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辽宁省辽师大附中学高二数学下学期(月)第二次模块考试试题文-精


辽师大附中 2015-2016 学年下学期第二次模块考试 高二(文科)数学试题
时间:90 分钟 一,选择题(每题 5 分) 1. 已 知 R 是 实 数 集 , ( ) B. [0,2]
x 2

? 2 ? M ? ? x ? 1? , N ? y y ? x ? 1 ? 1 , 则 N ? C ? R M ? x ?

?

?

A. (1,2)

C. ?

D. [1,2] ( )

2.函数 y ? 2 ? x 的图象大致是

A

B

C

D )

3.已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域( A. [﹣3,7] 4.若函数 y ? A. ?3,??? B. [﹣1,4] C. [﹣5,5] D. )

ax2 ? 2ax ? 3 的值域为 ?0,??? ,则 a 的取值范围是(
C. ?? ?,0? ? ?3,??? D. ?? ?,0? ? ?3,???

B. ?3,???

5.已知



,函数

满足对任意实数



都有 A. B.

成立,则 的取值范围是 C. D. ( )

6.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f (1) ? 1 , f ( 2) ? A. a ?

2a ? 1 ,则有( a ?1



1 且 a ? ?1 B. a ? ?1 或 a ? 0 C. ? 1 ? a ? 0 D. ? 1 ? a ? 2 2 2 7.若点 ? 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 ? 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为(



-1-

A. 2

B. 1

C.

2 2

D. 3

8. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数, 且对任意 x , 都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立, 如果实数 m, n 满足不等式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m2 ? n 2 的取值范围是( A. (9,25) B.(3,7) C(9,49) D(13,49) )

2 9.函数 f ? x ? ? x ? 2x , g ? x ? ? ax ? 2 ( a ? 0 ) ,对 ?x1 ?? ?1, 2? , ?x0 ?? ?1, 2? ,使

g ? x1 ? ? f ? x0 ? ,则 a 的取值范围是(
A. ? 0, ? 2

) D. ? 0,3?

? ?

1? ?

B. ? ,3? 2

?1 ?

? ?

C. ?3, ?? ?

10. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,f '( x) 为其导函数. 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? f ' ( x) ? 0 , 且 f (1) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为( A. (??,?1) ? (1,??) B. (??,?1) ? (0,1) C. (?1,0) ? (0,1) D. (?1,0) ? (1,??) )

二,填空题(每题 5 分) 11.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的递增区间是_________________;
2

12.下列四个命题: ①命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ; ②若命题 p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

③若命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题; ④命题“若 0 ? a ? 1 ,则 log a ( a ? 1) ? log a (1 ? 其中正确命题的序号是
3

1 ) ”是真命题. a

. (把所有正确的命题序号都填上) .

13.函数 f(x)=x +ax﹣2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是

14.已知函数 f(x)=

( x ? 1) 2 ? sin x ,其导函数为 f '( x) ,则 2 x ?1

f (2015) ? f '(2015) ? f (?2015) ? f '(?2015) ? ______

-2-

三.解答题 15.(10 分)已知 p:{x| x ? 3 ? 2}, q:{x |(x -m+1)(x -m-1) ? 0} ,若 ?p 是 ?q 的充 分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

16.(10 分)计算: (化到最简形式) (1) a ? (2)
3

a 4 ? a 3 ? 3 a ?7 ? 3 a ?3 ? a 2 ? a 5

9 8 ?2 ? ( ) 3 +(lg5) 2 ? 2lg 2 ? (lg2) 2 ? (log 4 81) ? (log 27 64) 4 27

17.(本小题满分 15 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

,其中 a>0.

(Ⅱ)若直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g(x)=xlnx﹣x f(x),求 g(x)在区间上的最大值.
2

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1) ? 18.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ? x ?1 , ? ?c(e ? 1), ( x ? 1)
(Ⅰ)若 f [ f (?1)] ? e ? 1,求 c 的值; (Ⅱ)函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 A, B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角 三角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围; (III)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx ( k ? R ) 的实根的个数。

-3-

辽师大附中 2015-2016 学年下学期第二次模块考试 高二(文科)数学试题(答案) 一.选择题 1. D 2. A 3 D 4.B 5.C 6 B 7. A 8.C 9.A 10.D

二.填空题 11. (??,?3) 12.②③ 13. ?? 3. ? ?) 14.2 15.

综上:m 的取值范围是 0 ? m ? 4 16.解:解: (1) a ??(2)

17 ?? 4
, =

17.【解答】解:(Ⅰ)′因为函数 ∴f′(x)= f′(x)>0? 0<x<2,f′(x)<0? x<0,x>2,

故函数在(0,2)上递增,在(﹣∞,0)和(2,+∞)上递减. (Ⅱ)设切点为(x,y), 由切线斜率 k=1= ,? x3=﹣ax+2,①

-4-

由 x﹣y﹣1=x﹣ 把 x=1 代入①得 a=1,把 x= 把 x=﹣

﹣1=0? (x2﹣a)(x﹣1)=0? x=1,x=± 代入①得 a=1,



代入①得 a=﹣1,∵a>0.故所求实数 a 的值为 1
2

(Ⅲ)∵g(x)=xlnx﹣x f(x)=xlnx﹣a(x﹣1), ∴g′(x)=lnx+1﹣a,且 g′(1)=1﹣a,g′(e)=2﹣a. 当 a<1 时,g′(1)>0,g′(e)>0,故 g(x)在区间上递增,其最大值为 g(e)=a+e (1﹣a); 当 1<a<2 时,g′(1)<0,g′(e)>0,故 g(x)在区间上先减后增且 g(1)=0,g(e) >0.所以 g(x)在区间上的最大值为 g(e)=a+e(1﹣a); 当 a>2 时,g′(1)<0,g′(e)<0,g(x)在区间上递减,故最大值为 g(1)=0. 18. 【答案】(Ⅰ)c=1,(Ⅱ) (0, ??) , (III)①当 k ? 两个实根; ②当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有 4

1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4
1 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. 4

③当 0 ? k ? 【解析】

试题分析: (1)等于分段函数求值,看清自变量在那一区间内,代入求值即可得到结果; (2) 由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ; (3)注意分类讨论的思想,做到不重不漏,在利用函数 的单调性解题时,可优先考虑利用导数,这样比较简单 试题解析:(Ⅰ)c=1 (Ⅱ) f ( x) ? ?
3 2 ? ?? x ? x , ( x ? 1), x ?1 ? ?c(e ? 1), ( x ? 1),

??? ? ??? ?

根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t ? t ), B(t , f (t )),(t ? 0) .
3 2
3 2 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,

由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2
4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;

??? ? ??? ?

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c(et ?1 ? 1) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B 点
-5-

不可能在 x 轴上,即 t ? 1 . 由 OA ? OB ? 0 ,即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 ) ? c(et ?1 ?1) =0,即

??? ? ??? ?

c?

1 .. (t ? 1) ? et ?1 ?1?
t ?1 因为函数 y ? (t ? 1) e ? 1 在 t ? 1 上的值域是 (0, ??) ,

?

?

所以实数 c 的取值范围 是 (0, ??) . (III)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ?

? ? x 3 ? x 2 , ( x ? 1) ? ,可知 0 一定是方程的根, x ? ?e ? e, ( x ? 1)

?? x 2 ? x,( x ? 1且x ? 0), ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e x ? e ,( x ? 1). ? ? x ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1), ? ? x
对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x 2 ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当x?

1 1 1 时取得最大值 ,其值域是 ( ??, 0) ? (0, ] ; 4 2 4
对于 x ≥ 1 部分,函数 g ( x) ?

e x ( x ? 1) ? e ex ? e ? 0 ,知函数 g ( x) 在 ,由 g ?( x) ? x x2

?1, ??? 上单调递增.
所以,①当 k ? ②当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4 1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4
1 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. 4

③当 0 ? k ?

-6-


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