n ? 1,2,3 时, 1 ?

2n ? 3 . 5

? 2n ? 3 ? , ? 5 ? ?

2n ? 3 ? 2, bn ? 1; 5 2n ? 3 ? 3, bn ? 2 ; 当 n ? 4,5 时, 2 ? 5 2n ? 3 ? 4, bn ? 3 ; 当 n ? 6,7,8 时, 3 ? 5 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 , 当 n ? 9,10 时, 4 ? 5
所以数列 ?bn ? 的前 10 项和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 . 3、【解析】:(I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的公
2

差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 a1 ? ,从而 2, 2
…………6 分

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

则: S n ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n?2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
所以 S n ? 2 ? 4、解:
2 2 (Ⅰ)由假设,当 n ? 1 时,有 4S1 ? 2a1 ? a1 ,即 4a1 ? 2a1 ? a1 .

n?4 2n ?1

………12 分

故 a1 (a1 ? 2) ? 0. 由于 a1 ? 0 ,故 a1 ? 2. (Ⅱ)由题设,对于 n ≥ 1 ,有 4Sn ? 2an ? a 因此 4Sn?1 ? 2an?1 ? a
2 n?1 2 n

………4 分 ① … …

, n≥2



2 2 由①-②得, 4an ? 2an ? 2an?1 ? an ? an ?1.

即 2(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ). 由于 an 和 an ?1 均为正数,故 an ? an?1 ? 2, n ≥ 2. 从而 ?an ? 是公差为 2,首项为 2 的等差数列. 因此, an ? 2n,

n ≥1.

………12 分 … …

5、解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d .…………………………..….1 分
2 由题意得 S2 ? S1 ? S4 .…………………………………....….2 分

∴ (2a1 ? d )2 ? a1 (4a1 ? 6d ) ,整理得 d 2 ? 2a1d .…...….3 分 又 d ? 0 ,所以 d ? 2a1 .………………………………..….4 分 故公比 q ?

S2 2a1 ? d 4a1 ? ? ? 4 .…………………..….6 分 S1 a1 a1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 d ? 2a1 ,∴ S2 ? 2a1 ? d ? 4a1 .………….….8 分 又 S2 ? 4 .∴ 4a1 ? 4 .

∴ a1 ? 1 , d ? 2 .……….…………………………………...10 分 故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 .……….………12 分 6、【解析】(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ?1 ? 2a1 ?1 ,解得 a1 ? 1 ;……………………1 分 当 n ? 2 时, an ? 2Sn ?1 , an?1 ? 2Sn?1 ? 1,两式相减得 an ? an?1 ? 2an ,…………………3 分 化简得 an ? ?an?1 ,所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?1 的等比数列.…………………5 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可 得 an ? 1? ? ?1? 考: ………6 分 [错位相减法]
n ?1

, 所 以 bn ? ? 2n ? 1 ? ??? 1 ?

n ?1

,下提供三种求和方法供参

Tn ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 7 ? ? ?1? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
0 1 2

n ?1 n ?1

?Tn ?


3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
1 2 1 2

? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
n

n

………………… 8

两式相减得 2Tn ? 3 ? 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ?1?

n ?1

? ? 2n ? 1? ? ? ?1? …………………9 分

n ?1 ? ?1 ? ? ?1? ? ? ? 2n ? 1 ? ?1 n …………………10 分 ? 3 ? 2? ? ? ?? ? 1 ? ? ?1?

? ? 2n ? 2 ? ? ? ?1?

n ?1

? 2 ,…………………11 分
n ?1

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? n ? 1? ? ? ?1? [并项求和法] 当 n 为偶数时, bn?1 ? bn ? ?2 , Tn ?

? 1 .…………………12 分

n ? ? ?2 ? ? ?n ;…………………9 分 2

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ? Tn ?1 ? bn ?1 ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? ? ? ? n ? 2 ;………………11 分 综上,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? [裂项相消法] 因为 bn ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
n ?1

??n, n为偶数 .…………………12 分 ?n ? 2, n为奇数
n ?1

? n ? ? ?1?

? ? n ? 1? ? ? ?1? ……………9 分
n

n ?1 n 0 1 1 2 所以 Tn ? ?1? ? ?1? ? 2 ? ??1? ? ? ?2 ? ??1? ? 3? ??1 ? ? ? ? ? ?n ? ? ?1? ? ? n ? 1? ? ? ?1? ?

?

? ?

?

?

?

? 1? ? ?1? ? ? n ? 1? ? ? ?1? ? 1 ? ? ?1? ? ? n ? 1?
0 n n

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? n ? 1? ? ? ?1?

n ?1

? 1 .…………………12 分

7、解:(Ⅰ)因为 d ≠0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列
2 ? a6 ? a 2 a22 即 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 +d ?? a1 ? 21d ? 即 d ? 3a1 ①……………1 分
2

又由 a4 ? a6 =26 得 2a1 +8d ? 26

②……………………2 分

,d ? 3 ?an ? 3n ? 2 ……………………3 分 由①②解得 a1 =1
?b3 ? a2 ? 4 即 b1q2 ? 4 , 又b5 ? a6 ? 16 即 b1q 4 ? 16 ;? q2 ? 4 ………………5 分
又 q 为正数? q ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 anbn

?bn ? 2n?1 ……………………6 分

? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………1 分

?Tn ? 1? 20 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ??? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………2 分 ?2Tn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ??? ?3n ? 2? 2n ……………………3 分
??Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
2 n ?1

? ?3n ? 2 ? 2 ? 1 ?
n

6 ?1 ? 2n ? 1? 2

? ?3n ? 2 ? 2n ? ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5

?Tn ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5 ……………………6 分
8、解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d . ∵ a3 ? 6 , a5 ? a7 ? 24 , 所以 ?

? ?a1 ? 2d ? 6 , ? ?? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 24

(2 分)

解得 ?

?d ? 2, ?a1 ? 2.

(4 分)

∴ an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n (Ⅱ)由 (Ⅰ),得 S n ? 所以 Tn ?

(6 分)

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n(n ? 1) 2 2

(8 分) (9 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ? S1 S 2 S n?1 S n 1 ? 2 2 ? 3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1? ?1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? ? n n ? 1 ?
? 1? 1 n ? n ?1 n ?1

(11 分) (12 分)

9、解:(I)等比数列 ?bn ? 的公比 q ?

b3 9 ? ? 3, b2 3

所以 b1 ?

b2 ? 1 , b4 ? b3q ? 27 . q

设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a1 ? b1 ? 1 , a14 ? b4 ? 27 , 所以 1 ? 13d ? 27 ,即 d ? 2 . 所以 an ? 2n ? 1( n ? 1 , 2 , 3 , ??? ). (II)由(I)知, an ? 2n ? 1, bn ? 3n?1 . 因此 cn ? an ? bn ? 2n ?1 ? 3n?1 . 从而数列 ?cn ? 的前 n 项和

Sn ? 1? 3 ????? ? 2n ?1? ?1? 3 ????? 3n?1
n ?1 ? 2n ? 1? 1 ? 3n ? ? 2 1? 3 ? n2 ?
10、

3n ? 1 . 2


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