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2013年全国高中数学竞赛安徽赛区初赛试题及答案


013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
(考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 函数 f ( x) = x + 1 + x ? 1 + 4 ? x 2

的值域为 方程 sin( 2013 π x) = x 2013 的实根个数为 化简 sin 12° sin 48° sin 54° = . (用数字作答) . . . . 一 二 9 10 11 12 总分

2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器.

设数列 {a n } 满足 a1 = a 2 = 1,a n = 3a n ?1 ? a n ? 2 (n ≥ 3) ,则 a 2013 = 设 △ ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP = 设复数 z = x + y i 满足 则 y 的最大值为 x
300

2 AB + AC ,则 cos ∠BAC = 5

(

)

z +1 的实部与虚部之比为 3 ,其中 i 是虚数单位, x, y ∈ R , z+2


100

7. 8.

设 (1 + x + x 2 )150 = ∑ c k x k ,其中 c0 , ? , c300 是常数,则 ∑ c3k =
k =0 k =0

. .

随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为

二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题 22 分,共 86 分)

9.

设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10. 求所有函数 f : R → R ,使得对任意 x, y 都有
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy 且 x 2 ? x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + x 2 .
1 1

11. 设 a, b, c 是不全为 0 的实数,求 F = 条件时,F 取最大值与最小值?

ab ? bc + c 2 的取值范围.a, b, c 分别满足什么 a 2 + 2b 2 + 3c 2

(1 + a n ?1 ) 2 12. 设数列 {a n } 满足 a1 = 1,a 2 = 2,a n = (n ≥ 3) . a n?2 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:对任意正整数 k , a 2 k ?1 和 a2k 都是整数. 2

参考答案
一、填空题(每题 8 分,共 64 分) ① 2 + 3, 2 5

[

]

②4027



1 8

④1 ? 3



1 4



4 2 ?3 3 5

⑦ 3149



1 3

二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题 22 分,共 86 分) ? 1 ? 11 9.解:棱锥的高 h = 2 ? ? , ? ? ? = 3 (----5 分) ? 3?
2 2

故其体积 V =

1 3 11 (----10 分) 。 h= 3 4 12

另一方面,易求得棱锥的表面积 S = 从而其内切球半径 r =

3 15 (-----16 分) , +3 4 4

3V 11 (-----21 分) . = S 3 + 15

10.解:设 g ( x) = f ( x) ? x 2 ,则对任意 x, y 都有 )。 g ( x + y ) = g ( x) + g ( y ) 且 g ( x) ≤ x 2 (----8 分 由上述关系式,对任意 x 和正整数 n ,
1

| g ( x) |=

g (nx) n



x . (----16 分 )。 n

令 n 趋于无穷得, g ( x) = 0 .从而 f ( x) = x 2 (----21 分 )。

11.解:由 a 2 + b 2 ≥ 2ab, b 2 + c 2 ≥ ?2bc 得: a 2 + 2b 2 + 3c 2 ≥ 2(ab ? bc + c 2 ). ab ? bc + c 2 1 从而 F = 2 ≤ . 2 2 2 a + 2b + 3c 等号成立当且仅当 a : b : c = 1 : 1 : ?1. (------8 分). 为求 F 的最小值,固定常数 0 < α < 2, β > 3. 则由基本不等式
? a 2 + 2b 2 + 3c 2 = ? a 2 + α b 2 + (2 ? α )b 2 + β c 2 + ( β ? 3)c 2 ≤ 2 α ab ? 2 (2 ? α ) β bc + ( β ? 3)c 2

(

) (

)

等号成立当且仅当 a = ? α b, 2 ? α b = β c 。 令 2 α = 2 (2 ? α ) β = β ? 3 . 化简得

β 3 ? 5β 2 ? 5β + 9 = ( β ? 1)( β 2 ? 4 β ? 9) = 0.
由 β > 3. 求得 β = 2 + 13. 于是 F= ab ? bc + c 2 1 13 + 1 . (----20 分) ≥? =? 2 2 2 β ?3 12 a + 2b + 3c
5 + 13 : ?1 。故 F 的取值范围是 2

等号成立当且仅当 a : b : c = 2 + 13 : ?

? 13 + 1 1 ? (----22 分 )。 , ?. ?? 12 2 ? ?

2 ? ?a n ? 2 a n = a n ?1 + 2a n ?1 + 1 12.解: (1)由 ? ,两式相减得 2 ? ?a n ?1 a n +1 = a n + 2a n + 1

a n ?1 (a n +1 + a n ?1 + 2) = (a n ? 2 + a n + 2)a n . 结合 a3 = 9 ,得

a n +1 + a n ?1 + 2 a n + a n ? 2 + 2 a + a1 + 2 = =?= 3 = 6, an a n ?1 a2
从而 a n +1 = 6a n ? a n ?1 ? 2 (-----6 分) . 令 bn = a n ?
1 .得 bn +1 = 6bn ? bn ?1 ,解得 bn = c1λn ?1 + c 2 ? n ?1 ,其中 2

λ , ? = 3 ± 2 2 是方程 x 2 = 6 x ? 1 的两根, c1 , c 2 是常数.
1 3 1 由 b1 = ,b2 = ,解得 c1 = c 2 = .因此, {a n } 的通项公式为 2 2 4

an =

(3 + 2 2 ) n ?1 + (3 ? 2 2 ) n ?1 + 2 (-----12 分) 4

(2) a 2 k ?1 = 同理,

(3 + 2 2 ) k ?1 + (3 ? 2 2 ) k ?1 ); = ∑ C k2?j1 3 k ?1? 2 j 2 3 j ,是整数(-----17 分 2 j ≥0 a 2 k ( 2 + 1) 2 k ?1 + ( 2 ? 1) 2 k ?1 2 j +1 j )。 = ∑ C2 = k ?1 2 也是整数(-----22 分 2 2 2 j ≥0


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