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2010年新田二中高一数学竞赛


试卷整合:唐春晖

2010 年新田二中高一数学竞赛·暑期培训(9)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.已知 ?ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角,则点 P ? sin A ? sin B ? sin C,sin A ? cos B ? 落在 ( A.第一象

限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2 .已知集合 M ? ?3, log2 x 4 ? ,N ? ? x ,y? ,且 M ? N ? ?2? ,函数 f : M ? N 满足:对任意的
x ? M , 都有 x ? f ? x? 为奇数 ,满足条件的函数的个数为

( D.4
2



A.0

B.1

C.2

3.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2

(C)36+12 2 (D)36+24 2 4.已知函数 f ? x ? 2 ? 为奇函数,且满足 f ? 6 ? x ? ? f ? x ? ,
f (3) ? 2 ,则 f ? 2008? ? f ? 2009 ? 的值为

( A.0 B.2

) C. ? 2 D.2009 ( )

1 5.已知函数 f ? x ? ? sin 4 x ? cos2 x ? sin 2 x cos 2 x ? x ? R ? ,则 f ? x ? 4

A.最大值为 2 C.一条对称轴为 x ?

B.最小正周期为 ?

?
4

D.一个对称中心为 (?

, ) 16 8

? 7

x ?1 6. 已知函数 f ? x ? ? 2 ? 2 , 关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? 2 f ? x ? ? k ? 0 , 下列四个命题中是假 命题 .

的是 A.存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; C.存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; D.存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 7.如图,在 ?OAB 中,点 P 是线段 OB 及 AB、AO 的延 长线所围成的阴影区域内(含边界)的任意一点,且 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ,则在直角坐标平面上,实数对 ? x, y ? 所表示的区域在直线 y ? x ? 3 的右下侧部分的面积是( P N





B

M )

O

A

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A.

7 2

B.

9 2

C.4

D.不能求

? 1? 8 . 已 知 函 数 f ? x ? ? x 4 ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d ? a, b, c, d 为实常数? 的 图 象 经 过 三 点 A ? 2, ? , ? 2?
? 1? ? 1? B ? 3, ? , C ? 4, ? ,则 f ?1? ? f ? 5? 的值等于 ? 3? ? 4?


26 5



A.0

B.1

C.

D.25

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。

? ?? 9.已知 ? , ? ? ? 0, ?, 且sin ? ? 2cos ?? ? ? ?sin ? ,若 tan ?? ? ? ? ? 3, 则 tan? ? ? 2?
10.若 ( x ? y ) ? x ? y ? 0 ,则 y ?
5 5

。.

。 。

11.函数 f ? n ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 3 ? ?? n ? 100 ? 50n ?n ? N ? ? 的最小值等于 12.设函数 f ? x ? ? 的值域是

1? ? 1? 3x ? ,若 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则函数 ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? x 2? ? 2? 1? 3 ?



13 . 已 知 二 次 函 数 f ? x ? ? x 2 ? 2mx ? 1 , 若 对 于 ? 0,1? 上 的 任 意 三 个 实 数 a, b, c , 函 数 值
f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 都能构成一个三角形的三边长,

则满足条件的 m 的值可以是

。 (写出一个即可) 1 3 8 2 5 20 48 3 7 4 9 5 6 11 13 7 … …

14.如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整 数, 然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正 中间的下方得到下一行,数表从左到右、从上到下 无限。则 2000 在表中出现 次。

12 16 20 64 80

24 … …

28 36 44 … 112 144 … … … …

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三、解答题:本大题共 4 小题,共 54 分。 15.在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ;

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

(2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

??? ? ??? ?

16.如图,已知 O 为 ?ABC 的外心, a, b, c分别是 角 A、 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? B、C 的对边,且满足 CO ? AB ? BO ? CA 。 (1)推导出三边 a, b, c 之间的关系式; (2)求
tan A tan A 的值。 ? tan B tan C

C

O

A

B

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17.已知函数 f ? x ? ?

1 , 对于n ? N? ,定义 1? x

f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ? ,偶函数 g ? x ? 的定义域为 ? x x ? 0? ,

当 x ? 0 时, g ? x ? ? f 2009 ? x ? 。 (1)求 g ? x ? ; (2)若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得该函数在 ? a, b ? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。

18. 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60 ,F 在 AC 上,
0

且 AE ? AF 。 (I) (II) 证明:B,D,H,E 四点共圆: 证明: CE 平分 ?DEF 。


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