2012年浙江省高中数学竞赛试题及详细答案(word版本)

2012 年浙江省高中数学竞赛试题

总分 200 分
一、选择题（50 分） 1、已知 i 是虚数单位，则复数

1 ? 2i =（ i?2
D

）

A

i

B

?i

C

4 3 ? ? i 5 5

4 3 ? ? i 5 5
）

2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间 ( ??, ??) 上单调递增的函数是（ A

y ? x2 ? x
? ?

B

y ? x ? 2sin x

C

y ? x3 ? x

D

y ? tan x

3、 已知 a , b 均为单位向量， 其夹角为 ? ， 则命题 （ ） A 充分非必要条件 C 充要条件 4、已知集合 P

? ? ? 5? p : a ? b ? 1是命题 q : ? ? [ , ) 的 2 6

B 必要非充分条件 D 非充分非必要条件

? ? x |1 ? x ? 2? , M ? ? x | 2 ? a ? x ? 1 ? a? ，若 P ? M ? P ，则实
） C B

数 a 的取值范围是（ A

(??,1]
?

[1, ??)

[?1,1]

D

[?1, ??)
）

5、函数 y

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值是（ 2 2 6

13 13 13 C D 4 2 6 、 如 图 ， 四 棱 锥 S ? ABCD的 底 面 是 正 方 形 ， SD ? 底 面 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A

13 4

B

A C D

AB ? SA

B

BC ? 平面 SAD

BC 与 SA 所成的角等于 AD 与 SC 所成的角 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
f ( x) ? x 2 , g ( x) ? log 2 x ，输入 x 的
） D

7、程序框图如图所示，若

值为 0.25，则输出的结果是（ A

0.24

B

?2

C

2

?0.25

8、设 i,

? ? ? ? ?? j 分别表示平面直角坐标系 x, y 轴上的单位向量，且 a ? i ? a ? 2 j ? 5 ，则 ? ? a ? 2i 的取值范围是（ ）
[2 2,3]
B

A

[

6 5 , 2 2] 5

C

[ 5, 4]

D

[

6 5 ,3] 5

9 135 x2 y2 )， ? ? 1 的左右焦点，点 A 的坐标为 ( , 9、已知 F1 , F2 分别为双曲线 C : 2 2 9 27
则 ?F1 AF2 的平分线与轴的交点 M 的坐标为（ A ）

(2,0)

B

(?2,0)

C

(4,0)

D

(?4,0)
）

10、设

f ( x) ? x 2 ? bx ? c ，若方程 f ( x) ? x 无实根，则方程 f ( f ( x)) ? x （
B 有两个相异实根 D 无实数根

A 有四个相异实根 C 有一个实根 二、填空题（共 49 分） 11、 设直线 y

? ax ? 4 与直线 y ? 8 x ? b 关于直线 y ? x 对称， a ? ___, b ? ____. 则

12、已知

1 ? cos x ? sin x ，则 x ? _______. 1 ? cos x
x( x ? 1) ? arcsin( x2 ? x ? 1) 的值为_______.
2

13、已知 x ? R ，则

14 、 已 知 实 数 a, b, c, d 满 足 ab ? c _______. 15、设数列 _______.

? d 2 ? 1 ， 则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的 最 小 值 为
2011

?an ? 为等比数列，且每项都大于

1，则 lg a1 lg a2012

? lg a lg a
i ?1 i

1

的值为

i ?1

1 1 ( x ? )4 ? ( x 4 ? 4 ) x x 的最小值为_______. 16、设 x ? 0 ，则 f ( x ) ? 1 1 ( x ? )3 ? ( x 3 ? 3 ) x x 17、如图是一个残缺的 3 ? 3 幻方，此幻方每一行每一列及每一 条对角线上得三个数之和有相等的值，则 x 的值为_______.
4015 2014

4017 9

2012 11

三、解答题（每题 17 分，共 51 分） 18、已知实数 x1 , x2 ,?, x10 满足 均值.

? | xi ? 1| ? 4, ? | xi ? 2 | ? 6 ，求 x1,x2 , ?, x10
i ?1 i ?1

10

10

的平

x2 y2 ? ? 1 长轴上一个动点，过点 P 斜率为 k 直线交椭圆于两点。若 19、设 P 为椭圆 25 16
PA ? PB
2 2

的值仅仅依赖于 k 而与 P 无关，求 k 的值.

20 、 设

p, q ? ， ? Z

且

p ? q2

。 试 证 对

n?Z?

， 存 在

N ?Z?
.

， 使

( p ? p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n 且 ( p ? p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n

四、附加题（每题 25 分，共 50 分） 。 21、设圆 O4 与 O1 ，圆 O1 与 O2 ，圆 O2 与 O3 ，圆 O3 与 O4 分别外切于 P , P , P , P ，试 1 2 3 4 证： （1） P , P , P , P 四点共圆； 1 2 3 4 （ 2 ） 四 边 形 O1O2O3O4 是 某 个 圆 的 外 切 四 边 形 ； 并 且 该 圆 的 半 径 不 超 过 四 边 形

P , P2 , P3 , P4 的外接圆的半径. 1

22、设 i1 , i2 ,?, i10 为1,2,?,10 的一个排列，记 S 求 S 可以取到的所有值.

? i1 ? i2 ? i3 ? i4 ? ? ? i9 ? i10

，