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2000年世界城际间数学联赛(高中)题8的简证


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?4   2?

中 学 数 学 月 刊 

20 0 2年 第 1 O期 

固  圄 
法 1中 的 G 是 重 心 

也说梯形重心的几何作图法的由来  只 址  一   要 ̄ G 詈即 G1
黄 大

龙  ( 苏 省 张 家港 市教 研 室 江 250 ) 1 6 0 

可. 图 3 取 B 如 , G  的 中 点 G。 DG 的  , 中 点 G . G  G   B  则 , 。  
Q  C  

沈 家 书 先 生 的 文 [ ] 明 了 [] 1证 2 中论 述 的 
梯 形 重 心 几 何 作 图 法 的 正 确 性 . 里 给 出 另  这


是 PB 的 三 等 分  点 ; , 是 DQ 的  G G 
图 3  

证 明.  

二 , 分 点 . 结 G1 交 PQ 于 M , 结 G2   寺 连 G4 连 G。

先 将 两 种 作 图  方法叙 述如下 :  
方 法 1   取 

交 PQ 于 N , 知 G G / G    . G No   易    / G。 △ G  v
A GG1 .? G2 一    M . N ’ 1
1   . GG 1 G 1     M

M 一 百 6 G1 = 1 BQ  1  


AD, C 的 中 点 P, B   Q, 结 PQ, 连  连 再 结 BD, 梯 形 分 成 B 将   两 个 三 角 形 AB D 

一百  一一 2 G 一研 G
Q 
图l  

一 ‘    

C  

.G 是 梯 形 的重 心 . . .   再 证 方 法 2的正 确 性 .   我 们 知 道 了 图 3中 的 G 是 梯 形 的 重 心 ,  

和 BC 作 出这 两 个 三 角形 的 重 心 G , , D,  G 连 
结 G  与 P 相 交 于 G, G 为 所 求 梯 形 的  Gz Q 则
重 心.  

下 面 计 算  GP的 值
. 

图 3中 还 可 以知 道 GM 一    a


设 PQ — z ,  

方 法 2 如 图   
2 延 长 AD 到 E , ,  

则 MN=÷. G 设 M=xG ,N=y  ,
U  

使 DE— B 延 长  C, C 到 F, 得 BF B 使   =AD , 结 E 再  连 F; 连 结 AD 的 中 点 P  
是梯形 重心.  
图 2  

于 是   + 一  1


号 詈  一 ,
,  一  ,  

解 得  一 

和 BC 的 中 点  则 E 和  Q, F PQ 的交 点 G 就  先 证 方 法 1的 正 确 性 .  

从 G一 +一 而 Q ÷   
Gp = l +  
一  

,  
,  

设 BC—日, AD一6 梯 形 的 高 为 h 由 于  , .

即丽 G P一丽 +b 2 a
. 

5 . D bhS— △ - h所以5 1  ̄ 一- ,2 5D - , .   S B A b  一b a 1
: —b: 根 据 力 学 知 识 , 果 0 是 梯 形  Sz n, 如 重 心 , 0 在 GG 则    的 连 线 上 , 满 足 OG ? 且  

作 法 2正 是 取 G分 PQ 为  所 以 作 法 2是 正 确 的.  
参考 文献 

的方 法 ,  

5 O ?, S  所 要 方   G 5即  d 以 证   =     舞一2 1 一.

1 沈 家 书 . 形 重 心 的 几 何 作 图 法 的 由 来 . 学 数  梯 中
学月 刊 ,0 24 2 0..  

2 徐 稼红 . 学 数学 应 用与 建模. 州 大学 出 版社. 中 苏  

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20 0 2年 第 l O期 

中学 数 学 月 刊 

?4   3?

将  上  面  三  式  相  乘  得 


道 国 际 竞 赛 题 的 面 积 证 法 


 ̄ (  l c  口 1 a )( c 一日 。 口C /a , +a )_ + - c 。口 +1 ( )≤ 。  
口 

廖 炳 江 ( 州 省 普 定 县 教 育局 教 研 室 5 2 0 ) 贵 6 1 0 
口 

b ’  
。 . .

( 口一 1 a ) + 1 a ) a + 1 日)   + c  - c (c 一 ≤

题 目

设 口, , b C是 正 数 , a c 1  且 b= ,

b’  

求 ( 1 1( 1÷( 11  证口 + )—+ )-+ ) 一  6 c 口
≤ 1  .
1  .

故 ( 一1 n +  ) 6 1 ( — +  )C 1 - ) ( - + -  ̄  1

( 0 0年 4 20 1届 国 际数 学 竞 赛 试 题 )  

( 当且 仅 当 日 一c时 等 式 成 立 ) 一6  

证 明  由 条 件 得 c 一  , 一n , 之 代    c将 人 不 等 式 并 化 简 , ( 一 1 c ( + 1 C  得 口 +a ) 口 一a )

) ) I I ) ) ) ) c c I c I I I ) 术 c c c I c

) ) ) ) I I c c I I ) ) ) c c I c I I 半 c c

) ) I I ) )  c c I c I c

20 0 0年 世 界 城 际 间 数 学 联 赛  ( 中 ) 8的 简 证  高 题

) I ) ( I c

(+ )詈 ( ) a 卜口 .* c ≤   因 詈一 ?C 1 ( ) 为 日 a? , *关于口 所以 ,  
a , 换 对 称 , 妨 设 口 c口 1若 口 c C 1轮 不 ≥口 , ≥ . ≥口   + 1 易知 ( 左边 ≤0 ( 显 然成 立. 口 , *) , *) 若   < a + 1 则 易 知 (*) 边 三 个 括 号 均 为 正  c , 左
数 , 是 可 构 造 如下 图 形 证 明. 于  
如 图 1, 在  
C 

洪 ( 州 省 黔 东南 师 专 数 学 系 5 6 0 ) 贵 5 0 0 
) I ) c I ) c I ) c I c ) I ) c I c ) I c ) I ) c I ) c I c ) l c ) l ) c l c ) l c ) I ) c l c ) l )  c l c

20 0 0年 世 界 城 际 问 高 中 数 学 联 赛 8题 
是 :x / ABC 中 , 是 AB 上 的 一 点 , 是 BC X y  

上 的 一 点 , 段  y 和 C 相 交 于 z. 如  线 X 假
Y—Y 及  B—C 求 证 :   , 和 y 四  C Z, B, Z 点共 圆.   证 明  情 况 

/ AB 中 ,   C X C 设   一 9 。 C 为 AB O, D  

边 上 中线 , BC=  令


/ - — — — AC 一  — 1 a a— + c.

1 当 AY_ B 时 , : l C I  
由 Rt X / AYB Rt    
图 1  

4a 1 a , AB + - C则  
一  ,CD 一  

△ cy Z,得 
一  

Z  

C 

A B Y ,. B , , 。 . X  

 ̄  。 /   , 由 面 积 公 式 知 : AC ?B   C ̄ I AB ?   C ( 且 仅 当 AC=BC 时 等 式 成 立 ) D, 当  
。 . .  

Z, 四点 共 圆. y  

情  况 

2  .

图1  

AYB, AY 中 有 一 个 是 钝 角 .不 妨 设     C AY 为 钝 角 , 时 C C 此 Z> C   Y. 如 图 1所 示 , 长  y 到 D, CD —  延 使
CZ ,.  CZD =  CD Z. ’ .   (   1)

( 一 1 a ) 口+ 1 日 ) 口 + C ( 一 c 

≤ ?    丢

 ̄  一n  / , . 同 理 可 得 : ( + 1 c ( cf -   ≤    口 -a ) a - 1二 二

在 /C k DY 和 △ A8 中 , y  
。 CD = A B , y = A Y , . . C  

×   _. 丢 1  


, 一  AYB,‘/ CD   △ ABY , D . X . y l  
1   2  


. 

CDy=  ABY .  

( ) 2 



/ a + l a— -l a )   — c - )a- + c ≤ ( (
一 日 c.  

由()() 1 , 2 得  C D一  ABY, Z   故 B, , y 四点 共 圆.   Z,  

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中学 数 学 月 刊 

20 0 2年 第 1 0期 

注 意 : 证 明 A C   A AB 的 过 程   在 DY Y

[ + 3 ( +f 8 口 6 + ) ,。( +f ] . 6 + ) + 3 ( +f .   口6  

中 , 到 了 “ 三 角 形 中 , 果 有 两 边 对 应 相  用 两 如

+ ) 一去[6 )+(-d  b d  , +8 (一f  c )+(- )] 
. (+f .6 . + ) 3 6 f  + a( + + ) 8 0, ( + f + ≥ 即 6  

等 , 其 中有 一 条 大 边 所 对 的 角相 等 时 , 两  且 则 三角形全 等” 结论. 的  

+ )+ 3 2 ( +f   ×E 一 6 + ) ( +f ] 6 + ) 8 + ≥ 
0整理 得 (+f , 6 +  ) 一 3 6 f 。 ( + +  ) 4 0  一 ≤ ,


个 数 学 问题 的 巧 解  

解 之 得 , 1 6 + ≤ 4 当 口 一2 6 —  一 ≤ +f . 一 , 一f


÷ 时 ,+f b + 取最 大值 4 当 口 ,一f ; 一3 6  
d 一{ 时 ,+c 一 b +d取 最小值一 1 .  
解 法 2 ( 用 柯 西 不 等 式 ) 由条 件 可  利  

吕兴 功  ( 西省 扶 风 高级 中学  7 2 0 ) 陕 2 2 0 


《 学 通 报 》 0 1年 2月 号 数 学 问 题  数 20
1 30     0:

得 6 f + + 一 2 口 b + c+ z 一 ,z 2 一  一 口 , 柯   z由

设 口, f, b, d∈ R, 口 b+f d一 2, 6 且 + + 口 + 

西 不 等 式 , 6 +f  + ×1  ( 。   ( ×1 x 1 )≤ 6 +f + 
d ) 1 + 1 1 ), ( f   (    +   即 6+ + ) ≤ 3(   f +    6+  

口 口+ f 6+ d 一 求6 f  的 f d b   f一 要, + +   + +
最 大 值 和 最 小 值.  
本 题 除 了 《 学 通 报 》 已给 出 的一 种 解  数 上 法 之外 , 文涛 老师 在 20 赵 0 1年 《 学 数 学 月 中  

d ) 于 是 ( -a z 3  - a ) 整 理 得 , z 2, 2 )≤ (  , 2 口 一 


6 0 解 之 得 一2 口 3 . 一 1 b f d ≤ , ≤ ≤ ,‘ . ≤ + +  

≤ 4 下 面 同解 法 1 , .  

刊 》 8期 又 给 出了 这 一 问题 的两 种解 法 , 第 本 
文再 给另外三 种解法.  

解 法 3 ( 造 点 到 平 面 的 距 离 ) 由 已    构  
知 得 ,+f 6 + 一 2 口  一 ,
6 + c 十 z z z 一  一 口 . z  

() 1 
( ) 2 

首 先 计 算 口 +6 +f +  一 ( 十6       口 +f + 
d)  一 2 a ( b十 口 + a f d+ b + b c d+ c 一 4 2×  d) —

在 ( ) ( ) 式 中 , n暂 时 看 作 常 量 , 1 ,2 两 把  

c导一 . 一  警  
解法 1 ( 造关于 b   构 +f +  的 一 元 二 

b f d看 作 变 量 , ( ) ( ) 式 分 别 表 示 平  ,, 则 1 ,2 两
面 的 方 程 和 球 心 在 坐 标 原 点 、半 径 为 

次 不 等 式 ) ’ ( +f   . 6 + ) 一 一 E b c  (  .   ( - )+ f


√ 一 的 面 程. 面 球 有 共 警 n 球 方 .平 和 面 公     . .
? 

d  b- )] (c d d 一去[6   )+(-d  +3b+b +c ) ' - (一

f  ( - ) + ( 一 )] [ 8一 ( 6 f )+ c   6   +3 一  口 +口  

≤警   √  .

整 理 得 ,  口 口 一 一6 0 解 之 得 , 2 口 ≤ , 一 ≤ ≤ 

+ d]  ̄E - ) ( d +( d ]   a) -b C + c ) b ) 一 - ( 。 -   -  

3 .一 1 6 f ,’ . ≤ + + ≤ 4 下 面 同 解 法 1 , .  

中 学 理 科 刊 报 协 作 组 第 二 次 会 议 在 桂 林 举 行 
全 国 中学 理 科 刊报 协 作 组 第 二 次 会 议 于 2 0 0 2年 6月 举 行 . 议 由 广 西 师 大 《 会 中学 生 理 科  月 刊 》 辑 部 承 办 . 会 代 表 一 致 推 选 北 京 《 理 天 地 》 志 社 社 长 、 编 周 国镇 为 协 作 组 负 责  编 与 数 杂 总
人 , 定 了 首批 理 事 , 过 了协 作 组 公 约 , 就 我 国 加 入 W TO 后 , 报 面 I 样 的机 遇 和 挑 战  确 通 并 刊 临怎

广泛 地交换 了意见.  


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