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【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题二 第3讲 极限、数学归纳法(理) 专题训练


第一部分

专题二

第3讲

极限、数学归纳法( 极限、数学归纳法(理)

(限时 60 分钟,满分 100 分) 限时 分钟, 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 选择题 本大题共 个小题, 1 1 1 1.(精选考题 江西高考 lim (1+ + 2+…+ n)=( . 精选考题 江西高考) 精选考题·江西高考 +3 3 3 = n→∞ →∞ 5 A. 3 3 B. 2 C.2 . )

D.不存在 .

1 1 1 1 3 解析: + 解析: lim (1+3+32+…+3n)= 1=2. = n→∞ →∞ 1- -3 答案: 答案:B 2.设函数 f(x)=(x+1)2(x-2),则 lim . - , x→ - 1 = + A.6 . C.0 . B.2 . D.- .-6 .- f′(x) ′ ) 等于( 等于 x+1 + )

f′(x) (x+1)2+2(x+1)( -2) )(x- ) ′ ) + ) ( + )( 解析:∵ = =3x-3, - , x+1 x+1 + + ∴xlim1 →- f′(x) ′ ) =-6. =- x+1 +

答案: 答案:D - ?x +2x-3(x>1) ? > ) - - 3.已知函数 f(x)=? x-1 等于( . = 在 x=1 处连续,则 f 1(3)等于 = 处连续, 等于 ?ax+1 (x≤1) + ≤ ) ? A.0 . 2 C.- .- 3 B.1 . 2 D. 3 x2+2x-3 - f(1)= + , =4.又当 x=1 时, =a+1, 又当 = x-1 -
2

)

解析: ∵ 解析: 函数 f(x)在 x=1 处连续, f(1)=lim 在 = 处连续, ∴ = x→ 1

x2+2x-3 - ∴a=3.当 x>1 时,令 = 当 > =3,得 x=0 或 1,不满足题设.当 x≤1 时,令 3x+1=3, , = ,不满足题设. ≤ + = , x-1 - 2 2 - 得 x=3,满足题设.∴f 1(3)=3. = 满足题设. = 答案: 答案:D 1 1 1 11 4.用数学归纳法证明 . + +…+ > 时,由 n=k 到 n=k+1,不等式左边的 = = + , 2n 34 n+1 n+2 + + 变化是( 变化是 )

1 A.增加 . 一项 2(k+1) ( + ) 1 1 B.增加 . 和 两项 2k+1 2k+2 + + 1 1 1 C.增加 . , 两项,同时减少 两项, 一项 2k+1 2k+2 k+1 + + + D.以上结论均错 . 1 1 1 1 解析: = 解析:n=k 时,不等式左边为 + +…+2k,n=k+1 时,不等式左边为 = + + k+1 k+2 + + k+2 + 1 1 1 1 +…+2k+ + , k+3 + 2k+1 2k+2 + + 1 1 1 两项, 一项. , 两项,减少 一项. 故增加 k+1 2k+1 2k+2 + + + 答案:C 答案: 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an .已知数列 的前 ≥ , , = 2 A. (n+1)2 + ) 2 C. n 2 -1 2 B. n(n+1) ( + ) 2 D. 2n-1 - ( )

解析: 解析:由 Sn=n2an 知 Sn+1=(n+1)2an+1, + ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an, + n a (n≥2). ∴an+1=(n+1)2an+1-n2an,∴an+1= + ≥ . n+2 n + 当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2, = a1 1 2 1 3 1 ∴a2= 3 =3,a3=4a2=6,a4=5a3=10. 1 1 1 , 由 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10. 2 . 猜想 an= n(n+1) ( + ) 答案: 答案:B x2-bx-2x+2b an+1+abn-1 - + 6.设 a,b 满足 → =-1, →∞ 等于( =- ,则lim n-1 等于 . , 满足lim x 2 n x-a a +2bn -
+ -

)

A.1 . 1 C. 3

1 B. 2 1 D. 4

解析: 解析:依题意得 a=2, = ,

lim →
x 2

x2-bx-2x+2b )(x- ) - + (x-b)( -2) - )( =lim x→ 2 x-a x-2 - - an+1+abn-1 - an 1+2bn
+ -

=-1, =lim (x-b)=2-b=- ,因此 b=3.故lim - = - =- = 故 →∞ →
x 2 n

2 4×( )n-1+2 ×3 + - 2n 1+2×3n 1 × 1 lim =n→∞ n-1 =lim =3. 2 +2×3n n→∞ 2 n-1 × ( ) +2×3 × 3 答案: 答案:C 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 填空题 本大题共 个小题, 7.设 a=lim . = x→ 1 x 3- x 2 3 ,则 1+a+a +a +…=________. + + x 4- 1 x 3- x x(x-1)( +1) )(x+ ) ( - )( =lim 4 →1 (x-1)( +1)( x -1 x )(x+ )( 2+1) )(x - )( )

解析: = → 解析:∵a=lim x 1 =lim x→ 1

x 1 = , x 2+ 1 2

2 3 ∴1+a+a +a +…=2. + +

答案: 答案:2
? ≥ ) ?acosx (x≥0) 8.已知函数 f(x)=? 2 . = 在点 x=0 处连续,则 a=________. = 处连续, = ? < ) ?x -1 (x<0)

=-1, → + = → + 解析: = →0- =- = , 在 = 解析:由题意得xlim f(x)=xlim (x2-1)=- ,xlim f(x)=xlim acosx=a,由于 f(x)在 x=0 →0- 0 0 处连续, =-1. 处连续,因此 a=- =- 答案: 答案:-1 9.已知 logab>1(0<a<1),则lim . > < < , n→∞ bn+an =________. bn-an

解析: 解析:logab>1,0<a<1 得 0<b<a, > < < < < , b (a)n+1 bn+an =-1. ∴lim n =- n=lim n→∞ b -a n→∞ b n ( a) - 1 答案: 答案:-1 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 解答题 本大题共 个小题, 10.(本小题满分 15 分)已知数列 n}的前 n 项和 Sn=(n2+n)·3n. . 本小题满分 已知数列{a 的前 已知数列 an (1)求lim S ; 求 →∞ n n a1 a2 an (2)证明: 2+ 2+…+ 2>3n. 证明: 证明 1 2 n Sn-Sn-1 an lim 因为lim 解:(1)因为n→∞ S =n→∞ 因为 Sn n

Sn-1 Sn-1 =lim (1- S )=1-lim S , - = - →∞ n→∞ n n n
n→∞

lim

Sn-1 1 n-1 1 - = lim = , Sn 3n→∞ n+1 3 +

an 2 所以lim 所以n→∞ S =3. n a1 (2)证明:当 n=1 时, 2=S1=6>3; 证明: 证明 = > ; 1 Sn-Sn-1 a1 a2 a n S 1 S 2- S 1 当 n>1 时,12+22+…+n2=12 + 22 +…+ n2 >
2 S n n +n n 1 1 1 1 1 1 1 - 2]S - + 2·S > 2= n2 ·3 >3n. =(12-22)·S1+(22-32)·S2+…+[ (n-1)2 n n 1 n n n - )

a1 a2 an 综上知, 综上知,当 n≥1 时,12+22+…+n2>3n. ≥ 11.(本小题满分 15 分)已知 n}是由非负整数组成的数列,满足 a1=0,a2=3,a3=2, . 本小题满分 已知{a 是由非负整数组成的数列 是由非负整数组成的数列, 已知 , , , an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…. , = , 试用数学归纳法证明: 试用数学归纳法证明:an=an-2+2,n=3,4,5,…; , = , 证明: 证明:①当 n=3 时,a3=2=a1+2,所以等式成立; = = ,所以等式成立; ②假设当 n=k≥3 时等式成立,即 ak=ak-2+2. = ≥ 时等式成立, 而由题设有 ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2). . 是非负整数, 由 ak-2 是非负整数,得 ak=ak-2+2≠0, ≠ , ∴ak+1=ak-1+2, , 等式也成立. 即当 n=k+1 时,等式也成立. = + 综合①②得 综合①②得:对任意正整数 n≥3, ①② ≥ , 都有 an=an-2+2. 1 12.(本小题满分 16 分)在数列 n}中,a1=1,当 n≥2 时,an,Sn,Sn- 成等比数列. . 本小题满分 在数列{a 中 成等比数列. 在数列 , ≥ 2 的表达式, (1)求 a2,a3,a4 并推出 an 的表达式, 求 (2)用数学归纳法证明所得的结论. 用数学归纳法证明所得的结论. 用数学归纳法证明所得的结论 1 成等比数列, 解:∵an,Sn,Sn-2成等比数列, 1 2 ∴Sn=an(Sn-2)(n≥2)① ≥ ① 2 (1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2 代入①得 a2=- , 由 , + 代入① 3 2 1 2 代入① 由 a1=1,a2=-3,S3=3+a3 代入①得 a3=-15. , 2 同理可得 a4=-35,由此可推出

(n=1) = ) ?1 ? an=? . 2 ≥ ) ?-(2n-3)( -1) (n≥2) )(2n- ) - )( ? (2)证明:①当 n=1、2、3、4 时,由(1)知猜想成立, 证明: 知猜想成立, 证明 = 、 、 、 知猜想成立
* ②假设 n=k(k≥2,k∈N )时, = ≥ , ∈ 时

2 ak=- 成立. 成立. (2k-3)( -1) - )(2k- ) )( 2 1 2 ·(S - ), 故 Sk=- , )(2k- ) (2k-3)( -1) k 2 - )( ∴(2k-3)(2k-1)S2+2Sk-1=0, - - k = , 1 1 (舍). ∴Sk= ,Sk=- 舍. 2k-1 2k-3 - - 1 由 S2+1=ak+1·(Sk+1-2)得 得 k 1 (Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk- ), 2, 2ak+1 a k+ 1 1 1 ∴ +a2+ + =a2+ + - a+, (2k-1)2 k 1 2k-1 k 1 2k-1 2 k 1 - ) - - -2 ∴ak+1= , [2(k+1)-3]·[2(k+1)-1] ( + ) ( + ) 命题也成立. 即 n=k+1 时,命题也成立. = + (n=1) = ) ?1 ? ①②知 由①②知 an=? 2 ≥ ) ?-(2n-3)( -1) (n≥2) )(2n- ) - )( ? 对一切 n∈N*成立. ∈ 成立.

x-3 - x 1. lim ( . )等于 等于( + 等于 x-1 x2-1 - x →1 A.1 . C.3 .

) B.2 . D.4 .

x-3 x(x+1)+x-3 - ( + ) - x 解析: 解析:∵ + = x-1 x2-1 x 2- 1 - x2+2x-3 (x-1)( +3) x+3 )(x+ ) + - - )( = = = , 2 x -1 )(x- ) (x+1)( -1) x+1 + )( + x-3 x+3 1+3 - + + x )= lim ∴ lim ( + 2 = = =2. x-1 x -1 - + 1+1 + x →1 x →1 x+1 答案: 答案:B

)(x+ ) (x-a)( +b) - )( 2. . 函数 f(x)= =-2 = 在点 x=1 和 x=2 处的极限值都是 0, = = , 而在点 x=- 处不连 =- x-c - 续,则不等式 f(x)>0 的解集为 > 的解集为( A.(-2,1) .- C.(-2,1)∪(2,+∞) .- ,+∞ ∪ ,+ ) B.(-∞,- ∪(2,+∞) . - ,-2)∪ ,+ ,+∞ D.(-∞,- ∪(1,2) . - ,-2)∪

)(x- ) (x-1)( -2) - )( ,+∞ 解析:由已知得: = ,则 f(x)>0 的解集为 -2,1)∪(2,+∞). > 的解集为(- ∪ ,+ . 解析:由已知得:f(x)= x+2 + 答案: 答案:C 3.设常数 a>0,(ax2+ . > , =________. 5r 5r 3 - 解析: 解析:∵Tr+1=Cr a4 rx8- 2 ,令 8- 2 =3,得 r=2,∴x3 的系数为 C2a2=6a2=2,则 - - , = , 4 4 1 a= , = 2 1 2 1 4 3 ) 的展开式中 x3 的系数为 ,则 li m (a+a2+a3+…+an) + 2 n→∞ x

3 n + 2 = ∴linm (a+a +a +…+a )= 1=1. →∞ 1- - 2

答案: 答案:1 4.(精选考题 上海高考 将直线 l1:x+y-1=0,l2:nx+y-n=0,l3:x+ny-n=0(n . 精选考题 上海高考)将直线 精选考题·上海高考 + - = , + - = , + - = ∈N*,n≥2)围成的三角形面积记为 Sn,则 lim Sn=________. ≥ 围成的三角形面积记为
n→∞ →∞

解析:如图所示, 解析:如图所示, = ?x=n+1, + ? n = ?y=n+1, + n

?nx+y-n=0, ? + - = , 由? 得 ? + - = ?x+ny-n=0

n n 则直线 l2、l3 交于点 A( , ). . n+1 n+1 + + n n n 1 1 1 1 Sn= ×1× × + ×1× × - ×1×1= × = - , 2 n+1 2 n+1 2 n+1 2 + + +

lim Sn= lim ( - )= lim = n+1 2 + n→∞ n→∞ n→∞ →∞ →∞ →∞
1 答案: 答案:2

n

1

1 1 1 - 1- . 1 2= - 2= 2 1+n +

1

3xn 4 1 5.对于数列{xn},满足 x1= ,xn+1= .对于数列 上有意义, - = , , ;函数 f(x)在(-2,2)上有意义,f(-2)=2, 在- 上有意义 3 1+xn + 3

x+y+z + + )成立. 成立. 且满足 x,y,z∈(-2,2)时,有 f(x)+f(y)+f(z)=f( , ,∈- 时 + + = 成立 1+xyz + 4 (1)求 f( )的值; 求 的值; 3 的值 (2)求证:{f(xn)}是等比数列; 求证: 是等比数列; 求证 是等比数列 (3)设{f(xn)}的前 n 项和为 Sn,求 li m 设 的前 →∞
n

3n-2 . Sn

解:(1)由 x=y=z=0?3f(0)=f(0),∴f(0)=0, 由 = == ? = , = , 令 z=0,得 f(x)+f(y)=f(x+y), = , + = + , =-x, 再令 y=- ,得 f(x)+f(-x)=f(0)=0, =- + - = = , =-f(x). 则 f(-x)=- . - =- 1 1 1 1 4 所以 f(3)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2) = + + = 1 =-3f(- =- =-6. =- -2)=- 4 (2)证明:由 x1= ,结合已知可得 证明: 证明 3 3xn 3 3 0<xn+1= < ≤ 4<2; < ; 3= 1+xn 1 + +x2 xn n 由 f(xn+1)=f( = xn+xn+xn 3xn )=f( )=f(xn)+f(xn)+f(xn)=3f(xn), = = + + = , 1+x3 + n 1+x3 + n

f(xn+1) ( 是以- 为首项, 为公比的等比数列, =-2× n 得 =3,即{f(xn)}是以-6 为首项,以 3 为公比的等比数列,且 f(xn)=- ×3 . , 是以 =- f(xn) ( a1(1-qn) -6×(1-3n) - × - (3)由 Sn= 由 = =3×(1-3n), × - , 1-q 1-3 - - 3n-2 3n-2 得 lim S = lim = lim × - n n→∞ n→∞ n n→∞ 3×(1-3 ) →∞ →∞ →∞ 2 1- n - 3 1 =-3. 1 3×( n-1) ×3 )


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