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64东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-离散型随机变量的分布列-期望与方差-正态分布(理)A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 064A

离散型随机变量的分布列-期望与方差-正态分布(理科)A 1.若离散型随机变量 ? 的分布列为

?
P 则称 E ? = 随机变量取值的 。把

x1 p1

x2 p2

? xi

? xn

? pi ? pn

为随机变量 ? 的均值,也称为期望,它反映了离散型 叫做随机变量方差, D? 的算术平 ,记作 。随机变量的方差与标

方根 D? 叫做随机变量 ? 的 准差都反映了随机变量取值的 有 。

。其中标准差与随机变量本身

2.若 ? =a ? +b(a,b 为常数),则 E ? =E(a ? +b)=______________;D ? =D(a ? +b)=____________;若 ? 服从两点分布,则 E ? = 若 X 服从二项分布, ? ~ B(n, p) , E ? = 即 则 ,D ? = ,?= D , 。

3.函数 ?? ,? ( x) ? ______________ 的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线。 4.对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足 P(a ? X ? b) ? ____________, 则称 X 的分布为正态分布,正态分布完全由参数 确定。因此正态分布常记 作 ,如果 X 服从正态分布,则记为 。 5. 正态分布的特点: 曲线在 (1) ; 曲线关于直线 (2) 对 称; (3)曲线在 x ? ? 时 ; (4)当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线 ,表示总体的分布越 线 ,表示总体的分布越 五.课时作业 一、填空题 1. 下面说法中正确的是( ) A.离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的概率的平均值。 B.离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的平均水平。 ; 。

? 越小,曲

1

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C.离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的平均水平。 D.离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的概率的平均值。 2.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为ξ ,则下列结论正 确的是( ) A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099 C.P(ξ=k)=0.01k· 0.9910
-k

k D.P(ξ=k)=C 10 · 0.99k· 0.0110

-k

3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,命 中后的剩余子弹数目 ξ 的期望为( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4.(2007 宁夏理)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试 成绩如下表 环数 频数 甲的成绩 7 8 9 5 5 5 10 5 乙的成绩 环数 7 8 9 频数 6 4 4 10 6 丙的成绩 环数 7 8 9 频数 4 6 6 ) 10 4

s1,s2,s3

分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A. s3 ? s1 ? s2 B. s2 ? s1 ? s3 X P 1 0.5 C. s1 ? s2 ? s3 2 X 3 y

D. s2 ? s3 ? s1

5.设随机变量 X 的分布列为

15 ,则 DX=( 8 33 55 A. B. 64 64
若 EX=

) C.

7 32

D.

9 32

6. 在 一 次 歌 手 大 奖 赛 上 , 七 位 评 委 为 歌 手 打 出 的 分 数 如 下 : 9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均 值和方差分别为( ) A.9.4, 0.484 B.9.4, 0.016 C.9.5, 0.04 D.9.5, 0.016 二、填空题 7.袋中有 4 个红球,3 个黑球,今从袋中随机取出 4 个球.设取到一个红球得 2 分, 取到一个黑球得 1 分, 则得分ξ 的取值为_____________,ξ 数学期望等于__________. 8. 利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是_____.

2

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9. (2006 年四川卷)设离散性随机变量 ? 可能取的值为

1,2,3,4, P ?? ? k ? ? ak ? b ? k ? 1,2,3,4? , 又 ? 的 数 学 期 望 E? ? 3 , 则 a ? b ?
_______; 10. 一批电阻的阻值 X 服从正态分布 N(1000,52) ? ) ( 。今从甲、乙两箱成品中各 随机抽取一个电阻,测得阻值分别为 1011 ? 和 982 ? ,可以认为_______(填写正 确的序号) (1)甲、乙两箱电阻均可出厂; (2)甲、乙两箱电阻均不可出厂; (3)甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂; (4)甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂。 三、解答题 11. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、 个红球的箱子中每次随 1 机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金 10 元;摸出两个红球 可获得奖金 50 元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ 表示甲、乙两 人摸球后获得的奖金总额,求: (1)ξ 的分布列; (2)ξ 的数学期望。

12.某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造 成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙 预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发 生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或 不采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事 ... 件损失的期望值.)

3

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参考答案
⒈ 【提示】 x1P ? x2 P ? ? ? xn P ,平均水平, D? ? 1 2 n 偏离于均值的平均程度,相同单位 ⒉ 【提示】AE ? +b,a D ? ,P,P(1-P) ,nP,nP(1-P)
2

? ( x ? E? ) P ,标准差, ?? ,
2 i ?1 i i

n

? 1 3. 【提示】 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x?R
2

4. 【提示】

? ?? ? ( x)dx , ? 和 ? , N (?,?
a ,

b

) , X ~ N (? , ? 2 )
1 ,1,越“矮 2??

5. 【提示】位于 x 轴上方,与 x 轴不相交, x ? ? ,达到峰值

胖” ,分散 6.解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1,
?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1, ? 所以 ?0 ? 1 ? 2 p ? 1, ? 2 ?q ? 1, ?

解得 q=1-

2 .于是,ξ 的分布列为 2

ξ

-1

0
2 -1

1

P
所以 Eξ =(-1)×

1 2

3 - 2 2

1 3 +0×( 2 -1)+1×( - 2 )=1- 2 , 2 2

1 3 Dξ =[-1-(1- 2 ) 2× +(1- 2 )2×( 2 -1)+[1-(1- 2 ) 2×( ] ] 2 2
- 2 )= 2 -1. 7. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P Y2 P 2 0.2 5 0.8 8 0.5 10 0.2 12 0.2

4

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EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,
DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 , EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 , DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ) f ( x) ? D ?
2

? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

4 ? x ? ? 100 ? x ? 2 2 ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 1002 ? x ? 3(100 ? x) ? ? ? ? 100 ? ? 100 ? 4 600 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ,当 x ? ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2 100 2? 4
8. 分析: 两个随机变量ξ A 和ξ B&都以相同的概率 0.1,0.2,0.4,0.1,0.2 取 5 个不同的数值.ξ A 取较为集中的数值 110,120,125,130,135;ξ B 取较为分 散的数值 100,115,125,130,145.直观上看,猜想 A 种钢筋质量较好.但猜想不 一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性 解:先比较ξ A 与ξ B 的期望值,因为 Eξ A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, Eξ B=100×0.1+115×0.2+125×0.4 十 130×0.1+145×0.2=125. 所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为 2 2 2 2 Dξ A=(110-125) ×0.1+(120-125) ×0.2+(130-125) ×0.1+(135-125) × 0.2=50, 2 2 2 2 Dξ B=(100-125) ×0.1+(110-125) ×0.2+(130-125) ×0.1+(145-125) × 0.2=165.所以,Dξ A < Dξ B.因此,A 种钢筋质量较好 【变式与拓展】 解:Eξ 1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ 2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差 Dξ 1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) ×0.06+(3-0.44) ×0.04=0.6064, Dξ 2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264.
2 2 2 2 2 2 2 2

? ~ N (1, 22 ) ,? ? ? 1, ? ? 2 ; (1) P(?1 ? ? ? 3) ? P(1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2) ? P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826.
9. 解: ?

5

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(2) ? P(3 ? ? ? 5) ? P(?3 ? ? ? ?1)

1 1 ? P(3 ? ? ? 5) ? [ P(?3 ? ? ? 5) ? P(?1 ? ? ? 3)] ? [ P(1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4) ? P(1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2)] 2 2 1 ? [ P( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) ? P( ? ? ? ? x ? ? ? ? )] 2 1 ? (0.9544 ? 0.6826) 2 ? 0.1359. (3) ? P(? ? 5) ? P(? ? ?3). 1 1 ? P(? ? 5) ? [1 ? P(?3 ? ? ? 5)] ? [1 ? P(1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4)] 2 2 1 ? [1 ? P( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? )] 2 1 ? (1 ? 0.9544) 2 ? 0.0228.
【点评】 求随机变量 ? 在某一范围内的概率, 只需借助于正态密度曲线的图像性质以 及课本中所给给出的数据进行转化求值。 【变式与拓展】A 求离散型随机变量的均值、方差都有公式可循,正态分布需注意不同区间的概率。 10. 解:(I)解法一:

?1 的概率分布为 1.2 1.18 ?1
P

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 +1.18 ? +1.17 ? =1.18. 6 2 3 由题设得 ? ~ B(2, p) ,则 ? 的概率分布为
E ?1 =1.2 ?

?
P 故 ?2 的概率分布为

0

1

2

(1 ? p)2
1.3

2 p(1 ? p)
1.25

p2
0.2

?
P 所以 ?2 的数学期望为

(1 ? p)

2

2 p(1 ? p)
2 2

p2

E ?2 = 1.3 ? (1 ? p) + 1.25 ? 2 p(1 ? p) + 0.2 ? p = ? p ? 0.1 p ? 1.3 .
2

解法二:

?1 的概率分布为

6

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?1
P E ?1 =1.2 ?

1.2

1.18

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 +1.18 ? +1.17 ? =1.18. 6 2 3

设 Ai 表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则 P( ? =0)= P( A ) P( A2 ) ? (1 ? p)2 ; 1 P( ? =1)= P( A ) P( A2 ) ? P( A ) P( A2 ) ? 2 p(1 ? p) ; 1 1 P( ? =2)= P( A ) P( A2 ) ? p2 1 故 ?2 的概率分布为

?
P 所以 ?2 的数学期望为

1.3

1.25

0.2

(1 ? p)2

2 p(1 ? p)
2 2

p2

E ?2 = 1.3 ? (1 ? p) + 1.25 ? 2 p(1 ? p) + 0.2 ? p = ? p ? 0.1 p ? 1.3 .
2

(II) 由 E?1 ? E?2 ,得:

? p2 ? 0.1p ? 1.3 ? 1.18 ? ( p ? 0.4)( p ? 0.3) ? 0 ? ?0.4 ? p ? 0.3
因 0<p<1,所以 E?1 ? E?2 时,p 的取值范围是 0<p<0.3. 11. 解:正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

1 2? ?
1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

, x ? (??,??) ,它是偶

函数,说明μ =0, f (x) 的最大值为 f ( ? ) = 是标准正态分布

,所以σ =1,这个正态分布就

P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
参考答案: 1-6.CBCBBD

12 7. 8, 6, ; 7, 5 35

8. A 3

9. a ?

1 , b ? 0 ,∴ a ? b ? 10

1 10

10. (3)

11.解: (1) ζ 的所有可能的取值为 0,10,20,50,60.

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9 729 P (? ? 0) ? ( )3 ? ; 10 1000 1 9 9 18 243 P (? ? 10) ? ? ( ) 2 ? ? 2 ? ; 10 10 10 10 1000

1 18 18 ? 2? ; 10 10 1000 9 1 9 P(? ? 50) ? ? 2 ? ; 10 10 1000 1 1 P(? ? 60) ? 3 ? ; 10 1000 P(? ? 20) ?
(2) E? ? 0 ? 729 243 18 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 3.3 (元) 1000 1000 1000 1000 1000

12. 解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ; ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万 元) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1-0.85=0.15,损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90 (万元) ; ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生 突发事件的概率为(1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400×0.015=6 (万元) ,所以总费用为 75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可 使总费用最少. 一、选择题 1.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条 件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能取值的个 数是( A.5 ) B.9 C.10 D.25

解析:号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共 9 种.答案:B 2.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为: X P -1 0.5 0 1-2q 1 q2

8

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则 q 等于 ( A.1

) B.1± 2 2 C.1- 2 2 D.1+ 2 2

解析:由分布列的性质得

?0≤1-2q<1 ? ?0≤q2<1 ?0.5+1-2q+q2=1 ?

?0<q≤2, ?? 2 ?q=1± 2 .
1 1 B. 4

∴q=1-

2 .答案:C 2

1 3.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于( 2 3 A. 16 C. 1 16 5 D. 16

)

1 1 3 解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= .答案:A 2 2 16 4.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用 完后装回盒中, 此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量, 其分布列为 P(X), P(X 则 =4)的值为( 1 A. 220 ) 27 B. 55 27 C. 220 21 D. 55 C2 · 1 27 3 C9 = .答案:C C3 220 12

解析:X=4 表示取 2 个旧的,一个新的,∴P(X=4)= 5.若离散型随机变量 X 的分布列为: X P 0 9c -c
2

1 3-8c

则常数 c 的值为 ( 2 1 A. 或 3 3
2

) 2 B. 3 1 ∴c= .答案:C 3 1 C. 3 D.1

?9c -c≥0, ? 解析:由?3-8c≥0, ?9c2-c+3-8c=1, ?

6.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率

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为 c, b、 a、 c∈(0,1), 已知他投篮一次得分的数学期 望为 1(不计其他得分情况), 则 ab 的最大值为 ( 1 A. 48 ) 1 B. 24 1 C. 12 1 D. 6

解析:由已知 3a+2b+0×c=1,∴3a+2b=1,
2 1 1(3a+2b) 1 1 1 ∴ab= · 2b≤ 3a· = ,当且仅当 a= ,b= 时取“等号”.答案:B 6 6 4 24 6 4

二、填空题 7.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n=________. 1 解析:∵P(X=k)= (k=1,2,?,n), n 3 ∴0.3=P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= ,∴n=10.答案:10 n 8.从装有 3 个红球,2 个 白球的袋中随 机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随 机变量 X 的概率分布为 X P C2 C2 3 2 解析:当 2 球全为红球时 2=0.3,当 2 球全为白球时 2=0.1, C5 C5
1 C1· 2 6 3C 当 1 红、1 白时 2 = =0.6.答案:0.1 C5 10

0

1

2

0.6 0.3

9. 设某项试验的成功率为失败率的 2 倍, 用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X=0)的值为________. 解析:设 X 的分布列为: X P 0 p 1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败的概率为 p,成功的 1 1 概率为 2p,由 p+2p=1,则 p= .答案: 3 3 三、解答题

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10. 某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、 丙参加了一所中学的招聘面试, 乙、 面试合格者可以正式签约,毕业生甲表示只要面试合格就签约,毕业生乙和丙则 约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率 1 都是 ,且面试是否合格互不影响,求: 3 (1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 X 的分布列. 解:(1)至少有 1 人面试合格的概率为 2 19 P =1-?3?3= . ? ? 27 2 2 2 2 1 2 2 2 1 16 (2)P(X=0)= × × + × × + × × = . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 2 1 1 1 2 8 P(X=1)= × × + × × + × × = , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 2 1 1 2 P(X=2)= × × = . 3 3 3 27 1 1 1 1 P(X=3)= × × = . 3 3 3 27 从而 X 的分布列为 X P 0 16 27 1 8 27 2 2 27 3 1 27

1 1 11.(2010· 南通模拟)甲,乙两人射击,每次射击击中目标的概率分别是 , .现两人 3 4 玩射击游戏,规则如下:若某人某次射击击中目标,则由他继续射击,否则由对 方接替射击.甲、乙两人共射击 3 次,且第一次由甲开始射击.假设每人每次射 击击中目标与否均互不影响. (1)求 3 次射击的人依次是甲、甲、乙的概率; (2)若射击击中目标一次得 1 分,否则得 0 分(含未射击).用 X 表示乙的总得分, 求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)记“3 次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件 A.由题意,得事件 A 的概率

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1 2 2 P(A)= × = ; 3 3 9 (2)由题意,X 的可能取值为 0,1,2, 1 1 1 2 3 2 3 7 P(X=0)= × + × × + × = ; 3 3 3 3 4 3 4 9 1 2 1 2 1 3 13 P(X=1)= × × + × × = ; 3 3 4 3 4 4 72 2 1 1 1 P(X=2)= × × = . 3 4 4 24 所以,X 的分布列为: X P 0 7 9 1 13 72 2 1 24

12.(2010· 三亚模拟)为应对金融危机,刺激消费,某市给市民发放旅游消费券,由 抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概 率如下表: 200 元 老年 中年 青年 0.4 0.3 0.3 300 元 0.3 0.4 0.3 400 元 0.2 0.2 0.2 500 元 0.1 0.1 0.2

某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点, (1)求这三人恰有两人消费额大于 300 元的概率; (2)求这三人消费总额大于或等于 1300 元的概率; (3)设这三人中消费额大于 300 元的人数为 X,求 X 的分布列. 解:(1)P1=(0.3)2×0.6+2×0.3×0.7×0.4=0.222; (2)消费总额为 1500 元的概率是:0.1×0.1×0.2=0.002 消费总额为 1400 元的概 率是:(0.1)2×0.2+2×(0.2)2×0.1=0.010, 消费总额为 1300 元的概率是:(0.1)2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+0.23 +2×0.22×0.1=0.033.

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所以消费总额大于或等于 1300 元的概率是 P2=0.045; (3)P(X=0)=0.7×0.7×0.6=0.294, P(X=1)=0.3×0.7×0.6×2+0.7×0.7×0.4=0.448, P(X=2)=0.3×0.3×0.6+0.3×0.7×0.4×2=0.222, P(X=3)=0.3×0.3×0.4=0.036. 所以 X 的分布列为: X P 0 0.294 1 0.448 2 0.222 3 0.036

巩固 1.已知某一随机变量 ξ 的分布列如下,且 Eξ =6.3,则 a 的值为( ) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选 C.由题意得 0.5+0.1+b=1,且 Eξ =4×0.5+0.1a+9b=6.3,因此 b=0.4,a=7,选 C. 2. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ >c+1)=P(ξ <c-1),则 c= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.∵μ =2,由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2 对称,于是 c+1+c-1 =2,∴c=2.故选 B. 2 3.若 X~B(n,p),且 EX=6,DX=3,则 P(X=1)的值为( ) -2 -4 -10 -8 A.3·2 B.2 C.3·2 D.2 1 解析:选 C.EX=np=6,DX=np(1-p)=3,∴p= ,n=12, 2 1 1 11 1 -10 则 P(X=1)=C12 · ·( ) =3·2 . 2 2 4.(原创题)若 p 为非负实数,随机变量 ξ 的概率分布列如下表,则 Eξ 的最大 值为________,Dξ 的最大值为________.
[来源:学。科。网]

ξ

P

0 1 -p 2

1

p

2 1 2

3 1 2 解析:Eξ =p+1≤ (0≤p≤ );Dξ =-p -p+1≤1. 2 2

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3 答案: 1 2 5.两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 Eξ =________. 1 1 C2 ×C2 4 1 1 解析:当 ξ =1 时,P(ξ =1)= = ,P(ξ =2)= 2= , 2 3 9 3 9 4 1 2 ∴Eξ =1× +2× = . 9 9 3 2 答案: 3 6. 在某电视台的一次有奖竞猜活动中, 主持人准备了 A、 两个相互独立的问题, B 并且宣布:幸运观众答对问题 A 可获 100 分,答对问题 B 可获 200 分,先答哪个题由 观众自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二题,否则终止答题.答题终止 后,获得的总分将决定获奖的档次.若你被选为幸运观众,且假设你答对问题 A、B 1 1 的概率分别为 、 . 2 4 (1)记先回答问题 A 的得分为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望; (2)你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高?请说明理由 . 解:(1)X 的分布列为: X 0 100 300 1 3 1 P 2 8 8 1 3 1 600 ∴EX=0× +100× +300× = . 2 8 8 8 (2)设先答问题 B 的得分为随机变量 Y,则 Y 的分布列为 X 0 200 300 3 1 1 P 4 8 8 3 1 1 500 ∴EY=0× +200× +300× = . 4 8 8 8 ∴EX>EY. ∴先回答问题 A 所得的分较高. 练习
? ?1 1. 设一随机试验的结果只有 A 和 A , P(A)=m, 且 令随机变量 X=? ? ?0 则 X 的方差 DX=( ) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 解析:选 D.显然 X 服从两点分布,DX=m(1-m). 2.已知 X 的分布列为 X -1 0 1

A发生 A不发生



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P

1 2

1 3

1 6

7 ,且 Y=aX+3,EY= ,则 a 为( ) 3 A.1 B.2 C.3 D.4 1 1 1 1 解析:选 B.先求出 EX=(-1)× +0× +1× =- . 2 3 6 3 再由 Y=aX+3 得 EY=aEX+3. 7 1 ∴ =a(- )+3,解得 a=2. 3 3 4 3.正态总体 N(0, )中,数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)内的概率是( ) 9 A.0.46 B.0.997 C.0.03 D.0.0026 2 解析:选 D.由题意 μ =0,σ = , 3 2 2 ∴P(-2<X<2)=P(0-3× <X<0+3× )=0.9974, 3 3 ∴P(X<-2)+P(X>2)=1-P(-2≤X≤2)=1-0.9974=0.0026. 4.已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.4 0.4 则 E(6X+8)=( ) A.13.2 B.21.2 C.20.2 D.22.2 解析:选 B.EX=1×0.2+2×0.4+3×0.4 =0.2+0.8+1.2=2.2 , ∴E(6X+8)=6EX+8=6×2.2+8=13 .2+8=21.2. 2 2 5.设两个正态分布 N(μ 1,σ 1 )(σ 1>0)和 N(μ 2,σ 2 )(σ 2>0)的密度函数图象如 图所示,则有( )
[来源:学科网]

A.μ 1<μ 2,σ 1<σ 2 B.μ 1<μ 2,σ 1>σ 2 C.μ 1>μ 2,σ 1<σ 2 D.μ 1>μ 2,σ 1>σ 2 2 解析:选 A.由正态分布 N(μ ,σ )性质知 ,x=μ 为正态密度函数图象的对称 轴,故 μ 1<μ 2.又 σ 越小,图象越高瘦,故 σ 1<σ 2.

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6.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,则其 中含红球个数的数学期望是( ) 6 2 3 7 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析:选 A.记“同时取出的两个球中含红球个数”为 X, 0 2 1 1 C3 C2 1 C3 C2 6 则 P(X=0)= 2 = ,P(X=1)= 2 = , C5 10 C5 10 2 0 C3 C2 3 P(X=2)= 2 = , C5 10 1 6 3 6 EX=0× +1× +2× = . 10 10 10 5 7.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放 回地任取 3 件,若 X 表示取到次品的次数,则 DX=________. 1 1 3 9 9 解析:∵X~B(3, ),∴DX=3× × = .答案: 4 4 4 16 16 8.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=________时, 成功次数的方差最大,其最大值是________. p+q 2 n 1 解析:由 Dξ =npq≤n( ) = ,当 p=q= 时取等号,此时 Dξ =25. 2 4 2 1 答案: 25 2 9.均值为 2,方差为 2π 的正态分布的概率密度函数为________. 2 1 -(x-μ ) 解析:在密度函数 f(x)= e ,x∈R 中, 2 2σ 2π σ
[来源:学科网]

μ =2,σ = 2π , 2 1 -(x-2) 故 f(x)= e ,x∈R. 2π 4π 2 1 (x-2) 答案:f(x)= e- ,x∈R 2π 4π 10. (2009 年高考江西卷)某公司拟资助三位大学生自主创业, 现聘请两位专家, 独立地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的 1 概率都是 .若某人获得两个“支持”, 则给予 10 万元的创业资助; 若只获得一个“支 2 持”,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令 ξ 表示该公司的 资助总额. (1)写出 ξ 的分布列; (2)求数学期望 Eξ . 解:(1)ξ 的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30. 1 3 15 5 P(ξ =0) = ,P(ξ =5)= ,P(ξ =10)= ,P(ξ =15)= ,P(ξ =20)= 64 32 64 16 15 3 1 ,P(ξ =25)= ,P(ξ =30)= . 64 32 64

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3 15 5 15 3 1 (2)Eξ =5× +10× +15× +20× +25× +30× =15. 32 64 16 64 32 64 11.在北京奥运会期间,4 位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等 4 个景 1 点服务, 已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是 , 且他们之间不存在相互影响. 4 (1)求恰有 3 位志愿者在长城服务的概率; (2)设在故宫服务的志愿者人数为 X,求 X 的概率分布列及数学期望.

由此可得 X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 4 81 27 27 3 1 P 256 64 128 64 256 所以变量 X 的数学期望为 81 27 27 3 1 EX=0× +1× +2× +3× +4× =1. 256 64 128 64 256 12.(2009 年高考全国卷Ⅱ)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组 有 5 名工人,其中有 3 名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽 样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (3)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望. 解:(1)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层 抽样原理.若从甲、 乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核, 则从甲组抽取 2 名工人, 乙组抽取 1 名工人.

(3)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人. Ai 与 B 独立,i=0,1,2.

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P(ξ =2)=1-[P(ξ =0)+P(ξ =1)+P(ξ =3)]= .
故 ξ 的分布列为 ξ 0 6 75 1 28 75 2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

31 75

3 10 75 8 5

P

31 75

[来

源:Z§xx§k.Com]

Eξ =0×P(ξ =0)+1×P(ξ =1)+2×P(ξ =2)+3×P(ξ =3)= .

离散型随机变量的期望值和方差 1.设服从二项分布 B(n,p)的随机变量ξ 的期望和方差分别是 2.4 与 1.44,则二项 分布的参数 n、p 的值为 A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,命 中后的剩余子弹数目ξ 的期望为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 3.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ,则 A.Eξ =3.5,Dξ =3.52 C.Eξ =3.5,Dξ =3.5 B.Eξ =3.5,Dξ = D.Eξ =3.5,Dξ =

35 12

35 16 4.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为ξ ,则下列结论正 确的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1
C.P(ξ =k)=0.01k·0.9910
-k

k D.P(ξ =k)=C 10 ·0.99k·0.0110

-k

5.已知ξ ~B(n,p) ,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于

1 1 1 1 B. C. D. 7 6 5 4 6.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02.设
A.

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发病的牛的头数为ξ ,则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 7.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ 1、ξ 2,已知 Eξ 1=Eξ 2,Dξ 1 >Dξ 2,则自动包装机_______的质量较好. 8.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=_______时,成功次 数的标准差的值最大,其最大值为________. 9.甲从学校乘车回家,途中有 3 个交通岗,假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立

2 ,则甲回家途中遇红灯次数的期望为_______. 5 10.一次单元测试由 50 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中恰有 1 个是正确 答案.每题选择正确得 2 分,不选或错选得 0 分,满分是 100 分.学生甲选对任一题的 概率为 0.8, 求他在这次测试中成绩的期 望和标准差.
的,并且概率都是 11.袋中有 4 只红球,3 只黑球,今从袋 中随机取出 4 只球.设取到一只红球得 2 分,取到一只黑球得 1 分,试求得分ξ 的概率分布和数学期望.

12.一台设备由三大部件组成, 在设备运 转中,各部件需要调整的概率相应为 0.10, 0.20 和 0.30.假设各部件的状态相 互独立,以ξ 表示同时需要调整的部件数,试求ξ 的数学期望 Eξ 和方差 Dξ .

13.(辽宁卷)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工 而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每 种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别

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求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ 、η 分别表示一件甲、乙产品的利润, 在(I)的条件下,求ξ 、η 的分布列及 Eξ 、Eη ; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可 用资金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II)的条件下,x、y 为 何值时, z ? xE? ? yE? 最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)

答案

1 ; 5. 9. 1.2. 2 10.成绩的期望为 Eη =E(2ξ )=2Eξ =2×50×0.8=80(分) ;
1—6. BCBAAC 7. 乙 8. 成绩的标准差为σ η = D? = D(2? ) = 4D? =2 50 ? 0.8 ? 0.2 =4 2 ≈5.7(分).
C1 C 3 4 3
4 C7

11. P(ξ =5)=

=

4 , 35
C 3 C1 12 18 ,P(ξ =7)= 4 4 3 = , 35 35 C7

P(ξ =6)=

2 C 2 C3 4 4 C7 0 C 4 C3 4 4 C7

=

P(ξ =8)=

=

1 4 18 12 1 220 44 ,Eξ =5× +6× +7× +8× = = . 35 35 35 35 35 35 7

12.P(ξ =0)=P( A1 A2 A3 )=0.9×0.8×0.7=0.504; P(ξ =1)=P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)=0.1×0.8×0.7+0.9× 0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398; P(ξ =2)=P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8× 0.3+0.9×0.2×0.3=0.092; P(ξ =3)=P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ =1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6, Dξ =Eξ 2-(Eξ )2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46. 13. (Ⅰ) P ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68, 甲

P 0.75? 0.8 ? 0.6. 乙

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(Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1.
?5 x ? 10 y ? 60, ? (Ⅲ)解:由题设知 ?8 x ? 2 y ? 40, 目标函数为 z ? xE? ? yE? ? 4.2 x ? 2.1y. ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?
作出可行域(如图) : 作直线 l : 4.2 x ? 2.1y ? 0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上 的点 M 点与原点距离最大,此时 z ? 4.2 x ? 2.1y

取最大值. 解方程组 ?

?5 x ? 10 y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40.

得 x ? 4, y ? 4. 即 x ? 4, y ? 4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2 .

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