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高二数学理科测试卷(选修2-1


高二数学理科(2-1·2-2·2-3)测试卷
1. 抛物线 my 2 ? x ? 0 上的点到定点 (4, 0) 和到定直线 x ? ?4 的距离相等,则 m 的值为 ( A. )

1 16 m ? 2i ? n?i 2. 若 i 为虚数单位, m, n ? R ,且 i
B. ?
A. 0 B. 1

1 16

C. 16


D. -16
)

m?n ?(
C. 2

D. 3

3. 已知点 A(4,1,3), B(2, ?5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 3| AC |?| AB | ,则点 C 的坐标是 ( )

A. ( , ? , )

7 2

1 5 2 2

B. ( , ?3, 2)

3 8

C. (

10 7 , ?1, ) 3 3

D. ( , ? , )

5 2

7 3 2 2

4. F ( n) 是一个关于自然数 n 的命题,若 F (k )(k ? N ? ) 真,则 F (k ? 1) 真,现已知 F (7) 不 真,则有:① F (8) 不真;② F (8) 真;③ F (6) 不真;④ F (6) 真;⑤ F (5) 不真;⑥ F (5) 真. 其中真命题有( ) A. ③⑤ B. ①③ C. ④⑥ D. ②④ 5.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象如图所示,则不等式 xf '( x) ? 0 的解集为(

)

1 1 A.(-∞, )∪( ,2) 2 2 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) 2 2 6. 已知椭圆

1 B.(-∞,0)∪( ,2) 2 1 D.(-∞, )∪(2,+∞) 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上且 BF ? x a 2 b2


轴,直线 AB 交 y 轴于点 P . 若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2
'

' ' ' ' ' 7. 已知平行六面体 ABCD ? A B C D 中, AB ? 4, AD ? 3, AA ? 5 , ?BAD ? ?BAA ?

?DAA' ? 60? ,则 AC ' 的长为(
A. 5 2 B.

) C. 10 D.

62

97

8. 等比数列 {an } 中,a1 ? 2 ,a8 ? 4 , 函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )…( x ? a8 ) , 则 f( '0 ) (
6

?


9 12 15

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 9. 由 0 到 9 这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中,满足千位、百位、十位上的数 字成递增等差数列的五位数共有( ) A. 720 个 B. 684 个 C.648 个 D.744 个 10. 点 P 是曲线 x2 ? y ? 2ln x ? 0 上任意一点, 则点 P 到直线 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 的最小距离 是( A. )

2 (1 ? ln 2) 2

B.

2 (1 ? ln 2) 2

C.

2 1 ( ? ln 2) 2 2

D.

1 (1 ? ln 2) 2

11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线与直线 a2

l : 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ?
1 x

. .

2 9 12. 二项式 ( ? 2 x ) 的展开式中,除常数项外,各项的系数的和为

13. 7 名同学中安排 6 人在周六到两个社区参加社会实践活动. 若每个社区不得少于 2 人, 则 不同的安排方案共有 种(用数字作答). 14.将边长为 1m 的正三角形薄片沿一条平形于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是 S? 梯形的面积

. .

15.给出下列命题,其中真命题的序号是
2

①若 ? ~ N (1, ? ) ,且 P(0 ? ? ? 1) ? 0.3 ,则 P(? ? 2) ? 0.2 ; ②函数 y ? sin x( x ? [?? , ? ]) 的图象与 x 轴围成的图形的面积 S ? ③ (x ?

? ? sin xdx ;
?

?

1 ? 2)5 的展开式的项数是 6 项; x

④将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
2 ⑤在一个 2 ? 2 列联表中,由计算得 K ? 13.079 ,则至少有 99%的把握认为这两个变量有

关系; 16.(1)已知 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9x ? a ,若 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20 ,求它在
3 2

该区间上的最小值. (2)设函数 g ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? g ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x

7 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求 g ( x) 的解析式.

17. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD ,PD ? CD ,底面 ABCD 是 直角梯形, AB // CD, ?ADC ? 90?, AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . (1)求证: BC ? 平面 PBD ; (2)设 E 为侧棱 PC 上一点, PE ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 E ? BD ? P 的大 小为 45 ? . P E D C B

A

18.2010 年 6 月 11 号,第十九届世界杯在南非拉开帷幕. 比赛前,某网站组织球迷对巴西、 西班牙、意大利、英格兰四支夺冠热门球队进行竞猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球 队,现有三人参与竞猜. (1)若三人中每个人可以选择任一球队,且选择各个球队是等可能的,求四支球队中恰好 有两支球队被选择的概率; (2)若三人中只有一名女球迷,假设女球迷选择巴西队的概率为 概率为

1 ,男球迷选择巴西队的 3

1 ,记 ? 为三人中选择巴西队的人数,求 ? 的分布列和期望. 4

19.袋中有大小相同的 4 个红球与 2 个白球. (1)若从袋中依次不放回取出一个球,求第三次取出白球的概率; (2)若从袋中依次不放回取出一个球,求第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概 率; (3)若从中有放回地依次取出一个球,记 6 次取球中取出红球的次数为 ? ,求 P(? ? 4) 与

E(9? ?1) .

20. 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

OP OM

? ? ,求点 M

21. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x2 (a 为实常数) (1)若 a ? ?2 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值及相应的 x 值.

参考答案:
1.B 2.D 11.2 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 13.350 14. 12.671

32 3 3

15.①④⑤

16.(1) a ? ?2 ,最小值为-7 (2) g ( x ) ? x ? 17.(2) ? ? 18.(1)

3 x

2 ?1

9 16
0 1 2 3

(2)分布列为

?
P

3 8 5 6 1 3

7 16

1 6

1 48

E? ?

19.(1)

(2)

3 5

(3) P (? ? 4) ?

473 . 729

E (9? ? 1) ? 35

x2 y 2 ? ?1 20.(1) 16 7
(2)方程为 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112(?4 ? x ? 4) 当? ? 当? ?

3 4 7(?4 ? x ? 4) ,其轨迹为两条平行于 x 轴的线段; 时,方程可化为 y ? ? 4 3 3 时,方程可化为 4

x2 y2 ? ? 1(?4 ? x ? 4) ; 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,其轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4

3 ? ? ? 1 时,其轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,其轨迹为焦点在 x 轴上的一个椭圆.
2 21. (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x ,

当 x ? (1,??) , 故函数 f ( x) 在 (1,?? ) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数. (2)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x ,
2 可化为 a( x ? ln x) ? x ? 2 x .

f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ?0 x ,

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取, 所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,因而 令

a?

x 2 ? 2x x ? ln x ( x ?[1, e] )

g ( x) ?

x 2 ? 2x x ? ln x ( x ?[1, e] ) ,

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ? ln x) 2 又 , 当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等 号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, g ?( x) ?

e 2 ? 2e g (e) ? e ?1 , 故 g ( x) 的最大值为
e2 ? 2e [ , ??) 所以 a 的取值范围是 e ? 1 .
(3)

f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) x ,
2 2

当 x ?[1, e] , 2x ? a ?[a ? 2, a ? 2e ] . 若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数, 此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . 若 ? 2e ? a ? ?2 ,当
2

x?

?a 2 时, f ?( x) ? 0 ;



1? x ?

?a 2 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是减函数;

?a ? x?e 当 2 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数. ?a a a a ) ? ln(? ) ? 2 2 2 2. 2 2 若 a ? ?2e , f ?( x ) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) , f ( x ) [ 1 , e ] 故函数 在 上是减函数,
故 [ f ( x)] min ?

f(

2 此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e . 综上可知,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;

a a a ln(? ) ? 2 2, 当 ? 2e ? a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 2
2

?a 相应的 x 值为 2 ; 2 2 当 a ? ?2e 时, f ( x) 的最小值为 a ? e ,相应的 x 值为 e .


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