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2.1直线与圆的位置关系(2)


浙教版数学九年级(下)

一、回顾旧知:直线与圆的位置关系 图形
直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ .o d r ┐ l . .O d r ┐

l

A

. B

lC

.

相离 0 d> r

相切 1 d=r

相交 2 d< r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直线名称

切点
切线

交点
割线

O
请按照下述步骤作图: 思考以下问题: A

l

如图,在⊙O上任取一点A,连结OA,过点A作直线l⊥OA,

(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?
(3)由此你发现了什么?

相等 d=r

(2)直线l和⊙O的位置有什么关系?根据什么? 相切

特征①:直线l 经过半径OA的外端点A 特征②:直线l 垂直于半径OA

切线的判定定理:
经过半径的外端点并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。 必须同时满足两条:
①经过半径外端点; ②垂直于这条半径. l O A

几何语言: ∵OA⊥l ,OA是⊙O的半径 ∴l是⊙O的切线

判断: (2)与半径垂直的的直线是圆的切线(×)

(1)过半径的外端点的直线是圆的切线( ×)

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线(×)
O l r A O r l O r l

A

A

判定直线与圆相切有哪些方法?
切线的判定方法有三种:
? ? ?

①直线与圆有唯一公共点; ②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ③切线的判定定理.即

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线 是圆的切线.

1.如图,Q在⊙O上,分别根据下列条件,判定直线PQ 与⊙O是否相切: (1)OQ=6,OP=10,PQ=8 (2)∠O=67.3°,∠P=22°42′
O Q P

2、如图,AB是⊙O的直径, AT=AB,∠ABT=45°。 求证:AT是⊙O的切线
T

B

O A

例1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,
CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线. 分析:由于AB过⊙O上 的点C,所以连接OC, 只要证明AB⊥OC即可。

练一练 1、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点
A、C,∠BAD=∠B=30°,BD交圆于点

D。求证:BD是⊙O的切线吗?
证明:连结OD.

∵ ∠BOD=2∠BAD=60° 而∠B = 30° ∴ BD⊥OD ∴直线BD是⊙O的切线

D A


O

C

B

∴∠BDO=180°-∠B-∠BOD=90°

2.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,弦AD∥OC. 求证:CD是⊙O的切线。

D A

O

.

B

3、如图:在?ABC中,AB=AC,AE平分∠BAC, BM平分∠ABC交AE于点M,经过B 、M两点的⊙O交 BC于点G,交AB于点F,FB恰好为⊙O的直径. 求证:AE与⊙O相切.
C

E M G A F O B

例题2: 如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O, OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证:AB是⊙O 的切线.
F B O

A E
C

1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC 于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说 明:AC是⊙D的切线.
A

F
E

B

D

C

问:如何过圆上一个已知点做圆的切线呢?
做一做:
如图AB是⊙O的直径,请分别过A,B作 ⊙O的切线.

O B

例3.如图,台风P(100,200)沿北偏东30°方向移动,受 台风影响区域的半径为200km,那么下列城市 A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540)中, 哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?
y(km)
600 500 400

D A
30°

B C

300
200 100 0

P

100

200 300 400 500 600 700

X(km)

如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT交⊙O于S点.

(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并 说明理由.
T Q S O P

判断下列命题是否正确.

(1)经过半径外端的直线是圆的切线.( × ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线.( × )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切 线.(



)

(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.( √ ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的 圆与底边相切.( √ )

请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P. (1)过点P是否都能作这个圆的切线? 点在圆内不能作切线 点在圆上

(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?

(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性? 点在圆外 (4)能作多于2条的切线吗? 相等 不能

切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线. 在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线

2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于 点D。 (1)求证:BC是△ADC的外接圆的切线; (2) △BDC的外接圆的切线是哪一条?为什么? (3)若AC=5,BC=12,以C为圆心作圆C,使圆C与 AB相切,则圆C的半径是多少? C

A

D

B

1、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC. (1)求证:DE是⊙O的切线.

(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的半径. C
D E A O B


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