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2011年普通高等学校招生全 国统一考试(新课标全国卷) 理科数学第20题 在平面直角坐标系xOy中已知点A(01), , B点在直线 y ??3上,M 点满足MB //OA, MA AB ? MB BA, M 点 的轨迹为曲线C。 (?)求C的方程; (? )P为C上的动点,L为C在P点处的切线,求O点 到L距离的最小值 ? ? ? ? ? 1、向量平行的坐标运算 2、向量的数量积的坐标运算 3、倒数的几何意义 4、点到直线的距离公式 5、直线方程 Ⅰ设 ( ) M ? x, y ? ,由已知得B ? x, ?3 ? , A ? 0, ?1?. 所以MA ? (? x, ?1? y) , MB ? ? 0, ?3 ? y ? , AB ? ? x, ?2 ?. 再由愿意得知MA AB ? MB BA, 即(? x, ?1? y) ? x, ?2 ? ? ? 0, ?3 ? y ?? ? x,2 ?. 1 所以曲线C的方程式为y ? x2 ? 2. 4 方法总结:待定系数法及向量数量积应用 Ⅰ设 ( ) M ? x, y ? ,由已知得B ? x, ?3 ? , A ? 0, ?1?. 所以MA ? (? x, ?1? y) , MB ? ? 0, ?3 ? y ? , AB ? ? x, ?2 ?. 再由愿意得知(MA ? MB) AB ? 0, 即(? x, ?4 ? 2 y) ? x, ?2 ? ? 0 1 所以曲线C的方程式为y ? x2 ? 2 点评:充分运用向量的运算, 4 转化与化归思想的运用 1 2 1 ' 设P( x0 , y0 )为曲线C:y ? x ? 2上一点,因为y ? x, 4 2 1 所以l的斜率为 x0因此直线的方程为:x0 x ? 2 y ? 2 y0 -x2 =0。 2 2 | 2 y0 ? x0 | 1 2 则O点到的距离d , ? .又y0 ? x0 ? 2, 2 4 x0 ?4 1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ? 4 ? )?2 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4 2 所以当x0 ? 0时取等号,所以O点到距离的最小值为2. 1 x2 ? 4 1 x3 ' 0 2 2 d? ,设g ? x ? ? d , g ? x ? ? x2 ? 4 ( x2 ? 4) x2 ? 4 0 ' x ? 0时,g ? x ? ? 0,? (-?, 0) 是函数g ? x ? 单调递减区间 x ? 0时,g ? x ?' ? 0,? (0,+?) 是函数g ? x ? 单调递增区间 故g ? x ? 在x ? 0处有最小值。g ? 0 ? =2 所以O点到距离的最小值为2 ? 数学思想 ? (1)转化划归思想 ? (2)数形结合思想 ? (3)函数与方程的思想 ? 数学方法 ? (1)导数法确定切线斜率及方程 ? (2)构造基本不等式 ? (3)向量与解析几何、代数与几何的综合 ? 本题的问(1)可以在课本选修2-1第74页习题 2.4B组第3题找到原型题. ? 题目:已知点A,B的坐标分别是(-1,0)(1,0), 直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线 BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程。 ? 本题的问(2)可以在课本选修2-1第80页复习参考 题A组第11题找到原型题. ? 题目:在抛物线 y2 ? 4x上求一点P,使得点P到直线 y ? x ? 3的距离最短。 ? 两题目解题方法也一样,都是设出点M的 坐标(x,y),只是点M满足的条件不同

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