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2007年全国高中数学联赛试题及详细解析


2007 年全国高中数学联赛
( 考试时间:上午 8:00—9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 如图, 在正四棱锥 P? ABCD 中, ∠APC=60°, 则二面角 A? PB? C 的平面角的余弦值为 ( A. )

1 7

B. ?

1 7

C.<

br />
1 2

D. ?

1 2

5. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能是 ( )

6. 已知 A 与 B 是 集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且 为 A∩B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 在平面直角坐标系内,有四个定点 A(? 3,0),B(1,? 1),C(0,3),D(? 1,3)及一个 动点 P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6,

CA ? 33 ,若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心,

2 3 为半径作一个球,则球面 3

与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 若 a1=d,
2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于________。 b1 ? b2 ? b3 sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为________。 11. 已知函数 f ( x) ? 4 4 x

b1=d2,且

12. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

1

13. 设 an ?

? k (n ? 1 ? k ) ,求证:当正整数 n≥2 时,a
k ?1

n

1

n+1

<an。

14. 已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: y ? x ? 在点 M、N 处切线的交点轨迹。

1 ( x ? 0) 交于两个不同点 M 和 N。求曲线 C x

15. 设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π )=f(x), 求证: 存在 4 个函数 fi(x)(i=1, 2, 3,4)满足: (1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x,有 fi(x+π )=fi(x); (2)对任意的实数 x,有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 如图, 在正四棱锥 P? ABCD 中, ∠APC=60°, 则二面角 A? PB? C 的平面角的余弦值为 (



2

A.

1 7

B. ?

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2
P

【答案】B 【解析】如图,在侧面 PAB 内,作 AM⊥PB,垂足为 M。连结 CM、AC,则∠AMC 为 二面角 A? PB? C 的平面角。不妨设 AB=2,则 PA ? AC ? 2 2 ,斜高为 7 ,故

2 ? 7 ? AM ? 2 2 ,由此得 CM ? AM ?
AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 cos?AMC ? ?? 。 2 ? AM ? CM 7

7 。在△ AMC 中,由余弦定理得 2
A

D

M C B

3. 将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b。 则使不等式 a? 2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( ) A.

52 81

B.

59 81

C.

60 81

D.

61 81

【答案】D 2 【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 9 =81 个。 由不等式 a? 2b+10>0 得 2b<a+10,于是,当 b=1、2、3、4、5 时,每种情形 a 可取 1、2、…、 9 中每一个值,使不等式成立,则共有 9×5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、…、9 中每一 个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6 、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种;当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种。于是,所求事件的概率为

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 。 81 81
4. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x? c)=1 对任意实数 x 恒

3

b cos c 的值等于( a 1 1 A. ? B. 2 2
成立,则 【答案】D

) C. ? 1 D. 1

5. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆, 动圆 P 与这两个定圆都相切, 则圆 P 的圆心轨迹不可能是 (



【答案】A 【解析】设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨迹是焦 点为 O1、O2,且离心率分别是

2c 2c 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是轨 r1 ? r2 | r1 ? r2 |

迹的一部份,当 c=0 时,轨迹是两个同心圆)。 当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1? r2|时,圆 P 的圆心轨迹如 选项 C;当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时 ,圆 P 的圆心轨迹如选项 D。由于选项 A 中的椭圆和双曲线 的焦点不重合,因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A。 6. 已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且 为 A∩B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【答案】B 【解析】先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若 A 是{1,2,…,49}的任一个 34 元子集,则必存在 n∈A,使得 2n+2∈B。证明如下: 将{1,2,…,49}分成如下 33 个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共 12 个; {2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共 4 个;{25},{27},{29},…,{49}共 13 个; {26},{34},{42},{46}共 4 个。由于 A 是{1,2,…,49}的 34 元子集,从而由抽屉原理

4

可知上述 33 个集合中至少有一个 2 元集合中的数均属于 A,即存在 n∈A, 使得 2n+2∈B。 如取 A={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46}, B={2n+2|n∈A},则 A、B 满足题设且|A∪B|≤66。

9. 已知正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 【答案】

2 3 为半径作一个球,则球面 3



5 3π 6

【解析】如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的 三个面上, 即面 AA1B1B、 面 ABCD 和面 AA1D1D 上; 另一类在不过顶点 A 的三个面上, 即面 BB1C1C、 面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上。在面 AA1B1B 上,交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上,因为

π π π 2 3 ,AA1=1,则 ?A1 AE ? 。同理 ?BAF ? ,所以 ?EAF ? ,故弧 6 6 6 3 2 3 π 3 ? ? π ,而这样的弧共有三条。在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG EF 的长为 3 6 9

AE ?

且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为 B,半径为

π 3 3 π 3 , ?FBG ? ,所以弧 FG 的长为 ? ? π 。这样的弧也有三条。 2 3 3 2 6 3 3 5 3π π ? 3? π? 于是,所得的曲线长为 3 ? 。 9 6 6
10. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 若 a1=d,

5

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等 于 b1 ? b2 ? b3 1 【答案】 2

b1=d2,且



11. 已知函数 f ( x) ? 【答案】

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ?x? ), 则 f(x)的最小值为 4 4 x



4 5 5

12. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)。 【答案】3960 2 2 【解析】使 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 =72 种,同样,使 2 个 b 2 2 既不同行也不同列的填法也有 C4 A4 =72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 2 72 种,其中不符合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况 1 2 有 72 种; 2 个 a 所在的方格内仅有 1 个方格内填有 b 的情况有 C16 A9 =16×72 2 种。所以,符合题设条件的填法共有 72 ? 72? 16×72=3960 种。

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设 an ?

? k (n ? 1 ? k ) ,求证:当正整数 n≥2 时,a
k ?1

n

1

n+1

<an。

【解析】证明:由于

1 1 1 1 2 n 1 ? ( ? ) ,因此 an ? ? ,于是,对 k (n ? 1 ? k ) n ? 1 k n ? 1 ? k n ? 1 k ?1 k

6

任意的正整数 n≥2,有

1 1 n 1 1 n?1 1 (an ? an?1 ) ? ? ? ? 2 n ? 1 k ?1 k n ? 2 k ?1 k n n 1 1 1 1 1 1 ?( ? )? ? ? (? ? 1) ? 0 ,即 an+1<an。 n ? 1 n ? 2 k ?1 k (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) k ?1 k

15. 设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π )=f(x), 求证: 存在 4 个函数 fi(x)(i=1, 2, 3,4)满足: (1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x,有 fi(x+π )=fi(x); (2)对任意的实数 x,有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 【解析】证明:记 g ( x ) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? ,则 f(x)=g(x)+h(x),且 2 2

g(x) 是偶函数, h(x) 是奇函数,对任意的 x ∈ R , g(x+2π )=g(x) , h(x+2π )=h(x) 。令

g ( x) ? g ( x ? π ) f1 ( x) ? 2



? g ( x) ? g ( x ? π ) ? 2 cos x f 2 ( x) ? ? ? 0 ?

x ? kπ ?

π 2 π x ? kπ ? 2



7

? h( x ) ? h( x ? π ) ? f 3 ( x) ? ? 2 sin x ? 0 ?

x ? kπ

? h( x ) ? h( x ? π ) ? 2 sin 2 x , f 4 ( x) ? ? ? x ? kπ 0 ?

x?

kπ 2 ,其中 k 为任意整 kπ x? 2

数。 容易验证 fi(x),i=1,2,3,4 是偶函数,且对任意的 x∈R,fi(x+π )=fi(x),i=1,2,3,

8

2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 (本题满分 50 分)如图,在锐角△AB C 中,AB<AC,AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内 一点。过 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,作 PF⊥AB,垂足为 F。O1、O2 分别是△BDF、△CDE 的外心。 求证:O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂心。 【解析】证明:连结 BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为 PD⊥BC,PF⊥AB,故 B、D、P、F 四点共圆,且 BP 为该圆的直径。又因为 O1 是△BDF 的外心,故 O1 在 BP 上且是 BP 的中点。 同理可证 C、D、P、E 四点共圆,且 O2 是的 CP 中点。综合以上知 O1O2 ∥BC,所以∠PO2O1=∠PCB。因为 AF·AB=AP·AD=AE·AC,所以 B、C、E、 A F 四点共圆。 E 充分性:设 P 是△ABC 的垂心,由于 PE⊥AC,PF⊥AB,所以 B、O1、P、 F E 四点共线,C、O2、P、F 四点共线,∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1,故 P O1、O2、E、F 四点共圆。 O2 必要性:设 O1、O2、E、F 四点共圆,故∠O1O2E+∠EFO1=180°。 O 1 由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB? ∠ACP,又因为 O2 是直角△CEP 的斜边中点, 也就 是△CEP 的外心, 所以∠PO2E=2∠ACP。 因为 O1 是直角△BFP 的斜边 B D B' 中点,也就是△BFP 的外心,从而∠PFO1=90°? ∠BFO1=90°? ∠ABP。 因为 B、C、E、F 四点共圆,所以∠AFE=∠ACB,∠PFE=90°? ∠ACB。于是,由∠O1O2E+∠ EFO1=180°得 ( ∠ ACB? ∠ ACP)+2 ∠ ACP+(90°? ∠ ABP)+(90°? ∠ ACB)=180°,即∠ ABP= ∠ ACP 。又因为 AB<A C, AD⊥BC, 故 BD<CD。 设 B'是点 B 关于直线 AD 的对称点, 则 B'在线段 DC 上且 B'D=BD。 连结 AB'、PB'。由对称性,有∠AB'P=∠ABP,从而∠AB'P=∠ACP,所以 A、P、B'、C 四点 共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°? ∠ACB。因为∠PBC=∠PB'B, 故∠PBC+∠ACB=(90°? ∠ACB )+∠ACB=90°,故直线 BP 和 AC 垂直。由题设 P 在边 BC 的高 上,所以 P 是△ABC 的垂心。 二、 (本题满分 50 分)如图,在 7×8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。 如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取 出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问 最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。

C

9

图1 图2 第二步构造一种取法,共取走 11 个棋子,余下的棋子没有五子连珠。如图 2,只要取出有 标号位置的棋子,则 余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述,最少要取走 11 个棋子,才可能使得余下的棋子没有五子连珠。

三、 (本题满分 50 分)设集合 P={1,2,3,4,5},对任意 k∈P 和正整数 m,记

f(m,k)=

? ?m
i ?1

5

? ?

k ?1 ? ? ,其中[a]表示不大于 a 的最大整数。求证:对任意正整数 n,存在 i ?1 ?

k∈P 和正整数 m,使得 f(m,k)=n。

10


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