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用力敏传感器测液体表面张力系数的误差分析


物理实验 第 23 卷 第 7 期

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用力敏传感器测液体表面张力系数的误差分析
夏思淝 刘东红 孙建刚 袁庆华
( 山东大学物理与微电子学院 山东 济南 250061)
  摘 要: 分析了采用力敏传感器测量液体表面张力系数实验误差的主要来源, 给出了计算公式和测量结果, 并 提出了改进建议Λ 关键词: 表面张力系数; 力敏传感器; 误差分析 中图分类号: O 351. 1   文献标识码: A    文章编号: 100524642 ( 2003) 0720039203

Error ana lysis of the m ea sur ing surface ten sion coeff ic ien t of l iqu ids w ith force sen sor
XI A S i2fei L I U Dong 2hong  SU N J ian 2gang  YU AN Q ing 2hua
( Schoo l of Physics and M icroelect ron, Shandong U n iversity, J inan, Shangdong, 250061) Abstract: T he m a in sou rces of the erro r of m ea su ring su rface ten sion coefficien t of liqu id s by fo rce sen so r a re ana lyzed. T he fo rm u la s, resu lt s and suggest ion s on im p roving the exp erim en t a re g iven. Key words: su rface ten sion coefficien t; fo rce sen so r; erro r ana lysis

1 测量方法及原理

拉脱法测液体表面张力系数实验多是通过 提拉洁净的门形金属丝框或矩形金属片, 用约 利弹簧秤 ( 或扭秤) 进行测量, 相关的实验原理 及现象在一些文献中已有分析讨论[ 1, 2 ] Ζ现在采 用硅压阻力敏传感器测量液体与金属相接触的 表面张力, 用数字式电压表进行输出量显示, 用 一定高度的薄金属吊环替代门形金属丝框及矩 形金属片Ζ改进后仪器的传感器灵敏度高, 线性 和稳定性好, 测量结果重复性好Ζ该测量方法是 将表面清洁的铝合金吊环垂直浸入液体中, 降 低升降台, 液面下降Ζ当吊环底面与液面平齐或 略高时, 由于液体表面张力的作用, 吊环的内、 外壁会带起一部分液体Ζ如图 1 所示, 平衡时吊

图 1 拉脱过程吊环受力分析

环重力 m g、 向上拉力 F 与液体表面张力 f 满 足 F = m g + f co sΥ 在吊环临界脱离液体时, Υ ≈ 0, 即 co sΥ ≈ 1, 则平 衡条件近似为 [ Π(D 1 + D 2 ) ] f = F- m g= Α 式中 D 1 为吊环外径, D 2 为吊环内径Ζ液体表面
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物理实验 第 23 卷 第 7 期

张力系数为
= Α
F- m g Π(D 1 + D 2 )

实验需测出 F , m g 及 D 1 和 D 2 Ζ 利用力敏传感器测力, 首先进行硅压阻力 敏传感器定标, 求得传感器灵敏度 B (mV g ) , 再测出吊环在即将拉脱液面时 (F = m g + f ) 电 压表读数 U 1 , 记录拉脱后 ( F = m g ) 数字电压表 的读数 U 2 , 代入 ( 1) 式得 [ 3 ] (U 1 - U 2 ) g = Α B Π(D 1 + D 2 )
2 误差分析

附着层的重力, m g 测量应为湿重而不是净重Ζ 造成测量值偏大的另一原因是学生误认为拉脱 前输出的最大值为 U 1 , 此时并非临脱状态, 液 膜较厚, m ′ g 较大, 经测算比临脱状态测量相对 误差大 1%~ 2% , 拉脱前液膜变薄, 远小于吊 环壁厚[ 2 ] , 应准确记录拉脱瞬间的输出 U 1 , 将 该项系统误差减至最小Ζ 若吊环不严格水平, 如图 2 所示, 其底面与 液面夹角为 Η , 这时除了存在浮力 f ′ 外, 还因图 中左右两端表面张力 f 不与液面垂直及液体 与 吊 环 接 触 周 界 线 长 度 改 变 为 l′ 而引入误 差[ 1 ] Ζ 吊环静止时有 - m g= Α + f co sΗ F+ f ′ l′
( 4)

( 2)

对学生采用该方法测液体表面张力系数的 实验数据分析发现, Α 的测量值大都比公认值 偏大, 有的甚至高 20% , 因此, 需要对该实验方 法的误差进行分析Ζ
2. 1 系统误差分析

实验中使用了直径为 3. 2 ~ 3. 5cm , 厚度为
1mm 左右, 高为 0. 85cm 的铝合金吊环, 临拉

脱时吊环底面高于液面, 形成一层环形液膜, 所 以应计入液膜的重力, 即
f = F- m g- m ′ g

图 2 吊环倾斜受力分析

( 3)

式中 m ′ g 为液膜重力Ζ 先分析不考虑液膜重力所造成的误差Ζ 以 纯净水为例, 常温下 Α 值约 0. 07N m , 按实验 中 有关数据计算得 f = Α Π(D 1 + D 2 ) = 1. 5 ×
10- 2N Ζ

  拉脱至吊环底面低端高于液面时, 浮力 f ′ 为零, l ′ ≈ Π(D 1 + D 2 ) co sΗ , 表面张力增大Ζ 偏 差 1° , 误差 0. 5% ; 偏差 2° , 误差 1. 6% Λ因此, 实 验中应注意调整吊环水平以减小该项系统误 差Ζ 前面提出的系统误差因素应使测量结果偏 大, 但也有少数学生的测量结果比公认值偏小, 仔细分析原因, 是由于被测液体粘度较小, 液膜 极易破裂的缘故Ζ 实验中 F 值增加, 尚未达到 临脱状态, 液膜破裂, 导致测得 Α值减小Ζ 造成 液膜提前破裂的主要因素有: 降低平台引起的 液面振动; 吊环净化处理不好, 液体浸润不充 分; 外界环境变化, 空气流动; 操作过程过于缓 慢, 液膜受重力作用及蒸发而变薄破裂Ζ 此外, 硅压阻力敏传感器通电时间过长, 导致 F 值越 测越小Ζ为避免由此产生的系统误差, 需严格要 求学生净化处理吊环, 实验前先让学生适当练 习操作, 动作平稳连续, 减少振动, 实测时操作 不宜过慢Ζ
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经仔细观测, 膜高不小于 3mm , 平均膜厚 也不会小于 0. 1mm , 因此液膜重力 m ′ g 误差下
- 4 限为 m ′ g ≥Θ V g = 3. 0×10 N Ζ 从误差下限来看, 不计液膜重力, 引入系统

误差约为 2% 似乎是可行的, 但毕竟造成理论 上的困难Λ然而若考虑该误差的上限, 则液膜重 力是不容忽视Λ 例如, 实验中膜高可达4. 5mm , 吊环厚度接近 1mm , 膜厚按 0. 5mm 计, 液膜又 尽量收缩形成球形表面, 则不计入该项修正所 造成的相对误差超过 10% Λ 因此, 实验中应减 小吊环的壁厚或用金属薄片代替, 减少 m ′ g 的 值Ζ即使采取上述措施, 也应考虑液体对金属片

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2. 2 随机误差分析

表 1 力敏传感器定标
M g U mV

根据测量原理, 表面张力系数的测量公式 为 λ = Α
U 1- U 2 g B Π(D 1 + D 2 )

0. 500

13. 4 27. 9 42. 0 56. 2 70. 5 84. 7 98. 8

( 5)

1. 000 1. 500 2. 000 2. 500 3. 000 3. 500

式中 U 1 , U 2 , D 1 , D 2 4 个量可直接测得, 灵敏度
B 由力敏传感器定标确定Ζ 测量 Α的相对偏差

由误差传递公式得
E=

Ρ U 1- U 2 U 1- U 2

2

+

Ρ(D 1+ D 2)
D 1+ D 2

2

+

Ρ B
B

2

表 2 液体表面张力测试数据
U 1 mV U 2 mV

(U 1 - U 2 ) mV ? (U 1 - U 2 ) mV 44. 3 45. 0 44. 4 45. 0 - 0. 375

( 6)

19. 1 19. 9 19. 0

- 25. 2 - 25. 1 - 25. 4 - 25. 1

式中标准差
N

ΡU 1-

∑[ ? (U
U2

1

- U 2 ) ]2 1)

19. 9

 0. 325 - 0. 275  0. 325

=

i= 1

N (N -

Ρ(D 1+ D 2) =

ΡD 1 2 + ΡD 2 2 ?D 3

  表 1 数据代入 ( 7) 式求得 B = 28. 45mV g Ζ 由表 2 得 U 1 - U 2 = 44. 675mV

ΡD 1 = ΡD 2 = 灵敏度
n

∑[ ? (U

1

- U 2 ) ] 2 = 0. 427 4×10 - 6V 2

∑ (M
B =
i= 1 n

i

{ ) (U i - U ?) - M
( 7)

{ )2 ∑ (M i - M
i= 1

  其它数据为: g = 9. 798m s2 , t = 29. 75℃, D 1 = 35. 08mm , D 2 = 32. 78mm , ?D = 0. 02mm Ζ   上述数据代入 ( 5) 式求得 λ = 0. 072 17N m Α 计算标准差 ΡU 1U2

B 是定标调零后一元线性拟合方程 U = B M 最

小二乘法处理求得的回归系数, 其标准差为 ΡB = ΡU
n

[4 ]

= 0. 19×10- 3V

Ρ(D 1+ D 2) = 1. 7×10- 5m ΡB = 0. 31mV g
λ= 代入 ( 6) 式求得 E = 1. 2% Ζ 绝对标准差为 ΡΑ

( 8) 1
n
n

∑M
i= 1

i

2

-

∑M
i= 1

2
i

式中
n

≈ 0. 000 9N m Ζ 测量结果为 E Α

ΡU =

∑ (U
i= 1

i

- B M i) 2 2 ( 9)

= λ ±Ρλ = ( 7. 22±0. 09) ×10 - 2N m Α Α Α λ Α与相同温度纯净水表面张力系数公认值

因此求得 λ Α的绝对标准差为 = Eλ Α Ρλ Α
3 实验数据及结果分析

n-

0. 071 8N m 的百分误差为 0. 56% , 可见用力

敏传感器测液体表面张力系数的测量误差较 小Ζ 直接测量量及定标测 B 的分误差在总误 差中所占的百分数计算 ΡU 1- U 2 5Α ? λ ΡΑ 5 (U 1 - U 2 )
2

具体测量条件及直接测量量的数据见表 1 和 表 2Ζ

= 13%
( 下转 43 页)

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- [ k l + (m 0 + m i ) g ] Η

(m 0 + m i ) l Η = - [ k l + (m 0 + m i ) g co sΥ] Η

¨

根据牛顿第二定律, 得动力学方程为 ¨ (m 0 + m i ) l Η = - [ k l + (m 0 + m i ) g ] Η 整理上式得
¨

整理上式得
¨

+ Η

k l + (m 0 + m i ) g co sΥ = 0 Η (m 0 + m i ) l

+ Η

k l + (m 0 + m i ) g = 0 (m 0 + m i ) l Η

由此可得振动体振动的角频率为 Ξ= 振动周期为  T 倾斜 =
2Π = 2Π
k l + (m 0 + m i ) g co sΥ (m 0 + m i ) l

由此可得振动体振动的角频率为 Ξ= 振动周期为
T 垂直 = k l + (m 0 + m i ) g (m 0 + m i ) l

Ξ

(m 0 + m i ) l ( k l + m 0 + m i ) g co sΥ

( 3)

2Π = 2Π

Ξ

(m 0 + m i ) l k l + (m 0 + m i ) g

( 2)

4 讨 论 1) 当 Υ = 0 时, 即惯性秤竖直向下, ( 3 ) 式变 为 ( 2) 式, 惯性秤的振动周期为最小值Ζ 2 ) 当 0< Υ< Π 2 时, 即惯性秤向下倾斜,
T < T 水平 , 惯性秤的振动周期小于水平时的值Ζ

3 惯性秤倾斜放置

当惯性秤的悬臂倾斜 Υ时, 如图 1 所示, 选 取方向矢量 l, 振动体将绕 l 方向振动, 偏离 l 方向的转角为 Η , 则回复力为 + (m 0 + m i ) g co sΥ sin Η]= F = - [ k l sin Η - [ k l + (m 0 + m i ) g co sΥ] sin Η ≈ - [ k l + (m 0 + m i ) g co sΥ] Η 根据牛顿第二定律, 得动力学方程为

3) 当 Υ = Π 2 时, 即惯性秤水平, ( 3 ) 式变为 ( 1) 式Ζ 4) 当 Π 2< Υ< Π 时, 即惯性秤向上倾斜,
T > T 水平 , 惯性秤的振动周期大于水平时的值Ζ

5 ) 当 Υ= Π 时, 即 惯 性 秤 竖 直 向 上, T >
T 水平 , 惯性秤的振动周期为最大值Ζ

参考文献:
[ 1 ]  杨述武, 等. 普通物理实验 ( 一、 力学及热学部分) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2000. 139 ~ 142. [ 2 ]  周衍柏. 理论力学教程 [M ]. 北京: 高等教育出版

图 1 振动体倾斜示意图

社, 1986. 188 ~ 189.
2

( 2002211205 收稿)

( 上接 41 页)  

Ρ(D 1+ D 2) 5Α ? ( ) 5 D 1+ D 2 Ρλ Α 2 5Α ΡB ? λ = 82% 5 B ΡΑ

= 4. 5%

向各测一次进行比较Ζ 参考文献:
[ 1 ]  段蔚萱, 杨玉朴Λ 测量液体表面张力系数两种方

从百分误差中可以看出, 灵敏度 B 对总误 差的贡献最大, 要提高 Α的测量精度, 首先要减 小 B 的分误差, 从仪器方面力敏传感器线性要 好, 定标使用的砝码要标准; 从人员方面要求操 作熟练, 快捷Ζ 其次是拉脱过程 U 1 , U 2 的测量, 应适当增加测量次数至 8 次, 并提高学生操作 技能, 拉膜要平稳、 连续Ζ 直径测量分误差所占 份量最小, 可用游标卡尺单次测量, 但需垂直方

法的比较 [J ] Λ 物理实验, 1993, 13 ( 4) : 147 ~ 149.
[ 2 ]  尹新国Λ 拉脱法测液体表面张力系数实验的分析

和讨论 [J ] Λ 物理实验, 1995, 15 ( 4) : 157 ~ 162Λ
[ 3 ]  焦丽凤, 陆申龙Λ 用力敏传感器测量液体表面张

力系数 [J ] Λ 物理实验, 2002, 22 ( 7) : 40 ~ 42.
[ 4 ]  滕敏康Λ实验误差与数据处理 [M ] Λ南京: 南京大

学出版社, 1989Λ 202 ~ 217.
( 2002211204 收稿, 2003201204 收修改稿)

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