当前位置:首页 >> 数学 >>

广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)


广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设集合 A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|x(x﹣1)≤0},则 A∩B=() A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1} D.{0,1} 2. (5 分)满足 A. + i =i(i 为虚数单位)的复数 z=() B

. ﹣ i C. ﹣ + i D.﹣ ﹣ i

3. (5 分)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

4. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a3+a18 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在

5. (5 分)若实数 x、y 满足约束条

,则 z=x+y 的最大值为()

A.1

B. 2
2

C. 3

D.5

6. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 4,若抛物线上一点 P 到 y 轴 的距离是 1,则|PF|等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5 7. (5 分)命题 p:已知 α⊥β,则?l?α,都有 l⊥β;命题 q:已知 l∥α,则?m?α,使得 l 不 平行于 m(其中 α、β 是平面,l、m 是直线) ,则下列命题中真命题的是() A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q

8. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,若 a,b,c 成等比数列,则 A. B. C.

=() D.

9. (5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1) 、 (1,1, 0) 、 (0,1,0) 、 (1,1,1) ,则该四面体的外接球的体积为() A. π B. π C. π D.2π

10. (5 分)设函数 f(x)= cosωx 对任意的 x∈R,都有 f( =﹣2+3sinωx,则 g( A.1 )的值是() B . ﹣5 或 3 C . ﹣2

﹣x)=f(

+x) ,若函数 g(x)

D.

11. (5 分)过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 A. B. C.

=2



,则双曲线的离心率为() D.

12. (5 分)直线 y=m 分别与曲线 y=2x+3,y=x+lnx 交于 A、B,则|AB|的最小值为() A. B. C. 2 D.3

二、填空题: (共 20 分,共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=3, ? = ,则 S△ ABC=.

14. (5 分)从数字 0、1、2、3 中取出 2 个组成一个两位数,其中个位数为 0 的概率为. 15. (5 分)运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为 A,则集合 A 中元素的个数为.

16. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,给出下列结论: ①f(3)=1; ②函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ④若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上的所有根之和为﹣8. 则其中正确的命题为.

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤; ) 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=17,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=(﹣1) an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18. (12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从开始,将对二氧化碳排放量超 过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行 二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km) . 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km.

(1)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是多少? 19. (12 分)已知在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,若 SB⊥AC,SA=SC. (1)求证:平面 SBD⊥平面 ABCD; (2)若 AB=2,SB=3,cos∠SCB=﹣ ,∠SAC=60°,求四棱锥 S﹣ABCD 的体积.

20. (12 分)已知 g(x)=bx +cx+1,f(x)=x +ax﹣lnx+1,g(x)在 x=1 处的切线为 y=2x. (1)求 b,c 的值; (2)若 a=﹣1,求 f(x)的极值; (3)设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e≈2.718 为自然常数)时, 函数 h(x)的最小值为 3,若存在,请求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

2

2

21. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

选做题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在半径为 的⊙O 中,弦 AB、CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1. (1)求证相交弦定理:AP?PB=PD?PC; (2)求圆心 O 到弦 CD 的距离.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.若点 P(x,y)在曲线 C 的参数方程为 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若射线 θ= (ρ≥0)与曲线 C 相交于 A、B 两点,求|OA|+|OB|的值. (θ 为参数,θ∈R) ,以 O 为极点,

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (1)设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,求不等式 f(x)<2 的解集;

(2)若 a,b,c 都为正实数,且满足 a+b+c=2,证明: + + ≥ .

广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设集合 A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|x(x﹣1)≤0},则 A∩B=() A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1} D.{0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 x 的值确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即 可. 解答: 解:由 A 中 y=ln(2﹣x) ,得到 2﹣x>0,即 x<2, ∴A={x∈N|x<2}={0,1}, 由 B 中不等式解得:0≤x≤1,即 B={x|0≤x≤1}, 则 A∩B={x|0,1}, 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)满足 A. + i

=i(i 为虚数单位)的复数 z=() B. ﹣ i C. ﹣ + i D.﹣ ﹣ i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的基本运算即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴z+i=zi, 即 z= = = ﹣ i, =i,

故选:B. 点评: 本题主要考查复数的计算,比较基础.

3. (5 分)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,画出几何体的直观图,进而可分析出该四棱锥的侧面中,直角 三角形的个数. 解答: 解:由三视图知几何体为一四棱锥,其直观图如图:

由图已得:该棱锥的四个侧面均为直角三角形, 故该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 4 个, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是简单几何体的三视图,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 4. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a3+a18 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论. 解:由题可知:a3?a18=a1?a20=100, =2×10=20,

∴a3+a18≥2

故选:A. 点评: 本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识,注意解题方法的积累,属于中 档题.

5. (5 分)若实数 x、y 满足约束条

,则 z=x+y 的最大值为()

A.1

B. 2

C. 3

D.5

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函 数,验证即得答案.

解答: 解:如图即为满足不等式组

的可行域,

得 A(2,3) . 由图易得:当 x=2,y=3 时 x+y 有最大值 5. 故选:D.

点评: 在解决线性规划的小题时, 常用“角点法”, 其步骤为: ①由约束条件画出可行域?② 求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 6. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 4,若抛物线上一点 P 到 y 轴 的距离是 1,则|PF|等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 专题: 分析: 解答: 2 y =8x. 抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用抛物线的性质球的抛物线的方程,然后求解结果即可. 2 解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 4,可得 P=4,抛物线方程为:
2

抛物线上一点 P 到 y 轴的距离是 1,则|PF|=1+2=3. 故选:B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查. 7. (5 分)命题 p:已知 α⊥β,则?l?α,都有 l⊥β;命题 q:已知 l∥α,则?m?α,使得 l 不 平行于 m(其中 α、β 是平面,l、m 是直线) ,则下列命题中真命题的是() A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先判断命题 p,q 的真假;再利用复合命题真假的判定方法即可得出. 解答: 解:对于命题 p:由 α⊥β,?l?α,无法得出 l⊥β,因此是假命题; 对于命题 q:l∥α,则?m?α,使得 l 不平行于 m(为异面直线) (其中 α、β 是平面,l、m 是 直线) ,正确.则下列命题中:A. (¬p)∧(¬q)是假命题;B.p∨(?q)是假命题;C.p∧ (?q)是假命题; D. (?p)∧q 是真命题. 故选:D. 点评: 本题考查了复合命题真假的判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 8. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,若 a,b,c 成等比数列,则 A. B. C.

=() D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 b =ac,sin B=sinAsinC,再利用正弦定理可得 = =sinA=sin60°.
2 2 2 2

解答: 解:∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac,∴sin B=sinAsinC. 再由正弦定理可得 = =sinA=sin60°= ,

故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,正弦定理的应用,属于中档题. 9. (5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1) 、 (1,1, 0) 、 (0,1,0) 、 (1,1,1) ,则该四面体的外接球的体积为() A. π B. π C. π D.2π

考点: 球的体积和表面积;空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意,四面体的外接球就是棱长为 1 的正方体的外接球,其直径为正方体的对角 线 ,求出半径,即可求出四面体的外接球的体积.

解答: 解:由题意,四面体的外接球就是棱长为 1 的正方体的外接球,其直径为正方体的 对角线 , 半径为 ,∴四面体的外接球的体积为 π?( )3= π.

故选:A. 点评: 本题考查四面体的外接球的体积,考查学生的计算能力,正确转化是关键. 10. (5 分)设函数 f(x)= cosωx 对任意的 x∈R,都有 f( =﹣2+3sinωx,则 g( A.1 )的值是() B . ﹣5 或 3 C . ﹣2 D.

﹣x)=f(

+x) ,若函数 g(x)

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件可得 f(x)的图象关于直线 x= cosωx=± ,sinωx=0,从而求得 g( )的值. 对称,故有 ω? =kπ,k∈z, 对称,ω? =kπ,k∈z,求得 ω=6k,可得

解答: 解:由题意可得函数 f(x)的图象关于直线 x= ∴ω=6k,故可取 ω=6,∴f(

)= cosωx=± ,∴sinωx=0,

∴g(x)=﹣2+3sinωx=﹣2, 故选:C. 点评: 本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.

11. (5 分)过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 A. B. C.

=2



,则双曲线的离心率为() D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设右焦点为 F′,由 =2 ﹣ ,可得 E 是 PF 的中点,利用 O 为 FF'的中点,可得

OE 为△ PFF'的中位线,从而可求 PF′、PF,再由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可 求得离心率. 解答: 解:设右焦点为 F′,则 ∵ =2 ﹣ ,



+

=2



∴E 是 PF 的中点, ∴PF′=2OE=a, ∴PF=3a, ∵OE⊥PF, ∴PF′⊥PF, ∴(3a) +a =4c , ∴e= = ,
2 2 2

故选:C. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查抛物线的定 义,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 12. (5 分)直线 y=m 分别与曲线 y=2x+3,y=x+lnx 交于 A、B,则|AB|的最小值为() A. B. C. 2 D.3

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 设 A(x1,a) ,B(x2,a) ,则 2x1+3=x2+lnx2,表示出 x1,求出|AB|,利用导数求出 |AB|的最小值. 解答: 解:设 A(x1,a) ,B(x2,a) ,则 2x1+3=x2+lnx2, ∴x1= (x2+lnx2)﹣ , ∴|AB|=x2﹣x1= (x2﹣lnx2)+ , 令 y= (x﹣lnx)+ ,则 y′= (1﹣ ) , ∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1 时,函数的最小值为 2, 故选:C. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确求导确定函数的单 调性是关键. 二、填空题: (共 20 分,共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=3, ? = ,则 S△ ABC= .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算;正弦定理. 计算题;平面向量及应用. 利用向量的数量积求出两个向量的夹角,然后通过三角形的面积公式求解即可. 解:在△ ABC 中,AB=1,AC=3,

所以

=1×3×cosA=

∴cosA= , ∴sinA= 则 S△ ABC= 故答案为: 点评: 本题考查三角形的面积的求法,向量的数量积的应用,考查计算能力. sinA= =

14. (5 分)从数字 0、1、2、3 中取出 2 个组成一个两位数,其中个位数为 0 的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 列举可得总的数字为 9 个,个位为 0 的共 3 个,由概率公式可得. 解答: 解:从数字 0、1、2、3 中取出 2 个组成一个两位数 为 10,20,30,12,21,13,31,23,32 共 9 个, 其中个位数为 0 的为 10,20,30 共 3 个, ∴所求概率为 = , 故答案为: . 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,列举是解决问题的关键,属基础题. 15. (5 分)运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为 A,则集合 A 中元素的个数为 5.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图进行模拟运算即可. 2 解答: 解:第一次循环,y=(﹣3) +2×(﹣3)=9﹣6=3,x=﹣3+1=﹣2, 2 第二次循环,y=(﹣2) +2×(﹣2)=4﹣4=0,x=﹣2+1=﹣1,

第三次循环,y=1﹣2=﹣1,x=0, 第四次循环,y=0,x=1, 第五次循环,y=1+2=3,x=2, 第六次循环,y=4+4=8,x=3, 第七次循环,y=64+16=80,x=4, 此时 4≤3 不成立,程序终止, 输出 y=3,0,﹣1,0,3,8,80, 故 A={1,0,3,8,80}, 即集合 A 中元素的个数为 5 个, 故答案为:5 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,利用程序进行模拟运算是解决本题的关键. 16. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,给出下列结论: ①f(3)=1; ②函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ④若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上的所有根之和为﹣8. 则其中正确的命题为①②④. 考点: 函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用条件定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=﹣f(x) ,得出函数 f(x)周期 为 8,x=2,x=﹣2 均为对称轴,即可判断每一个选项正确与否. 解答: 解:由条件可知,函数 f(x)周期为 8,x=2,x=﹣2 均为对称轴, ①中,令 x=﹣1,则 f(3)=f(4﹣1)=﹣f(﹣1)=f(1)=log2(1+1)=1,故①正确; ②中,f(x)在[﹣2,2]上单调递增,由 f(x)关于 x=﹣2 对称,所以 f(x)在在[﹣6,﹣2] 上是减函数; 故②正确; ③中,f(0)≠f(2) ,可知 f(x)的图象不关于直线 x=1 对称;故③不正确; ④中,函数 f(x)的图象关于直线 x=﹣6,x=2 对称; ,可知 f(x)=m, (m∈(0,1) )的根 有 4 个,分别记为 x1,x2,x3,x4, 有 =﹣6, =2,故 x1+x2+x3+x4=8

故④正确 故答案为:①②④ 点评: 本题考查了函数的性质,函数的周期性,对称性,单调性的综合运用,属于中档题, 考查了学生的分析问题的能力. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤; ) 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=17,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=(﹣1) an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的首项和公差,由已知列式求出求出首项和公差,则等差数列的 通项公式可求; n (2)把数列{an}的通项公式代入 bn=(﹣1) an,分 n 为奇数和偶数求得数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 a2=17,S10=100,得 ,解得: .

∴an=15﹣2(n﹣1)=17﹣2n; n (2)bn=(﹣1) ?(17﹣2n) , ∴当 n 为奇数时,Tn=﹣15+13﹣11+9﹣…﹣(17﹣2n)= 当 n 为偶数时,Tn=﹣15+13﹣11+9﹣…+(17﹣2n)= . ;





点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,体现了分类讨论的 数学思想方法,是中档题. 18. (12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从开始,将对二氧化碳排放量超 过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行 二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km) . 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km.

(1)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是多少? 考点: 概率的应用. 专题: 计算题;应用题;概率与统计. 分析: (1)由平均数 = =120 求 x,再求方差比较可得稳定性;

(2)符合古典概型,利用古典概型的概率公式求解. 解答: 解: (1)由 x=120; = =120 得,

= S S
2


=120;
2 2 2 2 2

= [(80﹣120) +(110﹣120) +(120﹣120) +(140﹣120) +(150﹣120) ]=600; = [(100﹣120) +(120﹣120) +(120﹣120) +(100﹣120) +(160﹣120) ]=480;
2 2 2 2 2 2 2

2



因为 S 甲>S 乙; 故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好; (2)从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,共有 至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的情况有 故至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是 × =10 种情况, +1=7 种, .

点评: 本题考查了数据的分析与应用,同时考查了古典概型在实际问题中的应用,属于中 档题. 19. (12 分)已知在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,若 SB⊥AC,SA=SC. (1)求证:平面 SBD⊥平面 ABCD; (2)若 AB=2,SB=3,cos∠SCB=﹣ ,∠SAC=60°,求四棱锥 S﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 AC⊥平面 SBD,即可证明平面 SBD⊥平面 ABCD; (2)确定底面 ABCD 是菱形,求出 SC,SO,BO,即可求四棱锥 S﹣ABCD 的体积. 解答: (1)证明:设 AC∩BD=O,连接 SO,则 ∵SA=SC,∴AC⊥SO, ∵SB⊥AC,SO∩SB=S, ∴AC⊥平面 SBD, ∵AC?平面 ABCD, ∴平面 SBD⊥平面 ABCD; (2)解:由(1)知,SO⊥平面 ABCD,AC⊥BD,∴底面 ABCD 是菱形, ∴BC=AB=2, ∵SB=3,cos∠SCB=﹣ , ∴由余弦定理可得 SC=2, ∵∠SAC=60°, ∴△SAC 是等边三角形, ∴SO= ,

∴BO=

, =2 .

∴VS﹣ABCD=

点评: 本题考查求四棱锥 S﹣ABCD 的体积,考查线面、面面垂直,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 20. (12 分)已知 g(x)=bx +cx+1,f(x)=x +ax﹣lnx+1,g(x)在 x=1 处的切线为 y=2x. (1)求 b,c 的值; (2)若 a=﹣1,求 f(x)的极值; (3)设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e≈2.718 为自然常数)时, 函数 h(x)的最小值为 3,若存在,请求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;二次函数的性质;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)g'(x)=2bx+c 在 x=1 处的切线为 y=2x,所以 g'(1)=2,又在 x=1 处 y=2,所 以 g(1)=2.可解得函数解析式. (2)对 f(x)求导,列表得到极值点,求出极值. (3)构造新函数,对新函数进行求导,得出极值,即得到最小值,按照参数 a 的范围进行讨 论. 解答: 解: (1)g'(x)=2bx+c 在 x=1 处的切线为 y=2x,所以 g'(1)=2,又在 x=1 处 y=2, 所以 g(1)=2. 故 可得
2 2 2

所以 g(x)=x +1.

2

(2)当 a=﹣1 时,f(x)=x ﹣x﹣lnx+1,定义域为(0,+∞) f'(x)=2x﹣1﹣ = x f'(x) f(x) (0,1) ﹣ ↓ 1 0 极小值 f(1) (1,+∞) + ↑

由表格可知,当 x=1 时,函数 f(x)有极小值 f(x)极小值=f(1)=1 2 2 (3)因为 f(x)=x +ax﹣lnx+1,g(x)=x +1 2 2 所以 h(x)=f(x)﹣g(x)=x +ax﹣lnx+1﹣(x +1)=ax﹣lnx, 假设存在实数 a,使得 h(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3,h'(x)=a﹣ , ①当 a≤0 时,h'(x)<0,所以 h(x)在(0,e]上单调递减,h(x)min=h(e)=ae﹣1=3, a= (舍去) ;

②当 a>0 时,h'(x)= 1°,当 时, ,h'(x)<0 在(0,e]上恒成立.

所以 h(x)在(0,e]上单调递减,h(x)min=h(e)=ae﹣1=3,a= (舍去) ; 2°,当 时, ,当 时,h'(x)<0,所以 h(x)在( )上递减,



时,h'(x)>0,h(x)在(
2

)上递增,

所以 h(x)min=h( )=1+lna=3,a=e ,满足条件; 综上可知,存在 a=e 使得 x∈(0,e]时 h(x)有最小值 3. 点评: 本题主要考查导数在极值中的应用和含参数的函数最值的应用,属中档题目.
2

21. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)先求出 A、B、P 的坐标,从而求出直线 AP 的方程,进而求出弦 AM 的长; (2)设出直线 AP 的方程,联立方程组,求出 M 点的坐标,结合 BM⊥OP,求出 a 的值,从 而求出曲线 C 的方程. 解答: 解: (1)∵曲线 C 为圆,则曲线 C 为 x +y =1, ∴A(﹣1,0) ,B(1,0) ,P(1,± ∴直线 AP 的方程为:y=± (x+1) , ) ,
2 2

∴圆心到直线 AP 的距离为 d= , ∴弦 AM=2 =2 = ;

(2)由已知得 A(﹣a,0) ,B(a,0) , 由于点 N 在以 BP 为直径的圆上,且 O、N、P 三点中线,故 BM⊥OP, 显然,直线 AP 的斜率 k 存在且 k≠0,可设直线 AP 的方程为 y=k(x+a) ,
2 2 2 3 2 4 2 2



得: (1+a k )x +2a k x+a k ﹣a =0,

设点 M(xM,yM) ,∴xM?(﹣a)=



故 xM=

,从而 yM=k(xM+a)=



∴M(



) ,

∵B(a,0) ,∴

=(



) ,

由 BM⊥OP,可得
4 2 2 2

?

=

=0,

即﹣2a k +4a k =0, ∵k≠0,a>0,∴a= , 经检验,当 a= 时,O、N、P 三点共线, ∴曲线 C 的方程是: +y =1.
2

点评: 本题考察了直线和圆锥曲线的问题,第一问中求出 AP 的方程是解题的关键,第二问 中求出 M 点的坐标,利用向量垂直的性质是解题的关键,本题是一道难题. 选做题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在半径为 的⊙O 中,弦 AB、CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1. (1)求证相交弦定理:AP?PB=PD?PC; (2)求圆心 O 到弦 CD 的距离.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: (1)证明△ APC∽△DPB,可得 AP?PB=PD?PC; (2)利用垂径定理、勾股定理,即可求圆心 O 到弦 CD 的距离. 解答: (1)证明:连接 AC,DB,则有∠ACP=∠ABD,∠APC=∠DPB,

∴△APC∽△DPB, ∴ ,

∴AP?PB=PD?PC; (2)解:由(1)知,AP?PB=PD?PC,可得 2×2=1×PC, ∴PC=4, 过 O 作 OM⊥CD 于点 M,由圆的性质可知 CM=2.5, 在△ OMC 中,d= = .

点评: 本题考查三角形相似的判定与性质,考查垂径定理、勾股定理,考查学生的计算能 力,比较基础. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.若点 P(x,y)在曲线 C 的参数方程为 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若射线 θ= (ρ≥0)与曲线 C 相交于 A、B 两点,求|OA|+|OB|的值. (θ 为参数,θ∈R) ,以 O 为极点,

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,化为(x﹣2) +y =3,把
2 2

代入即可化为极坐标方程.

(2) 射线 θ= (ρ≥0) 的直角坐标方程为 y=x (x≥0) , 参数方程为

(t 为参数, t≥0) . 代

入圆 C 的直角坐标方程为:

=0,利用|OA|+|OB|=|t1+t2|即可得出.

解答: 解: (1)曲线 C 的参数方程为 化为(x﹣2) +y =3, 把
2 2

(θ 为参数) ,

代入化为极坐标方程:ρ ﹣4ρcosα+1=0.

2

(2)射线 θ=

(ρ≥0)的直角坐标方程为 y=x(x≥0) ,参数方程为

(t 为参数,t≥0) .

代入圆 C 的直角坐标方程为:

=0,

∴t1+t2=2 . ∴|OA|+|OB|=|t1+t2|=2 . 点评: 本题考查了极坐标方程与直角方程的互化、直线参数方程的应用、一元二次方程的 根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (1)设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,求不等式 f(x)<2 的解集; (2)若 a,b,c 都为正实数,且满足 a+b+c=2,证明: + + ≥ .

考点: 不等式的证明;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解 集,再取并集,即得所求. (2)由条件把不等式的左边化为 [3+ + + + ],再利用基本不等式证得结论.

解答: 解: (1)根据 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,由不等式 f(x)<2,

可得

①,或

②,或

③. 解①求得 <x≤1,解②求得 1<x<3,解③求得 x∈?,

综上可得,原不等式的解集为{x|<x<3}. (2)∵a+b+c=2,∴ + + = [ = [3+ + + + ]= [3+ + + ]

+ + ]≥ (3+2+2+2)= ,

当且仅当 a=b=c 时,取等号,故 + + ≥ 成立. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,用基本不等式证明不等式,体现了转化、分类 讨论的数学思想,属于基础题.


相关文章:
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 ...
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(理科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分...
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 ...
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(理科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分...
广西南宁市2015届高考数学三模试卷(理科)
(不等式选做题)对于实数 x,y,若|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,求|x﹣y+1|的最大值. 广西南宁市 2015 届高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择...
广东省梅州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广东省梅州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省梅州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 ...
广东省梅州市2015年高考数学三模试卷数学(文科)【解析版】
广东省梅州市2015高考数学三模试卷数学(文科)【解析版】_数学_高中教育_教育专区。广东省梅州市2015高考数学三模试卷数学(文科)【解析版】 ...
广西梧州市2015届高三上学期一模考试数学试卷(文科)
广西梧州市 2015 届高考数学模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0},B={﹣1,0,1,2,3...
广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷(文科)
广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省肇庆市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 ...
更多相关标签:
广西梧州市新楼盘 | 广西省梧州市 | 广西梧州市 | 广西梧州市苍梧县 | 广西省梧州市岑溪市 | 广西梧州市交警网 | 广西梧州市地图 | 广西梧州市红豆网 |