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高考数学专题冲刺:集合与函数课时提升训练(7)(含答案)


集合与函数(7)
7、 设函数 f (x) =ax +bx +cx+2 的导函数为 f′ (x) , 如果 f′ (x) 为偶函数, 则一定有 ( A. a≠0,c=0 B. a=0,c≠0 C. b=0 D. b=0,c=0
3 2



10、设函数 f(x)的定义域为 R,若存在与 x 无关的正常数 M,使|f(x)|≤M|x|对一切实数 x 恒成立,则称 f(x)为有界泛函.有下面四个函数:

①f(x)=1; 界泛函的是( A. ①② 18、 已知

②f(x)=x ; ) B. ③④

2

③f(x)=2xsinx;



.其中属于有

C. ①③

D. ②④

, ( A. P=M ). C. R=M

,

,

B. Q=R

D. Q=N

22、已知函数 f(x)=a?2 +1(a≠0),定义函数 题:

|x|

给出下列命

①F(x)=|f(x)|; ②函数 F(x)是奇函数;③当 a<0 时,若 mn<0,m+n>0,总有 F(m) +F(n)<0 成立, 其中所有正确命题的序号是( A. ② B. ①③ ) C. ②③ D. ①②

23、已知函数 f(x)=x﹣[x],其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f(x) =kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是( ) A. B. C. D.

28、对于正整数





为整数),当

最小时,则称

为 的“最

佳分解”,并规定

(如 12 的分解有

其中,

为 12 的最佳分解,



)。关于

有下列判断:①



;③



。其中,正确判断的序号是
2

.

29、已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 y=f(x)的值域为 ________. 30、已知二次函数 f(x)=ax +x 有最小值,不等式 f(x)<0 的解集为 A. 设集合 B={x||x+ 4|<a},若集合 B 是集合 A 的子集,则 a 的取值范围是 .
2

31、 已知偶函数 y=f (x) 满足条件 f (x+1) =f (x﹣1) , 且当 x∈[﹣1, 0]时,





的值等于



32、在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P(x1,y1),Q(x2,y2) 之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题:①到原点的“折线距离”等于 1 的点 的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M(﹣1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④到 M(﹣1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)

34、有下列叙述①集合 A=(m+2,2m﹣1)? B=(4,5),则 m∈[2,3]②两向量平行,那么

两向量的方向一定相同或者相反③若不等式 成立,则实数 a 的取值范围是

对任意正整数 n 恒

④对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算⊕如下:当 m,n 奇偶性相同时,m⊕n=m+n;当 m, + + n 奇偶性不同时,m⊕n=mn,在此定义下,集合 M={(a,b)|a⊕b=12,a∈N ,b∈N }中元素 的个数是 15 个.上述说法正确的是 .

35、已知 f(x)为偶数,且 f(2+x)=f(2﹣x),当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2 ,若 n∈N , an=f(n),则 a2013= .

x

*

38、定义函数

与实数 m 的一种符号运算为 m⊙

已知函数

g(x)=4⊙

(1)

求 g(x)的单调区间;

(2)

若在
3


2

>2a-3 恒成立,求 a 的取值范围。
2 2

7、 解: 函数 f (x) =ax +bx +cx+2 的导函数为 f′ (x) =3ax +2bx+c, ∵函数 f′ (x) =3ax +2bx+c 2 2 是定义在 R 上的偶函数,∴f'(x)=f'(﹣x),即 3ax +2bx+c=3ax ﹣2bx+c,∴2bx=0 恒成 立,b=0.故选 C. 10、解:对于①,显然不存在 M 都有 1≤M|x|成立,故①错;对于②,|f(x)|=|x |≤M|x|, 即|x|≤M,不存在这样的 M 对一切实数 x 均成立,故不是有界泛函;②错对于③,f(x) |=|2xsinx|≤M|x|,即|2sinx|≤M,当 M≥2 时,f(x)=3xsinx 是有界泛函..③对对于④,
2

| ④故选 B18、D

|)|≤M|x|,即

≤M,只需

,④对综上所述,③

22、解答:解:由题意得,F(x)=

,而|f(x)

|=
|x|

,它和 F(x)并不是同一个函数,故①错误;∵函数 f(x)

=a?2 +1 是偶函数,当 x>0 时,﹣x<0,则 F(﹣x)=﹣f(﹣x)=﹣f(x)=﹣F(x);当 x<0 时,﹣x>0,则 F(﹣x)=f(﹣x)=f(x)=﹣F(x);故函数 F(x)是奇函数,②正 确;当 a<0 时,F(x)在(0,+∞)上是减函数,若 mn<0,m+n>0,总有 m>﹣n>0,∴F (m)<F(﹣n),即 f(m)<﹣F(n),∴F(m)+F(n)<0 成立,故③正确.故选 C.

23、解答:解:函数 f(x)=x﹣[x]的图象如下图所示:

y=kx+k 表示恒过 A(﹣1,0)点斜率为 k 的直线若方程 f(x)=kx+k 有 3 个相异的实根.则 函数 f(x)=x﹣[x]与函数 f(x)=kx+k 的图象有且仅有 3 个交点由图可得:当 y=kx+k 过(2, 1)点时,k= ,当 y=kx+k 过(3,1)点时,k= ,当 y=kx+k 过(﹣2,﹣1)点时,k=﹣1, 当 y=kx+k 过(﹣3,﹣1)点时,k=﹣ ,则实数 k 满足 ≤k< 或﹣1<k≤﹣ .故选 B.28、

②④

29、

{y|1≤y≤

}

30、

(0,

-2]

31、解:由 f(x+1)=f(x﹣1),得 f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 2 为周期的周期函 数,又 f(x)为偶函数,

所以

=f(log35)=f(log35﹣2)=f(

)=

+ =

= ,故答案为:

. 32、解:到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合{(x,y)||x|+|y|=1},是一个正方形故 ①正确,②错误;到 M(﹣1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是{(x, y)||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4},故集合是面积为 6 的六边形,则③正确;到 M(﹣1,0),N (1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合{(x,y)||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣ |y|=1}={(x,y)||x+1|﹣|x﹣1|=1},集合是两条平行线,故④正确;故答案为:①③④

34、解:①∵集合 A=(m+2,2m﹣1)? B=(4,5),∴

,解得 m∈[2,3];或 m+2

≥2m﹣1,解得 m≤3,综上可知:m≤3,故不正确;②因为零向量与任何向量平行,故不正确; ③当 n 为偶数时,原不等式可化为 不等式可化为 ,即 ,∴a ,即 a< ;当 n 为奇数时,原

,∴a≥﹣2.综上可知:实数 a 的取值范围是

,因此正确;④当 a 与 b 的奇偶性相同时,(a,b)可取(1,11),(2,10), (3,9),(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4),(9,3),(10,2), (11,1)共 11 个;

.当 a 与 b 的奇偶性不相同时,(a,b)可取(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).综 + + 上可知:集合 M={(a,b)|a⊕b=12,a∈N ,b∈N }中元素的个数是 15 个,因此正确.故正 确的答案为③④.故答案为③④. 35、解答: 解:∵f(2+x)=f(2﹣x),∴f(4+x)=f(2+(2+x))=f(2﹣(2+x))=f (﹣x)又∵f(x)为偶数,即 f(﹣x)=f(x)∴f(4+x)=f(x),得函数 f(x)的最小 正周期为 4∴f(2013)=f(503×4+1)=f(1)而 f(﹣1)=2 = ,可得 f(1)=f(﹣1)= 因此,a2013=f(2013)=f(1)= 故答案为:
﹣1

38、(1)g(x)的单调递增区间为

.

(2) g(x)的单调递减区间为

.


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